§7.2球的切、接問題

【重點解讀】球的切、接問題是歷年高考的熱點內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計

算能力.其關(guān)鍵點是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾

何體的切、接問題來解決.

一、正方體與球

1.內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長a

2.棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長企幾

3.外接球：外接球直徑2R=正方體體對角線長ga

二、長方體與球

外接球：外接球直徑2/?=體對角線長Va2+/+，2（小b,c分別為長方體的長、寬、高）.

三、正四面體的外接球、內(nèi)切球

若正四面體的棱長為m高為小正四面體的外接球半徑為尺內(nèi)切球半徑為八則R=B，r

34

R:r=3:1.

四、正棱錐與球

1.內(nèi)切球:1正校檢=為鏟r=驅(qū)底?〃（等體積法），「是內(nèi)切球半徑,〃為正棱錐的高.

2.外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為r,R2=g—22+戶（正棱錐

外接球半徑為R,高為力）.

五、直棱柱的外接球

球心到直棱柱兩底面的距離相等，直棱柱兩底面外心連線的中點為其外接球球心R=ey+/（直棱柱的

外接球半徑為R，高為力，底面外接圓半徑為「）.

六、圓柱的外接球

R=J?）?+/也是圓柱外接球的半徑，力是圓柱的高，，?是圓柱底面圓的半徑）.

七、圓錐的外接球

&=g-R）2+/（R是圓錐外接球的半徑，/?是圓錐的高，，.是圓錐底面圓的半徑）.

題型一特殊幾何體的切、接問題

例1（1）（2024?渭南模擬）己知正三棱錐S-A3C,高為2a,A8=2,則其內(nèi)切球與外接球的半徑之比

為（）

A.iB.-C.-D.-

3579

（2）（2025?哈爾濱模擬）己知直三棱柱A8C—48G的6個頂點都在球O的表面上，若AB=AC=l,A4.

=4,N84C=§,則球。的表面積為（）

A.167tB.20兀C.28nD.32n

思維升華特殊幾何體的內(nèi)切球、外接球問題，主要是利用球的定義找球心，然后利用解三角形求半徑；

對于棱錐的內(nèi)切球的半徑，可利用等體積法求.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（2024.吉林模擬）已知圓錐的底面半徑為魚,母線長為2魚，則這個圓錐的內(nèi)切球半徑

為（）

A”B.3C%D.四

3333

（2）（2024?荷澤模擬）已知正三樓臺的上、下底面邊長分別為2g,4V3,體積為4275,則該正三楂臺的

外接球表面積為（）

A.20兀B.—yrC.80兀D.竺跡兀

33

題型二補形法

例2（1）（2025?寶雞模擬）已知三棱錐尸一ABC,PA_L平面ABC,N84C=30。，BC=2,PA=2百，則

三棱錐P-ABC的外接球的體積為（）

A.287cB.7夕兀C.14兀D.萼^

（2）已知三棱錐S-A8C的四個頂點都在球。的球面上，且SA=8C=2,SB=AC=6SC=AB=y[S,

則球O的表面積是.

思維升華常見的補體

（1）（墻角模型）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，補成長方體，如圖①.

（2）有一條側(cè)棱垂直于底面的棱錐，補成直棱柱，如圖②.

（3）（對棱模型）三棱錐的對棱兩兩相等，補成長方體，則每組對棱為長方體的面對角線，如圖③.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（2024?遼陽模擬汝1圖，在四棱錐P-A8CD中，底面A8CO是矩形，P4_L平面

ABCD,PA=AB=3,AD=4,則該四棱錐外接球的表面積為[）

A.V347TB.2V347：C.34兀D.136兀

（2）（2024.唐山模擬）在三棱錐P-ABC中，已知必_1_底面A8C,CA=CB=PA=2,AC1BC,則三棱錐

尸一4BC外接球的體積為（）

A.2VJ兀B.3島C.4百兀D.12V37T

題型三垂面法

例3（2024.雙鴨山模擬）己知四面體ABC。的各頂點均在球。的球面上，平面"CJL平面BC。，AB=

BC=AC=CD=2,BC.LCD,則球。的表面積為（）

「28n

A?16n

VB.8兀c?丁D.127C

思維升華找兩個三角形的外接圓的圓心，過圓心分別作這兩個三角形所在平面的垂線，兩垂線的交點就

是球心.

跟蹤訓(xùn)練3（2024?武漢模擬）一知四棱錐?一A8CO的底面ABCO是邊長為2舊的正方形，側(cè)面AP8_L

底面/18CD,為正三角形，則四棱錐〃一八5co的外接球的表面積為（）

答案精析

探究核心題型

例I(l)C［由題意可知，正三棱錐S-A8C的頂點S在底面AABC內(nèi)的投影為△A8C的中心P,如圖，

設(shè)內(nèi)切球半徑為r,外接球球心為0,半徑為R,

ACD=yX2=V3,

：.CP=-CD=—,

33

DP=-CD=-,

33

:?SD=7SP?+DP?

