2026屆山東省萊蕪市陳毅中學數學九上期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊AB、CE相交于點D，則∠BDC的度數為（）A．60° B．45° C．75° D．90°2．如圖，的半徑為3，是的弦，直徑，，則的長為（）A． B． C． D．3．如圖下列條件中不能判定的是（）A． B．C． D．4．若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是A．x≠5 B．x＜5 C．x≥5 D．x≤55．關于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．開口向上 B．與x軸有唯一交點C．對稱軸是直線 D．當時，y隨x的增大而減小6．已知Rt△ABC中，∠C=90o，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正確的是（）A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．tanB=7．下列事件屬于必然事件的是（）A．在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球B．拋擲一枚硬幣2次都是正面朝上C．在標準大氣壓下，氣溫為15℃時，冰能熔化為水D．從車間剛生產的產品中任意抽一個，是次品8．要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5，6，9，另一個三角形的最長邊長為4.5，則它的最短邊長是（）A． B． C． D．9．設點和是反比例函數圖象上的兩個點，當＜＜時，＜，則一次函數的圖象不經過的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如圖，PA、PB都是⊙O的切線，切點分別為A、B．四邊形ACBD內接于⊙O，連接OP則下列結論中錯誤的是（）A．PA=PB B．∠APB+2∠ACB=180°C．OP⊥AB D．∠ADB=2∠APB二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知拋物線經過點、，那么此拋物線的對稱軸是___________．12．若關于x的一元二次方程x2＋4x＋k﹣1＝0有實數根，則k的取值范圍是____．13．___________14．點P（2，﹣1）關于原點的對稱點坐標為（﹣2，m），則m＝_____．15．計算：=．16．已知二次函數的圖像開口向上，則的值為________.17．如圖，已知AB，CD是☉O的直徑，弧AE=弧AC，∠AOE=32°，那么∠COE的度數為________度.18．一只不透明的布袋中有三種珠子（除顏色以外沒有任何區(qū)別），分別是個紅珠子，個白珠子和個黑珠子，每次只摸出一個珠子，觀察后均放回攪勻，在連續(xù)次摸出的都是紅珠子的情況下，第次摸出紅珠子的概率是_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點M是BC的中點．（1）在AM上求作一點E，使△ADE∽△MAB（尺規(guī)作圖，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，求AE的長．20．（6分）如圖是由相同的5個小正方體組成的幾何體，請畫出它的三種視圖，若每個小正方體的棱長為a，試求出該幾何體的表面積.21．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，記∠ABC＝α，點D為射線BC上的動點，連接AD，將射線DA繞點D順時針旋轉α角后得到射線DE，過點A作AD的垂線，與射線DE交于點P，點B關于點D的對稱點為Q，連接PQ．（1）當△ABD為等邊三角形時，①依題意補全圖1；②PQ的長為；（2）如圖2，當α＝45°，且BD＝時，求證：PD＝PQ；（3）設BC＝t，當PD＝PQ時，直接寫出BD的長．（用含t的代數式表示）22．（8分）閱讀下列材料后，用此方法解決問題．解方程：．解：∵時，左邊右邊．∴是方程的一個解．可設則：∴∴∴又∵可分解為∴方程的解滿足或或．∴或或．（1）解方程；（2）若和是關于的方程的兩個解，求第三個解和，的值．23．（8分）隨機抽取某小吃店一周的營業(yè)額(單位:元)如下表:星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合計（1）分析數據，填空:這組數據的平均數是元，中位數是元，眾數是元.（2）估計一個月(按天計算)的營業(yè)額,星期一到星期五營業(yè)額相差不大，用這天的平均數估算合適么?簡要說明理由.24．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，過點B作AB的垂線交AC的延長線于點F．（1）求證：；（2）過點C作CG⊥BF于G，若AB＝5，BC＝2，求CG，FG的長．25．（10分）如圖，⊙O的直徑為AB，點C在⊙O上，點D，E分別在AB，AC的延長線上，DE⊥AE，垂足為E，∠A＝∠CDE．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB＝4，BD＝3，求CD的長．26．（10分）如圖，在中，，.（1）在邊上求作一點，使得.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，求證：為線段的黃金分割點.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據三角形的外角的性質計算，得到答案．【詳解】∵∠GFA＝90°，∠A＝45°，∴∠CGD＝45°，∴∠BDC＝∠CGD＋∠C＝75°，故選：B．本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．2、C【分析】連接OC，利用垂徑定理以及圓心角與圓周角的關系求出；再利用弧長公式即可求出的長.【詳解】解：連接OC（同弧所對的圓心角是圓周角的2倍）∵直徑∴=（垂徑定理）∴故選C本題考查了垂徑定理、圓心角與圓周角以及利用弧長公式求弧長，熟練掌握相關定理和公式是解答本題的關鍵.3、C【分析】根據相似三角形的判定定理對各個選項逐一分析即可．【詳解】A.，可以判定，不符合題意；B.，可以判定，不符合題意；C.不是對應邊成比例，且不是相應的夾角，不能判定，符合題意；D.即且，可以判定，不符合題意．故選C．本題考查了相似三角形的判定定理，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．4、D【解析】二次根式中被開方數非負即5-x≧0∴x≤5故選D5、D【分析】先把拋物線化為頂點式，再根據拋物線的性質即可判斷A、C、D三項，令y=0，解關于x的方程即可判斷B項，進而可得答案.【詳解】解：；A、∵a=1>0，∴拋物線的開口向上，說法正確，所以本選項不符合題意；B、令y=0，則，該方程有兩個相等的實數根，所以拋物線與x軸有唯一交點，說法正確，所以本選項不符合題意；C、拋物線的對稱軸是直線，說法正確，所以本選項不符合題意；D、當時，y隨x的增大而減小，說法錯誤，應該是當時，y隨x的增大而增大，所以本選項符合題意.故選：D.本題考查了二次函數的性質和拋物線與x軸的交點問題，屬于基本題型，熟練掌握拋物線的性質是解題關鍵.6、D【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義以及勾股定理分別求解，再進行判斷即可．【詳解】∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，∴AB＝，A、sinA＝，故此選項錯誤；B、cosA＝，故此選項錯誤；C、tanA＝，故此選項錯誤；D、tanB＝，故此選項正確．故選：D．

