南昌大學(xué)線性代數(shù)期末試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.在線性代數(shù)中，矩陣的秩是指矩陣中（）。A.行向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目B.列向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目C.矩陣中非零子式的最高階數(shù)D.矩陣中元素的總數(shù)答案：C2.如果向量組線性無關(guān)，那么該向量組的任意一個向量都可以由其他向量（）。A.線性表示B.線性組合C.唯一線性表示D.線性無關(guān)表示答案：C3.在線性方程組Ax=b中，如果增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，那么該方程組（）。A.有唯一解B.無解C.有無窮多解D.不能確定解的情況答案：B4.如果矩陣A可逆，那么矩陣A的逆矩陣A^-1滿足（）。A.AA^-1=IB.A^-1A=IC.AA^-1=0D.A^-1A=0答案：A5.在線性空間中，向量空間的維數(shù)是指（）。A.向量空間中向量的最大數(shù)目B.向量空間中基向量的數(shù)目C.向量空間中線性無關(guān)向量的最大數(shù)目D.向量空間中線性相關(guān)向量的最大數(shù)目答案：B6.如果向量v可以由向量組u1,u2,...,un線性表示，且表示系數(shù)唯一，那么向量v與向量組u1,u2,...,un（）。A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.線性組合D.線性表示答案：B7.在線性變換T下，如果向量v的像T(v)與向量u的像T(u)相等，那么向量v與向量u（）。A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.線性組合D.線性表示答案：A8.如果矩陣A的特征值是λ，那么矩陣A的特征向量x滿足（）。A.Ax=λxB.Ax=0C.Ax=λD.Ax=x答案：A9.在二次型f(x1,x2,...,xn)=x^TAx中，如果矩陣A是對稱矩陣，那么二次型f是（）。A.正定二次型B.負(fù)定二次型C.半正定二次型D.半負(fù)定二次型答案：A10.如果矩陣A是正定矩陣，那么矩陣A的特征值（）。A.全部大于0B.全部小于0C.全部等于0D.可以大于0也可以小于0答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.矩陣的秩的性質(zhì)包括（）。A.矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目B.矩陣的秩等于其列向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目C.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)D.矩陣的秩等于其行數(shù)與列數(shù)中的較小者答案：A,B,C2.向量組的線性相關(guān)性的判斷方法包括（）。A.行列式法B.向量組中是否存在非零線性組合使得線性組合為零向量C.向量組中是否存在一個向量可以由其他向量線性表示D.向量組的秩小于向量的個數(shù)答案：B,C,D3.線性方程組Ax=b的解的情況包括（）。A.有唯一解B.無解C.有無窮多解D.解的存在性與矩陣的秩有關(guān)答案：A,B,C,D4.矩陣的逆矩陣的性質(zhì)包括（）。A.逆矩陣存在當(dāng)且僅當(dāng)矩陣可逆B.逆矩陣滿足AA^-1=IC.逆矩陣滿足A^-1A=ID.逆矩陣唯一答案：A,B,C,D5.向量空間的維數(shù)的性質(zhì)包括（）。A.向量空間的維數(shù)等于其基向量的數(shù)目B.向量空間的維數(shù)等于其線性無關(guān)向量的最大數(shù)目C.向量空間的維數(shù)等于其線性相關(guān)向量的最大數(shù)目D.向量空間的維數(shù)等于其向量的最大數(shù)目答案：A,B6.線性變換的性質(zhì)包括（）。A.線性變換保持向量加法和數(shù)乘運算B.線性變換的像空間與原空間維數(shù)相同C.線性變換可以表示為矩陣乘法D.線性變換的核是原空間的一個子空間答案：A,B,C,D7.特征值和特征向量的性質(zhì)包括（）。A.特征向量是非零向量B.特征值可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)C.特征向量在特征值對應(yīng)的特征子空間中D.特征值和特征向量滿足Ax=λx答案：A,B,C,D8.二次型的性質(zhì)包括（）。A.二次型可以表示為x^TAx的形式B.二次型的正定性可以通過矩陣的特征值判斷C.二次型的負(fù)定性可以通過矩陣的特征值判斷D.二次型的半正定性可以通過矩陣的特征值判斷答案：A,B,C,D9.正定矩陣的性質(zhì)包括（）。A.正定矩陣是對稱矩陣B.正定矩陣的特征值全部大于0C.正定矩陣的行列式大于0D.