"（2偽2+（秀=*

???S^SAB=~^-2X=,5aA80=92乂2義弓=VJ,

/JJ//

?、S表面積=3SASAB+S&ABC=6百

V=??S-4BC=1XV3X2V2

WX68X，T,

又在Rt^COP中，

OC2=Cpl+Op2

2

??m=（手）+（2&_穴）2

LV2

=R=公.??三=工=3|

K6…R巫7J

6

⑵B［如圖所示，設(shè)底面△ABC的外接圓的圓心為Oi,底面囚G的外接圓的圓心為O2,在△ABC

中，

A

由余弦定理得

BC=J1+1-2X1X1XCOSy

=V3,

設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r,

由正弦定理得2r=—與丁=2,即。兇=1,

smz.fi/lC

又直三棱柱ABC—4SG外接球的球心為0,設(shè)外接球的半徑為R,

在Rt/XOON中,

2

可得R=y/O1A+00l

=+(哈7=V12+22=V5，

所以球。的表面積S=47t/?2=47tX(\Z5)2=20n.］

跟蹤訓(xùn)練1(1)D［設(shè)圓錐的高為/?,

因為圓錐的底面半徑「=企，

母線長Z=2V2,

則仁］(2&)2-(企)2=巡，

易知圓錐的軸截面為等邊三角形，

設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，貝IJ(后一R)2=N+(或)2,

解得/?=爭

(2)C［設(shè)給定的正三棱臺為正三棱臺ABC-A^Q,即4自=2百，AB=4代,

B

設(shè)正,

正△A8C的中心分別為0],Q,

而5“聲傳】=苧乂(2遍)2=3百，

5小配==又(4百產(chǎn)=12百，

則正三棱臺的體積V=1X(3A/3+V3V3x12V3+12V3)-O(O2=42X/3,解得。。2=6,

△4出G的外接圓半徑n=2x/3X^X^=2,

△48C的外接圓半徑，=4,

顯然正三棱臺的外接球球心。在直線。。2上,

設(shè)外接球半徑為扭，OOi=x,

則0。2=|6一川,

因此/?2=^+22=(6—X)2+42,

解得了=4,R?=20,

所以該正三棱臺的外接球表面積

S=4TIR2=80兀]

例2(1)D[將三棱錐P—48C補形成直三棱柱，如圖，其中。為△48C外接圓的圓心，。為所得三棱柱

外接球的球心，也即三棱錐。一ABC外接球的球心，

J-c

則。?！蛊矫鍭BC,0。，=百，

貝I」2?04=-r^—=,2=4,

s\nZ.BACsin30

所以O(shè)'A=2,

則外接球的半徑R=0A=

y/00,2+OrA2=V7,

所以三棱錐P—A8C的外接球的體積1/=，*=乎.]

⑵8兀

解析將三棱錐s—A8C放入長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,如圖所示,則

M+川=5,

a2+C2=7,

b2+C2=4,

則a2-^h2+c2=S,

因為球。的直徑即為長方體的體對角線，

則球。的半徑為

Va2+d2+c2_

所以球。的表面積是4兀乂（魚）2=8兀

跟蹤訓(xùn)練2（1）C|將四棱錐P—AAC。補形成分別以A”為長、寬、高的長方體（圖略），則該

四棱錐的外接球即補形后長方體的外接球，外接球的半徑為長方體體對角線的一半，

即沁32+32+42=當(dāng)

所以外接球表面積為3471.］

⑵C［依題意，將三棱錐P-ABC補形成正方體，如圖，

則該正方體的外接球就是三棱錐?一A8C的外接球，

因為CA=CB=PA=2,則該正方體的體對角線的長為275,所以外接球的直徑2R=26，A=V5,

則外接球的體積V=/rR3=4V3兀］

例3C［如圖，取BC的中點E,80的中點尸，所以尸為△BCO的外心，

D

連接AE,EF,設(shè)△ABC的外心為G,

因為AB=BC=AC=2,

即△ABC為等邊三角形，

所以點G在AE上，連接OG,OF,

貝ljOG_L平面ABC,

。凡L平面BCD,

因為平面A8CJ_平面BCD,所以O(shè)GJ_。尸,

因為△ABC為等邊三角形，

E為的中點，

所以4EJ_BC,

因為平面A8C_L平面BCD,

平面A8Cn平面BCD=BC,

AEu平面ABC,

所以AE_L平面BCD,貝ljAE//OF,

又“u平面BCD