廣東省揭陽(yáng)榕城真理中學(xué)2026屆九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．寬與長(zhǎng)的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫(huà)出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH2．某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且第一季度的產(chǎn)值為175億元．若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程為()A．50(1＋x)2＝175 B．50＋50(1＋x)2＝175C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝1753．在一個(gè)不透明的布袋中有紅色、黑色的球共10個(gè)，它們除顏色外其余完全相同．小娟通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近，則口袋中黑球的個(gè)數(shù)很可能是()A．4 B．5 C．6 D．74．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝20°，則∠ADC的度數(shù)是()A．90° B．100° C．110° D．130°5．某校辦工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為200件，計(jì)劃通過(guò)改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，使得三年的總產(chǎn)量達(dá)到1400件．若設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為，則可列方程（）A． B．C． D．6．若扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的弧長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．關(guān)于的一元一次方程的解為，則的值為（）A．5 B．4 C．3 D．28．若，則正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．9．反比例函數(shù)的圖象分布的象限是（）A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一象限 D．第二象限10．下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）A．拋兩枚均勻的硬幣，硬幣落地后，都是正面朝上B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)C．在地球上，拋出的籃球會(huì)下落D．明天會(huì)下雨11．如圖，BD是⊙O的直徑，圓周角∠A=30，則∠CBD的度數(shù)是（）A．30 B．45 C．60 D．8012．如圖，反比例函數(shù)y＝與y＝的圖象上分別有一點(diǎn)A，B，且AB∥x軸，AD⊥x軸于D，BC⊥x軸于C，若矩形ABCD的面積為8，則b﹣a＝（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4二、填空題（每題4分，共24分）13．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2＝______．14．二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，作直線，將直線下方的二次函數(shù)圖象沿直線向上翻折，與其它剩余部分組成一個(gè)組合圖象，若線段與組合圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____．15．如圖，正方形中，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則______16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)E在x軸上，A(-3，2)，則__________．17．如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C=90°，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=______m．18．在比例尺為1:1000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是2.6cm,則甲、乙兩地的實(shí)際距離為_(kāi)______千米.三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：∠BCO＝∠D；（2）若，AE＝1，求劣弧BD的長(zhǎng)．20．（8分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，求的面積；（3）若是反比例函數(shù)上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，比與的大小關(guān)系．21．（8分）在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；（2）若M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長(zhǎng)；②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他拿出一根竹桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過(guò)竹桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面，竹標(biāo)頂端離地面，小明到竹桿的距離，竹桿到塔底的距離，求這座古塔的高度．23．（10分）如圖，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．（1）求證：∠HEA=∠CGF；（2）當(dāng)AH=DG時(shí)，求證：菱形EFGH為正方形．24．（10分）如圖，在⊿OAB中，∠OAB=90°.OA=AB=6.將⊿OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到⊿OA1B1（1）線段A1B1的長(zhǎng)是∠AOA1的度數(shù)是（2）連結(jié)AA1，求證：四邊形OAA1B1是平行四邊形;（3）求四邊形OAA1B1的面積.25．（12分）小明代表學(xué)校參加“我和我的祖國(guó)”主題宣傳教育活動(dòng)，該活動(dòng)分為兩個(gè)階段，第一階段有“歌曲演唱”、“書(shū)法展示”、“器樂(lè)獨(dú)奏”3個(gè)項(xiàng)目（依次用、、表示），第二階段有“故事演講”、“詩(shī)歌朗誦”2個(gè)項(xiàng)目（依次用、表示），參加人員在每個(gè)階段各隨機(jī)抽取一個(gè)項(xiàng)目完成.（1）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，列出小明參加項(xiàng)目的所有等可能的結(jié)果；（2）求小明恰好抽中、兩個(gè)項(xiàng)目的概率.26．一位橄欖球選手?jǐn)S球時(shí)，橄欖球從出手開(kāi)始行進(jìn)的高度與水平距離之間的關(guān)系如圖所示，已知橄欖球在距離原點(diǎn)時(shí)，達(dá)到最大高度，橄欖球在距離原點(diǎn)13米處落地，請(qǐng)根據(jù)所給條件解決下面問(wèn)題：（1）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求運(yùn)動(dòng)員出手時(shí)橄欖球的高度．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)DF=GF求得CG的長(zhǎng)，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則CD=2，CF=1

在直角三角形DCF中，∴矩形DCGH為黃金矩形

故選：D．本題主要考查了黃金分割，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念．解題時(shí)注意，寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形ABGH也為黃金矩形．2、D【分析】增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般為：增長(zhǎng)后的量＝增長(zhǎng)前的量×（1＋增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：50（1＋x），三月份的產(chǎn)值為：50（1＋x）（1＋x）＝50（1＋x）2，故根據(jù)題意可列方程為：50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝1．故選D．本題考查的是一元二次方程的運(yùn)用，解此類題目時(shí)常常要按順序列出接下來(lái)幾年的產(chǎn)值，再根據(jù)題意列出方程即可．3、C【分析】根據(jù)題意得出摸出黑球的頻率，繼而根據(jù)頻數(shù)＝總數(shù)×頻率計(jì)算即可．【詳解】∵小娟通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到黑球的頻率穩(wěn)定在60%附近，∴口袋中黑球的個(gè)數(shù)可能是10×60%＝6個(gè)．故選：C．本題主要考查利用頻率估計(jì)概率．大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4、C【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；【詳解】解：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=20°，

