邏輯代數(shù)基礎(chǔ)用數(shù)學(xué)方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，將形式邏輯歸結(jié)為代數(shù)演算，稱為“布爾代數(shù)”。將布爾代數(shù)用于集成電路邏輯門，稱為邏輯代數(shù)。

2．1邏輯代數(shù)的基本概念

邏輯代數(shù)由邏輯變量集K，常量0和1，以及“或”、“與”、“非”三種基本運算所構(gòu)成。該系統(tǒng)滿足以下公理，對應(yīng)不同的律。交換律：，結(jié)合律：，分配律：

0

–

1

律：互補律：2．1．1邏輯變量和基本邏輯運算邏輯變量取值0或1，用開關(guān)的通與斷、電壓的高與低、晶體管的導(dǎo)通與截止來表征。可通過邏輯變量和“或”、“與”、“非”組合的邏輯算式描述數(shù)字系統(tǒng)。1．“或”運算決定某一事件發(fā)生的條件中有一個以上條件成立，事件便發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為“或”。記做：F=A+B

或F=A∨B。運算法則為：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1，見“1”為“1”。實現(xiàn)該運算的門電路稱為“或”門。2．“與”運算決定某一事件發(fā)生的條件同時成立，事件便發(fā)生。這種因果關(guān)系稱為“與”。記做：F=A?B

或F=A∧B。運算法則為：0?0=0，0?1=0，1?0=0，1?1=1，見“0”為“0”。實現(xiàn)該運算的門電路稱為“與”門。2．1．1邏輯變量和基本邏輯運算3．“非”運算某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，這種因果關(guān)系稱為“非”。記做F=，運算法則為：A為0則F為1，A為1則F為0。

+UAB+U+UFAFBF“或”示意圖“與”示意圖“非”示意圖

2．1．2邏輯函數(shù)的表示法

1．邏輯表達式由變量通過“或”、“與”、“非”三種運算符進行組合，三種運算符的優(yōu)先級排序為“非”、“與”、“或”。2．1．2邏輯函數(shù)的表示法“與”運算符可省略，如

，“非”運算、先“與”后“或”運算可省略括弧，如：，。2．真值表用表格的形式描述邏輯函數(shù)的方法稱為真值表。每個邏輯變量有兩種取值，n個變量有2n

種取值組合。真值表左邊一欄為變量，右邊一欄為邏輯函數(shù)值。例：對應(yīng)的真值表為：3．卡諾圖將n個變量的2n

種取值組合按某種順序填A(yù)BCF00000011010001111001101111001110真值表入小方格構(gòu)成的平面圖，構(gòu)成一種描述邏輯函數(shù)的圖形。稱為卡諾圖。2．2

邏輯函數(shù)的基本定理和規(guī)則2．2．1基本定理定理1：0+0=0、0+1=1、1+0=1、1+1=10?0=0、0?1=0、1?0=0、1?1=1定理2：A+A=A、A?A=A定理3：A+A?B=A、A?（A+B）=A定理4：定理5：定理6：，定理7：定理8：2．2．2重要規(guī)則1．代入規(guī)則將邏輯式中所有出現(xiàn)同一變量的地方用某一邏輯函數(shù)代替，等式仍然成立。例：A(B+C)=AB+AC，將所有出現(xiàn)C的地方都用(C+D)代替，則等式仍然成立。A(B+(C+D))=AB+A(C+D)。2．反演規(guī)則將函數(shù)式中的“

?

”變成“+”，“+”變成“

?”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，并保持運算次序不變，得到的新函數(shù)為原函數(shù)F的反函數(shù)，這一規(guī)則稱為反演規(guī)則。例：，則3．對偶規(guī)則將函數(shù)式中的“

?

”變成“+”，“+”變成“?

