邏輯函數(shù)的化簡1§2.3邏輯函數(shù)的化簡同一個邏輯函數(shù)可以寫成各種不同形式的表達式。表達式越簡單，所表示的邏輯關系越明顯；表達式越簡單，一般說來，就可以用最少的電子器件來實現(xiàn)。注意：確切地說，不同形式的邏輯器件對應著不同形式的最簡邏輯表達式。需要通過化簡的方法找出邏輯函數(shù)的最簡形式。2§2.3.1邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與或表達式最常用的是與或表達式，由它容易推導出其它表達形式。判別與或表達式是否為最簡的條件：乘積項（與項）最少；每個乘積項中因子（邏輯變量）最少。3§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)公式法化簡（對于與或表達式）根據(jù)邏輯代數(shù)的公理、定律、定理、公式等，消去邏輯函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，進行化簡。公式法化簡沒有固定的步驟，而要根據(jù)具體問題具體應用不同的方法，這些方法大致包括：并項法、吸收法、消因子法、消項法、配項法等。化簡的方法不是唯一的。

4§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)

并項法利用互補律：，將兩項合并為一項，合并時消去一個邏輯變量（一個原變量、一個反變量）。例：實際上這道例題，對于B,C，已經是5§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)吸收法利用公式：，吸收掉冗余的乘積項。例：6§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)

消因子法利用公式：，消去冗余的因子。例：7§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)消項法利用常用公式：

消去冗余的乘積項。例：

8§2.3.2公式法化簡邏輯函數(shù)

配項法根據(jù)基本公式A+A=A

，在式中重復某項，再化簡；根據(jù)基本公式，式中某項乘以，再化簡。說明：本例只是用來演示，實際上先對后兩項并項，然后再消因子，更加簡單一些。9§2.3.3卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)提綱卡諾圖卡諾圖化簡法具有無關項的邏輯函數(shù)的化簡10§2.3.3卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)§2.3.3.1卡諾圖（KarnaughMap）卡諾圖是由美國工程師卡諾（Karnaugh,M）首先提出*的一種用來描述邏輯函數(shù)的特殊方格圖*。在這個方格圖中，每一個小方格代表邏輯函數(shù)的一個最小項*，而且?guī)缀挝恢谩跋噜彙钡男》礁窬哂羞壿嬒噜徯?，即：兩個相鄰的小方格所代表的最小項只有一個變量取值不同。11§2.3.3.1卡諾圖確切地說：卡諾圖是由美國工程師維奇（Veitch）和卡諾（Karnaugh）分別從不同角度提出的；1953年，Karnaugh,Manrice（美國貝爾實驗室）“TheMapMethodforSynthesisofCombinationalLogic”,Trans.ofAmer.Inst.ofElectricalEngineers,1970.1.1.卡諾圖也是一種特殊的真值表——鄰接真值表；“幾何相鄰的小方格具有邏輯相鄰性”也存在每一小格代表最大項的卡諾圖。12§2.3.3.1卡諾圖提綱

定義和歷史卡諾圖的構成與特點根據(jù)邏輯函數(shù)填寫卡諾圖由卡諾圖得到標準與或表達式13§2.3.3.1卡諾圖卡諾圖的構成62517340ABC00011110011014629135111157384120ABCD0001111000011110m3m1m2m0BA0101ABBA0101四變量三變量0ABCDE000111100000100010111100101110111010011000001234567891011121314151617181920212223242526272829303114§2.3.3.1卡諾圖卡諾圖的特點卡諾圖中的小方格數(shù)等于最小項總數(shù)，若邏輯函數(shù)的變量數(shù)為n，則小方格數(shù)為2n個。最小項的卡諾圖行列兩側標注的0和1表示使對應方格內最小項為1的變量取值；同時，這些0和1組成的二進制數(shù)的值就是對應最小項的編號。卡諾圖是“鄰接真值表”，任何一個n變量邏輯函數(shù)可以用n變量最小項卡諾圖表示：縱橫兩側標注變量的取值組合，邏輯函數(shù)等于在卡諾圖中填入“1”的那些最小項之和。在卡諾圖中，變量的取值按循環(huán)碼（格雷碼）排列；因此，幾何位置“相鄰”的最小項具有邏輯相鄰性?！?5§2.3.3.1卡諾圖卡諾圖的特點（續(xù)）卡諾圖幾何位置“相鄰”的方格之間的邏輯關系：邏輯相鄰性；閉合（上下或左右）對于五個變量，僅僅用二維空間的相鄰性已經不夠，