正定矩陣的逆矩陣也是正定矩陣答案：A,B,D10.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的性質(zhì)包括（）。A.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型可以通過正交變換得到B.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型可以表示為x^TDx的形式，其中D是對角矩陣C.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的正定性可以通過對角矩陣的特征值判斷D.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的負(fù)定性可以通過對角矩陣的特征值判斷答案：A,B,C,D三、判斷題（每題2分，共10題）1.如果向量組線性無關(guān)，那么該向量組的任意一個向量都可以由其他向量線性表示。（×）2.在線性方程組Ax=b中，如果增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，那么該方程組有解。（√）3.如果矩陣A可逆，那么矩陣A的逆矩陣A^-1也是可逆的。（√）4.在線性空間中，向量空間的維數(shù)等于其基向量的數(shù)目。（√）5.如果向量v可以由向量組u1,u2,...,un線性表示，且表示系數(shù)唯一，那么向量v與向量組u1,u2,...,un線性無關(guān)。（√）6.在線性變換T下，如果向量v的像T(v)與向量u的像T(u)相等，那么向量v與向量u線性相關(guān)。（√）7.如果矩陣A的特征值是λ，那么矩陣A的特征向量x滿足Ax=λx。（√）8.在二次型f(x1,x2,...,xn)=x^TAx中，如果矩陣A是對稱矩陣，那么二次型f是正定二次型。（×）9.如果矩陣A是正定矩陣，那么矩陣A的特征值全部大于0。（√）10.如果矩陣A是正定矩陣，那么矩陣A的逆矩陣也是正定矩陣。（√）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣的秩的定義及其性質(zhì)。答案：矩陣的秩是指矩陣中非零子式的最高階數(shù)，也等于其行向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目或列向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目。矩陣的秩具有以下性質(zhì)：矩陣的秩等于其行向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目，等于其列向量組的最大線性無關(guān)組數(shù)目，等于其非零子式的最高階數(shù)。2.簡述向量空間的維數(shù)的定義及其性質(zhì)。答案：向量空間的維數(shù)是指其基向量的數(shù)目，也等于其線性無關(guān)向量的最大數(shù)目。向量空間的維數(shù)具有以下性質(zhì)：向量空間的維數(shù)等于其基向量的數(shù)目，等于其線性無關(guān)向量的最大數(shù)目。3.簡述線性變換的定義及其性質(zhì)。答案：線性變換是指保持向量加法和數(shù)乘運算的變換。線性變換具有以下性質(zhì)：線性變換保持向量加法和數(shù)乘運算，線性變換的像空間與原空間維數(shù)相同，線性變換可以表示為矩陣乘法，線性變換的核是原空間的一個子空間。4.簡述二次型的定義及其性質(zhì)。答案：二次型是指可以表示為x^TAx的形式的函數(shù)，其中A是對稱矩陣。二次型具有以下性質(zhì)：二次型可以表示為x^TAx的形式，二次型的正定性可以通過矩陣的特征值判斷，二次型的負(fù)定性可以通過矩陣的特征值判斷，二次型的半正定性可以通過矩陣的特征值判斷。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。答案：矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系可以通過增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩來判斷。如果增廣矩陣的秩大于系數(shù)矩陣的秩，那么線性方程組無解；如果增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩，那么線性方程組有解，且解的情況分為唯一解和無窮多解。2.討論向量空間的維數(shù)與線性變換的關(guān)系。答案：向量空間的維數(shù)與線性變換的關(guān)系可以通過線性變換的像空間和原空間的維數(shù)來判斷。線性變換的像空間和原空間的維數(shù)相同，且線性變換可以表示為矩陣乘法，因此線性變換的秩等于其像空間的維數(shù)。3.討論二次型的正定性與其特征值的關(guān)系。答案：二次型的正定性與其特征值的關(guān)系可以通過矩陣的特征值來判斷。如果矩陣的特征值全部大于0，那么二次型是正定的；如果矩陣的特征值全部小于0，那么二次型是負(fù)定的；如果矩陣的特征值既有大于0的也