”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，并保持運算次序不變，得到的新的邏輯表達式為原函數(shù)式的對偶式，記做F

’。F與F

’互為對偶式。2．2．2重要規(guī)則例：根據(jù)對偶規(guī)則，當(dāng)兩個邏輯表達式相等時，其對偶式也相等。如：，則2．2．3復(fù)合邏輯1．與非邏輯由與、非兩種邏輯復(fù)合而成，實現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為與非門。邏輯表達式為：。僅當(dāng)輸入全為1時

F

輸出為0，輸入有一個為0時

F

輸出為1。用與非門可以實現(xiàn)與、或、非三種操作。與或非2．2．3復(fù)合邏輯2．或非邏輯由或、非兩種邏輯復(fù)合而成，實現(xiàn)或非邏輯的門電路稱為或非門。邏輯表達式為：。輸入全為0時F

輸出為1，輸入有一個為1時F輸出為0。用或非門也可以實現(xiàn)與、或、非三種操作。與或非3．與或非邏輯由與、或、非三種邏輯復(fù)合而成，實現(xiàn)與或非邏輯的門電路稱為與或非門。邏輯表達式為：。僅當(dāng)每一個“與項”均為0時F輸出為1，否則F

輸出為0?？梢詫⑷我粋€邏輯表達式轉(zhuǎn)換成與或非表達式。例：2．2．3復(fù)合邏輯4．異或邏輯一種雙變量邏輯關(guān)系。函數(shù)表達式為：。輸入相同時F輸出為0，輸入不同時F輸出為1。多個變量做異或時，若變量中1的個數(shù)為奇數(shù)，則異或結(jié)果為1，若變量中1的個數(shù)為偶數(shù)，則異或結(jié)果為0。因此常用于奇偶校驗。

5．同或邏輯一種雙變量邏輯關(guān)系。函數(shù)表達式為：F=A⊙B

。輸入相同時F

輸出為1，輸入不同時F

輸出為0。同或和異或的關(guān)系即互為相反又互為對偶。

A⊙BA⊙B

2．3邏輯函數(shù)表達式的形式與變換2．3．1邏輯函數(shù)表達式的基本形式1．“與–或”表達式由若干“與項”進行“或”運算構(gòu)成的表達式。每個“與項”可以是單個變量的原變量或反變量，也可以是多個原變量或反變量相“與”組成。如：“與項”又被稱為“積項”，“與–或”表達式稱為“積之和”表達式。2．“或–與”表達式由若干“或項”進行“與”運算構(gòu)成的表達式。每個“或項”可以是單個變量的原變量或反變量，也可以是多個原變量或反變量相“或”組成。如：“或項”又被稱為“和項”，“或–與”表達式稱為“和之積”表達式。2．3．2邏輯函數(shù)表達式的標(biāo)準形式1．最小項和最大項⑴最小項的定義和性質(zhì)定義：一個n個變量的函數(shù)的“與項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，則該“與項”被稱為最小項。n

個變量可構(gòu)成

2n

個最小項，如三個變量可構(gòu)成、、…。用mi表示最小項，將最小項中原變量用1表示，反變量用0表示，得到的二進制數(shù)對應(yīng)的十進制數(shù)值即下標(biāo)i的值。例如三變量函數(shù)中，m3

表示，m6

表示。性質(zhì)

1：任意一個最小項，其變量僅有一種取值使這個最小項為1。性質(zhì)2：相同變量構(gòu)成的兩個最小項相“與”為0。性質(zhì)3：n個變量的全部最小項相“或”為1。即=1性質(zhì)4：n個變量構(gòu)成的最小項有n個相鄰最小項。相鄰最小項是指除一個變量互為相反外，其余部分相同。如與。2．3．2邏輯函數(shù)表達式的標(biāo)準形式⑵最大項的定義和性質(zhì)一個n個變量的函數(shù)的“或項”包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，則該“或項”被稱為最大項。n個變量可構(gòu)成2n