——（軸）對稱位置的邏輯相鄰性，變量應按最小項編碼的順序分組

1×1，1×2，2×2，2×3更高維不適用！16§2.3.3.1卡諾圖得到標準與或表達式若已知邏輯函數(shù)的表達式，可首先把函數(shù)寫成最小項之和的形式；然后，填寫卡諾圖在卡諾圖上與這些最小項對應的位置上填入1，在其余位置上填入0，這樣就可得到表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。例：

17例：62517340ABC00011110011111ABC000111100110101100ABC0001111001=m3+m5+m6+m718例：與或表達式熟練后，亦可根據(jù)與或表達式直接填入（提倡）1111ABC000111100119根據(jù)與或表達式直接填入，又例：ABCD0001111000011110

1tryit…20§2.3.3.1卡諾圖根據(jù)卡諾圖寫出邏輯表達式：既可寫出標準“與或”表達式（簡易）也可寫出標準“或與”表達式（也較方便，見后…）11111111ABCD0001111000011110

練習：由卡諾圖寫出標準與或表達式21§2.3.3.2卡諾圖化簡法22§2.3.3.2卡諾圖化簡法用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的依據(jù)由于卡諾圖上幾何位置的相鄰性與邏輯上的相鄰性是一致的，因而從卡諾圖上能直觀地找出那些具有相鄰性的最小項，并將其合并化簡；幾何相鄰的兩個方格（包括“閉合”與“軸對稱”）所代表的最小項只有一個變量不同；根據(jù)互補律，當方格為1（簡稱“1”格），且兩個“1”格相鄰時，對應的最小項就可以加以合并，消去一對原變量與反變量，合并后只剩公共因子。例如：23§2.3.3.2卡諾圖化簡法如何“直觀地”找到待合并的最小項呢？最小項卡諾圖邏輯化簡規(guī)則規(guī)則1：卡諾圖中兩個相鄰“1”格的最小項可以合并成一個與項，并消去一個變量?？ㄖZ圈11ABC000111100111ABCD000111100001111024§2.3.3.2卡諾圖化簡法規(guī)則1：