此題主要考查了銳角三角函數的定義以及勾股定理，熟練應用銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵．7、C【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件，據此逐一判斷即可.【詳解】A.在一個裝著白球和黑球的袋中摸球，摸出紅球，一定不會發(fā)生，是不可能事件，不符合題意，B.拋擲一枚硬幣2次都是正面朝上，可能朝上，也可能朝下，是隨機事件，不符合題意，C.在標準大氣壓下，氣溫為15℃時，冰能熔化為水，是必然事件，符合題意．D.從車間剛生產的產品中任意抽一個，可能是正品，也可能是次品，是隨機事件，不符合題意，故選：C.本題考查了必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．8、B【分析】根據題意可得出兩個三角形相似，利用最長邊數值可求出相似比，再用三角形的最短邊乘以相似比即可．【詳解】解：由題意可得出：兩個三角形的相似比為：，所以另一個三角形最短邊長為：．故選：B．本題考查的知識點是相似三角形的相似比，根據題目求出兩個三角形的相似比是解此題的關鍵．9、A【解析】∵點和是反比例函數圖象上的兩個點，當＜＜1時，＜，即y隨x增大而增大，∴根據反比例函數圖象與系數的關系：當時函數圖象的每一支上，y隨x的增大而減小；當時，函數圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．故k＜1．∴根據一次函數圖象與系數的關系：一次函數的圖象有四種情況：①當，時，函數的圖象經過第一、二、三象限；②當，時，函數的圖象經過第一、三、四象限；③當，時，函數的圖象經過第一、二、四象限；④當，時，函數的圖象經過第二、三、四象限．因此，一次函數的，，故它的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限．故選A．10、D【分析】連接，，根據PA、PB都是⊙O的切線，切點分別為A、B，得到，，所以A，C正確；根據得到，即，所以B正確；據此可得答案．【詳解】解：如圖示，連接，，、是的切線，，，所以A，C正確；又∵，，∴在四邊形APBO中，，即，所以B正確；∵D為任意一點，無法證明，故D不正確；故選：D．本題考查了圓心角和圓周角，圓的切線的性質和切線長定理，熟悉相關性質是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、直線【分析】根據點A、B的縱坐標相等判斷出A、B關于對稱軸對稱，然后列式計算即可得解．【詳解】解：∵點、的縱坐標都是5相同，∴拋物線的對稱軸為直線．故答案為：直線．此題考查二次函數的性質，觀察出A、B是對稱點是解題的關鍵．12、k≤5【詳解】解：由題意得，42-4×1×（k-1）≥0,解之得k≤5.點睛:本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當△<0時，一元二次方程沒有實數根.13、【分析】代入特殊角度的三角函數值計算即可．【詳解】故答案為：．本題考查了特殊角度的三角函數值計算，熟記特殊角度的三角函數值是關鍵．14、1【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出答案．【詳解】∵點P（2，﹣1）關于原點的對稱點坐標為（﹣2，m），∴m＝1．故答案為：1．此題主要考查了關于原點對稱點的性質，正確把握對應點橫縱坐標的關系是解題關鍵．15、1．【解析】試題分析：原式==9﹣1=1，故答案為1．考點：二次根式的混合運算．16、2【分析】根據題意：的最高次數為2，由開口向上知二次項系數大于0，據此求解即可.【詳解】∵是二次函數，

∴，即

解得：，

又∵圖象的開口向上，

∴，

∴．故答案為：．本題綜合考查了二次函數的性質及定義，要注意二次項系數的取值范圍．17、64【分析】根據等弧所對的圓心角相等求得∠AOE=∠COA=32°，所以∠COE=∠AOE+∠COA=64°．【詳解】解：∵弧AE=弧AC，（已知）