個最大項，三變量可構(gòu)成‘…等。用Mi表示最大項，將最大項中原變量用0表示，反變量用1表示，得到的二進制數(shù)對應(yīng)的十進制數(shù)值即下標(biāo)i的值。例如三變量函數(shù)中，M4

表示，M6

表示。性質(zhì)

1：任意一個最大項，其變量僅有一種取值使這個最大項為0。性質(zhì)2：相同變量構(gòu)成的兩個最大項相“或”為1。性質(zhì)3：n個變量的全部最大項相“與”為0。即=0性質(zhì)4：n個變量構(gòu)成的最大項有n個相鄰最大項。相鄰最大項是指除一個變量互為相反外，其余部分相同。如。2．3．2邏輯函數(shù)表達式的標(biāo)準形式2．邏輯函數(shù)表達式的標(biāo)準形式⑴標(biāo)準“與–或”表達式由若干最小項相“或”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標(biāo)準“與–或”表達式，或最小項表達式。例：

=m1+m2+m4+m7=

⑵標(biāo)準“或–與”表達式由若干最大項相“與”構(gòu)成的邏輯表達式稱為標(biāo)準“或–與”表達式，或最大項表達式。例：

=M0+M5+M7=2．3．3通用函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換目的：將任意邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準“與–或”表達式或標(biāo)準“或–與”表達式。1．代數(shù)轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換成“與–或”表達式的步驟分為兩步：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“與–或”表達式。第二步：使用X=X?（Y+）將表達式中所有非最小項的“與項”擴展成最小項。例：

F(A，B，C)=m0+m1+m3+m6+m7=2．3．3通用函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成“或–與”表達式的步驟分為兩步：第一步：將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換成一般“或–與”表達式。第二步：使用A=(A+B)(A+)將表達式中所有非最大項的“或項”擴展成最大項。例：

假定在函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F值為0，則函數(shù)F的最大項表達式由這k組變量對應(yīng)的k個最大項組成。例：將變換成最大項表達式解：列出真值表，有五項F

為0，根據(jù)真值表可寫出最大項表達式。2．3．3通用函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換真值表2．真值表轉(zhuǎn)換法假定在函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F值為1，則函數(shù)F的最小項表達式由這k組變量對應(yīng)的k個最小項組成。例：將變換成最小項表達式解：列出真值表，有四項F為1，根據(jù)真值表可寫出最小項表達式。ABCF000000100101011010011011110111102．3．3通用函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換2．4邏輯函數(shù)化簡化簡目的：降低系統(tǒng)成本、減少復(fù)雜度、提高可靠性。2．4．1代數(shù)化簡法1．“與-

或”表達式化簡最簡“與-

或”表達式應(yīng)滿足兩個條件：ABCF00000011010001111001101011001110表達式中的“與”項個數(shù)最少，每個“與”項中變量個數(shù)最少。⑴并項法利用定理7中，將兩個“與”項合并成一個“與”項。合并后可消去一個變量。如：2．4．1代數(shù)化簡法⑵吸收法利用定理3中A+AB=A，消去多余的項。如：⑶

消去法利用定理4中，消去多余變量。如：⑷配項法利用公理4和公理5中的A?1=A及A+=1，選擇某些“與”項，并配上所缺的變量，再利用并項、吸收和消去等方法進行化簡。例1：2．4．1代數(shù)化簡法2．“或–與”表達式的化簡最簡“或

–

與”表達式應(yīng)滿足兩個條件：表達式中的“或”項個數(shù)最少，每個“或”項中變量個數(shù)最少。例：

2．4．2卡諾圖化簡法1．卡諾圖的構(gòu)成卡諾圖是一種真值表圖形化的平面方格圖，n

變量卡諾圖有2n個方格，方格坐標(biāo)值給出變量的2n

種取值，每個方格與最小項對應(yīng)。方格上方和左方的坐標(biāo)值表示該方格所表示最小項的下標(biāo)，即該項對應(yīng)的二進制值。如4變量卡諾圖中m5