（續(xù)）11ABC000111100111ABCD000111100001111025§2.3.3.2卡諾圖化簡法規(guī)則2：卡諾圖中四個相鄰“1”格的最小項可以合并成一個與項，并消去兩個變量。1111ABC00011110011111ABC00011110011111ABCD00011110000111101111ABCD0001111000011110反復利用合并項法則,保留相同變量,消掉相反變量26§2.3.3.2卡諾圖化簡法規(guī)則3：卡諾圖中八個相鄰“1”格的最小項可以合并成一個與項，并消去三個變量。11111111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCDE0000010110101101111011000001111027§2.3.3.2卡諾圖化簡法用最小項卡諾圖化簡法求最簡與或表達式步驟：(1)建立邏輯函數(shù)的卡諾圖；(2)合并最小項；(3)寫出最簡與或表達式。問題在于：如何選擇可合并的最小項，以達到最簡？理論：找到實質蘊涵項；（自學，可參考備注和附錄）技巧：選擇卡諾圈的技巧！28§2.3.3.2卡諾圖化簡法畫卡諾圈和選擇卡諾圈的技巧五個原則：“1”格不能漏圈；“1”格允許被一個以上的圈所包圍；圈的個數(shù)盡可能少；圈的面積盡可能大；每個圈至少應包含一個新的“1”格?！靶碌摹?’格”——學名“實質最小項”29練習11111111ABCD0001111000011110?30練習11111111ABCD0001111000011110“新的‘1’格”11111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110OK圈的個數(shù)盡可能少31練習1111111111ABCD00011110000111101111111111ABCD0001111000011110圈的面積盡可能大32練習11111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110每個圈至少應包含一個新的“1”格33§2.3.3.2卡諾圖化簡法注意：卡諾圖化簡得到的最簡式不一定是唯一的。111111ABC0001111001111111ABC000111100134§2.3.3.3用卡諾圖化簡法求最簡或與表達式用卡諾圖化簡法求最簡或與表達式方法一：合并反函數(shù)的最小項方法二：合并原函數(shù)的最大項（不講授）35§2.3.3.3用卡諾圖化簡法求最簡或與表達式注意：反函數(shù)可以用真值表或者卡諾圖中Y=0對應的的最小項之和來表示。方法一：合并反函數(shù)的最小項畫出邏輯函數(shù)Y的卡諾圖；合并0方格（俗稱“0”格）求得反函數(shù)的最簡與或表達式；對反函數(shù)的最簡“與或”式進行反演變換，得函數(shù)的最簡“或與”式。36練習：求最簡或與表達式1001101100001001ABCD000111100001111037§2.3.3.4具有無關項邏輯函數(shù)的化簡無關項約束項：輸入邏輯變量的某些取值組合禁止出現(xiàn)；任意項：一些取值組合出現(xiàn)時，輸出邏輯值可以是任意的；這些取值組合對應的最小項稱為約束項或任意項，統(tǒng)稱為無關項。在卡諾圖的方格中，常使用符號“×”（或“φ”）表示。無關項在化簡邏輯函數(shù)中的應用合理利用無關項，一般可得到更加簡單的化簡結果；在卡諾圖中，無關項“×”可以被作為1，也可以被作為0；目的：加入的無關項應該與函數(shù)式中盡可能多的最小項具有邏輯相鄰性。38例：帶有無關項的邏輯函數(shù)和卡諾圖??11111?ABCD0001111000011110合并包含無關項的最小項將無關項“×”作為1——認為函數(shù)式包含此無關項；還是將無關項“×”作為0——認為函數(shù)式不包含此無關項？原則：應該使…相鄰最小項矩形組合（“卡諾圈”）最大，并且，組合（“卡諾圈”）數(shù)目最少。39§2.3.4邏輯函數(shù)形式的轉換最簡與或表達式可用與門和或門來實現(xiàn)，但在數(shù)字電路系統(tǒng)中，廣泛使用的有與非門、或非門及與或非門等?；蚍恰蚍桥c或非與非—與非一般形式的邏輯函數(shù)

最簡或與表達式

最簡與或表達式

反函數(shù)的最簡與或式40§2.3.4邏輯函數(shù)形式的轉換與或→與非—與非只要將與或表達式兩次求反，再使用一次DeMorgan律，就可以得到“與非—與非”表達式。用兩級與非門即可實現(xiàn)41§2.3.4邏輯函數(shù)形式的轉換與或→與或非先求其反函數(shù)的最簡與或表達式，然后再求反即可得到“與或非”表達式。ABC01000111101111用一個“與或非”門即可實現(xiàn)42§2.3.4邏輯函數(shù)形式的轉換與或→（或與）→或非—或非作出原函數(shù)卡諾圖，用合并“0”格的方法先求出其反函數(shù)的

最簡與或表達式；對所得“與或”表達式求反得到原函數(shù)的最簡或與表達式；兩次求反，并利用DeMorgan律，便可得到原函數(shù)的——“或非—或非”表達式。ABC01000111101111DeMorganDeMorgan43§2.3.4邏輯函數(shù)形式的轉換與或→（或與）→或非—或非作出原函數(shù)卡諾圖，用合并“0”格的方法先求出其反函數(shù)的最簡與或表達式；對所得的與或表達式求反得到函數(shù)的