∴∠AOE=∠COA（等弧所對的圓心角相等）；

又∠AOE=32°，

∴∠COA=32°，

∴∠COE=∠AOE+∠COA=64°．

故答案是：64°．本題考查圓心角、弧、弦的關系．在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對應的其它量也相等．18、．【分析】每次只摸出一個珠子時，布袋中共有珠子個，其中紅珠子個，可以直接應用求概率的公式．【詳解】解：因為每次只摸出一個珠子時，布袋中共有珠子個，其中紅珠子個，所以第次摸出紅珠子的概率是．故答案是：．本題考查概率的意義，解題的關鍵是熟練掌握概率公式．三、解答題(共66分)19、（1）過D作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；見解析；（2）AE＝．【分析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）先根據矩形的性質，得到AD∥BC，則∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根據有兩角對應相等的兩三角形相似，即可證明出△DAE∽△AMB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求出DE的長，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：（1）過D作DE⊥AM于E，△ADE即為所求；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AMB，又∵∠DEA＝∠B＝90°，∴△DAE∽△AMB，∴DE：AD＝AB：AM，∵M是邊BC的中點，BC＝6，∴BM＝3，又∵AB＝4，∠B＝90°，∴AM＝5，∴DE：6＝4：5，∴DE＝，∴AE＝＝＝．考核知識點：相似三角形判定和性質.根據相似三角形判定和性質求出線段比，利用勾股定理進一步求解是關鍵.20、圖形見解析；20a2.【解析】試題分析：分別利用三視圖的觀察角度不同進而得出其三視圖，底層有四個小正方體，上層有一個小正方體，其中看不到的面有10個，可以根據不同的方法來求表面積.試題解析：該幾何體的三種視圖如圖所示；，或【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖和表面積，解題的關鍵是明確三視圖要從不同的方向看，求表面積時的關鍵是要結合圖形確定重疊的部分．21、（1）①詳見解析；②1；（1）詳見解析；（3）BD＝．【分析】（1）①根據題意畫出圖形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性質證明PQ＝PA即可．（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通過計算證明DF＝FQ即可解決問題．（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設BD＝x，則CD＝x﹣t，，利用相似三角形的性質構建方程求解即可解決問題．【詳解】（1）解：①補全圖形如圖所示：②∵△ABD是等邊三角形，AC⊥BD，AC＝1∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°∴∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°∴PA＝AD?tan60°＝1∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ∴△PDA≌△PDQ（SAS）∴PQ＝PA＝1．（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如圖：∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°由題意可知∠ADP＝45°∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP∴PA＝PD∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°∵AH⊥PF，PF⊥BQ∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四邊形ACFH是矩形∴∠CAH＝90°，AH＝CF∵∠ACH＝∠DAP＝90°∴∠CAD＝∠PAH又∵∠ACD＝∠AHP＝90°∴△ACD≌△AHP（AAS）∴AH＝AC＝1∴CF＝AH＝1∵，BC＝1，B，Q關于點D對稱∴，∴∴F為DQ中點∴PF垂直平分DQ∴PQ＝PD．（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設BD＝x，則CD＝x﹣t，∵PD＝PQ，PF⊥DQ∴∵四邊形AHFC是矩形∴∵△ACB∽△PAD∴∴∴∵△PAH∽△DAC∴∴解得∴．故答案是：（1）①詳見解析；②1；（1）詳見解析；（3）．本題是三角形綜合題目，主要考查了三角形的旋轉、等邊三角形的性質、銳角三角函數、勾股定理、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，構造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解題的關鍵．22、（1）或或；（2）第三個解為，，．【分析】（1）模仿材料可得：是的一個解．可設，=，求出m,n再因式分解求解；（2）由和是方程的兩個解，可設，則：=，求出k，再因式分解解方程.【詳解】解：（1）∵時，左邊==0=右邊，∴是的一個解．可設∴=∴∴∴=∴或或．∴方程的解為或或．（2）∵和是方程的兩個解∴可設，則：==∴∴∴=0∴或或．∴方程的解為或或．∴第三個解為，，．考核知識點：因式分解高次方程.理解材料，熟練掌握整式乘法和因式分解方法是關鍵.23、（1）780,680,640；（2）不合適，理由見解析【分析】（1）根據平均數、中位數、眾數的定義，即可得解；（2）根據數值和平均數之間的差距即可判定.【詳解】(1)這組數據的平均數是元，從小到大排列為:540、640、640、680、780、1070、1110，則其中位數是680元，眾數是640元．（2）不合適理由：星期一到星期五的日平均營業(yè)額相差不大，但是與周六和周日差距較大，平均數受極端值影響較大，所以不合適.此題主要考查統(tǒng)計的相關概念，數據波動以及離散程度的相關知識，熟練掌握，即可解題.24、（1）見解析；