的列坐標(biāo)為01，行坐標(biāo)也為01，則坐標(biāo)0101對應(yīng)的數(shù)值即為最小項的下標(biāo)5。ABA012．4．2卡諾圖化簡法卡諾圖的排列方案應(yīng)保證能清楚地反映最小項的相鄰關(guān)系。圖中每列坐標(biāo)僅有一位不同，每行坐標(biāo)也僅有一位不同。在n個變量的卡諾圖中，每個變量有n個相鄰最小項。m0m2m1m3AB

0B1m0m2m6m4m1m3m7m5ABC0C1m0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10ABCD00011110

ABC00

01

11

1000

01

11

10D二變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖2．4．2卡諾圖化簡法例：4變量卡諾圖中m5有4個相鄰最小項m1、m4、m7、m13，這4個最小項對應(yīng)的小方格與m5小方格在幾何位置上相鄰，稱為幾何相鄰。m0的4個相鄰最小項只有m1、m4

幾何相鄰，m8、m2在相對位置上相鄰，稱為相對相鄰。5變量卡諾圖中m3除了和m1、m2、m7幾何相鄰、和m11相對相鄰之外，還與m19相鄰。將左邊矩形與右邊矩形重疊，上下重疊的最小項也相鄰，稱為重疊相鄰。BCm0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10ABCDE00011110D000

001

011

010

BCm16m20m28m24m17m21m29m25m19m23m31m27m18m22m30m26ABCD100101111

110EA五變量卡諾圖2．4．2卡諾圖化簡法2．邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準“與–或”表達式時，在卡諾圖上與最小項對應(yīng)的方格中填入1，其余方格填入0，即可得該函數(shù)的卡諾圖。例：F（A，B，C，D）=在4變量卡諾圖上找出和“與項”AB、CD、對應(yīng)的方格填入1。由AB“與項”可知第三列均為1，由CD“與項”可知第三行均為1，由‘“與項”可知第一列第三、第四方格（ABC=001）均為1。由填好的卡諾圖可得:3．卡諾圖上最小項的合并規(guī)律0010001011111010ABCD0001111000

01

11

10

卡諾圖上兩個或若干個相鄰項可以合并成一個或多個“與”項。幾何相鄰、相對相鄰和重疊相鄰均可合并。由一個簡單與項代替的若干最小項的“圈”稱為“卡諾圈”。AB01

0

12．4．2卡諾圖化簡法例1：兩個變量卡諾圖中2個相鄰最小項合并。

，該函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖為圖(a)，由圖可見，m1、m3

為相鄰最小項，可合并，。，該函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖為圖(b)，m0、m1

為相鄰最小項，可合并，。，該函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖為圖(c)，m0、m1

為相鄰最小項，m0、m2

也為相鄰最小項，均可合并，

(a)(b)(c)兩個相鄰最小項合并后變成一個最小項，可減少一個變量。0011AB01

0

11010AB01

0

111102．4．2卡諾圖化簡法例2：三個變量卡諾圖中4個相鄰最小項合并。例3：四個變量卡諾圖中4個相鄰最小項合并。⑴10011001ABC0100

01

11

1001100110ABC0100

01

11

10函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖中，最小項m0、m2、m8、m10相鄰，經(jīng)合并后為，最小項m5、m7、m13、m15相鄰，經(jīng)合并后為BD。函數(shù)式經(jīng)化簡后得：ABCD00011110100101100110100100

01

11

102．4．2卡諾圖化簡法ABCD00011110011010011001011000

01

11

10⑵函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖中，最小項m1、m3、m9、m11相鄰，經(jīng)合并后為，最小項m4、m12、m6、m14相鄰，經(jīng)合并后為。則函數(shù)式經(jīng)化簡后得：⑶

函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖中，最小項m4、m5、m7、m6、m12、m13、m15、m14相鄰，經(jīng)合并后為B。則函數(shù)式經(jīng)化簡后得：ABCD00011110011001100110011000

01

11

10

蘊涵項：“與

-

或”表達式中的每一個“與”項稱為函數(shù)的蘊涵項。質(zhì)蘊涵項：若函數(shù)的一個蘊涵項不是該函數(shù)中其他蘊涵項的子集，則此蘊涵項稱為質(zhì)蘊涵項，簡稱質(zhì)項。必要質(zhì)蘊涵項：若一個質(zhì)蘊涵項含不被其他質(zhì)蘊涵項所含的最小項，稱為必要質(zhì)蘊涵項，簡稱必要質(zhì)項。在圖中，若某個卡諾圈包含不被其他卡諾圈包含的1個方格，則卡諾圈所對應(yīng)的“與”項為必要蘊涵項。ABCD00011110100110011001100100

01

11

102．4．2卡諾圖化簡法⑷函數(shù)式對應(yīng)的卡諾圖中，最小項m0、m1、m3、m2、m8、m9、m11、m10相鄰，經(jīng)合并后為得。則函數(shù)式經(jīng)化簡后得：4．卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟2．4．2卡諾圖化簡法⑴作出函數(shù)卡諾圖，函數(shù)對應(yīng)的最小項填1。⑵圈出函數(shù)全部質(zhì)蘊涵項⑶從全部蘊涵項中找出必要蘊涵項⑷若所有必要蘊涵項不能覆蓋所有為1的方格，則從剩余質(zhì)蘊涵項中找出最簡的所需蘊涵項，和必要蘊涵項構(gòu)成函數(shù)最小覆蓋。例4：簡化邏輯函數(shù)按以上步驟用圖形簡化。圖上帶有“*”號的最小項只被一個卡諾圈包圍，稱為必要最小項。該題所有質(zhì)蘊涵項均為必要質(zhì)蘊涵項。ABCD00011110100001101111010100

01

11

10ABCD00011110100001101111010100

01

11

10ABCD000111101*00001*1*01*11101*01*00

01

11

102．4．2卡諾圖化簡法圖中帶“*”號的最小項為必要最小項。5個必要蘊涵項已將函數(shù)的全部最小項覆蓋，故可得函數(shù)F的最簡表達式：例5：簡化邏輯函數(shù)選取必要質(zhì)項后，尚有

m10未被覆蓋。為覆蓋m10，可選取質(zhì)蘊涵項，這兩個質(zhì)蘊涵項都包含三個變量，可任選一個。若選第一個，則

F

的最簡表達式為：。ABCD00011110001100001100110100

01

11

10ABCD00011110001100001100110100

01

11

10ABCD00011110001*100001*1*0011*0100

01

11

102．4．3列表化簡法用列表的方式找出函數(shù)F的全部質(zhì)蘊涵項、必要質(zhì)蘊涵項以及最簡質(zhì)蘊涵項，求得最簡表達式。具體步驟為：⑴用二進制代碼表示每一個最小項⑵通過若干次相鄰最小項的合并，每次消去一個變量，直至找出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項。⑶找出函數(shù)的必要質(zhì)蘊涵項⑷找出函數(shù)的最小覆蓋例：化簡邏輯函數(shù)項號ABCDF項號ABCDF00000110101015010111110111701111141110181000115111119100112．4．3列表化簡法相鄰最小項的二進制代碼中1的個數(shù)只能相差為1，將表中的最小項按二進制代碼中1的個數(shù)進行分組，共分為5組。對相鄰兩組代碼逐個進行比較，找出只有一個變量不同的最小項合并，消去一個變量，組成n-1個變量的“與”項列于表的第二欄中。（Ⅰ

）最小項（Ⅱ

）3變量“與”項（Ⅲ

）2變量“與”項組號miABCDPi組號

ABCDPi組號

ABCDPi000000√

00,8-000P108,9,10,1110-

-

P4181000√

18,