∴∠B=90°-20°=70°，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠ADC=110°，

故選C．本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．5、B【分析】根據(jù)題意：第一年的產(chǎn)量+第二年的產(chǎn)量+第三年的產(chǎn)量=1且今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)x．【詳解】解：已設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為x．200+200（1+x）+200（1+x）2=1．故選B．本題考查對(duì)增長(zhǎng)率問(wèn)題的掌握情況，理解題意后以三年的總產(chǎn)量做等量關(guān)系可列出方程．6、C【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：該扇形的弧長(zhǎng)＝.故選C．本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算：弧長(zhǎng)公式：（弧長(zhǎng)為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．7、D【分析】滿足題意的有兩點(diǎn)，一是此方程為一元一次方程，即未知數(shù)x的次數(shù)為1；二是方程的解為x=1,即1使等式成立，根據(jù)兩點(diǎn)列式求解.【詳解】解：根據(jù)題意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故選：D.本題考查一元一次方程的定義及方程解的定義，對(duì)定義的理解是解答此題的關(guān)鍵.8、B【分析】根據(jù)ab＜0及正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)，可以從a＞0，b＜0和a＜0，b＞0兩方面分類討論得出答案．【詳解】解：∵ab＜0，∴分兩種情況：（1）當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，正比例函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)、第一、三象限，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，無(wú)此選項(xiàng)；（2）當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，正比例函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)、第二、四象限，反比例函數(shù)圖象在第一、三象限，選項(xiàng)B符合．故選：B．本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．9、A【解析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出k的符號(hào)，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)y=中，k=2＞0，

∴反比例函數(shù)y=的圖象分布在一、三象限．

故選：A．本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)y=（k≠0）中，當(dāng)k＞0時(shí)，反比例函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一三象限是解答此題的關(guān)鍵．10、C【解析】試題分析：A．拋兩枚均勻的硬幣，硬幣落地后，都是正面朝上是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；B．射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中十環(huán)是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；C．在地球上，拋出的籃球會(huì)下落是必然事件，故C正確；D．明天會(huì)下雨是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤；故選C．考點(diǎn)：隨機(jī)事件．11、C【解析】由BD為⊙O的直徑，可證∠BCD=90°，又由圓周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．【詳解】解：如圖，連接CD，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，∴∠D=∠A=30°，∴∠CBD=90°-∠D=60°．故選C．本題利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．12、A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到|a|＝S矩形ADOE，|b|＝S矩形BCOE，進(jìn)而得到|b|+|a|＝8，然后根據(jù)a＜0，b＞0可得答案．【詳解】解：如圖，∵AB∥x軸，AD⊥x軸于D，BC⊥x軸于C，∴|a|＝S矩形ADOE，|b|＝S矩形BCOE，∵矩形ABCD的面積為8，∴S矩形ABCD＝S矩形ADOE+S矩形BCOE＝8，∴|b|+|a|＝8，∵反比例函數(shù)y＝在第二象限，反比例函數(shù)y＝在第一象限，∴a＜0，b＞0，∴|b|+|a|＝b﹣a＝8，故選：A．本題考查了反比例函數(shù)y＝（k≠0）的系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意得：x1+x2=3，x1x2=2，

所以x1+x2-x1x2=3-2=1．

故答案為：1．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-，x1x2=．14、或【解析】畫(huà)出圖形，采用數(shù)形結(jié)合，分類討論討論，分直線y=t在x軸上方和下方兩種情況，需要注意的是，原拋物線與線段BC本來(lái)就有B、C兩個(gè)交點(diǎn).具體過(guò)程見(jiàn)詳解.【詳解】解：分類討論（一）：原拋物線與線段BC就有兩個(gè)交點(diǎn)B、C.當(dāng)拋物線在x軸下方部分，以x軸為對(duì)稱軸向上翻折后，就會(huì)又多一個(gè)交點(diǎn)，所以要滿足只有兩個(gè)交點(diǎn)，直線y=t需向上平移，點(diǎn)B不再是交點(diǎn)，交點(diǎn)只有點(diǎn)C和點(diǎn)B、C之間的一個(gè)點(diǎn)，所以t>0；當(dāng)以直線y=3為對(duì)稱軸向上翻折時(shí)，線段與組合圖象就只有點(diǎn)C一個(gè)交點(diǎn)了，不符合題意，所以t<3，故；（二）∵=（x-2）2-1,∴拋物線沿翻折后的部分是拋物線）2+k在直線y=t的上方部分，當(dāng)直線BC：y=-x+3與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即的△=0，解得k=,此時(shí)線段BC與組合圖象W的交點(diǎn)，既有C、B,又多一個(gè)，共三個(gè)，不符合題意，所以翻折部分需向下平移，即直線y=t向下平移，k=時(shí)，拋物線）2+的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），與的頂點(diǎn)（2，-1）的中點(diǎn)是（2，-），所以t<-，又因?yàn)椋?綜上所述：t的取值范圍是：或故答案為或.本題考查拋物線的翻折和上下平移、拋物線和線段的交點(diǎn)問(wèn)題.解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì).15、【分析】連接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，證出△BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=BF=，由三角形的外角性質(zhì)得出∠AED=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OE=OA，求出∠FEG=60°，∠EFG=30°,進(jìn)而求出OA的值，即可得出答案.【詳解】連接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，如圖所示則∠BGF=∠EGF=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ADB=∠CBG=45°∴△BFG是等腰直角三角形∴BG=FG=BF=∵∠ADB=∠EAD+∠AED，∠EAD=15°∴∠AED=30°∴OE=OA∵EF⊥AE∴∠FEG=60°∴∠EFG=30°∴EG=FG=∴BE=BG+EG=∵OA+AO=解得：OA=∴AB=OA=故答案為本題考查了正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，需要熟練掌握相關(guān)性質(zhì).16、【解析】分別過(guò)A點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，連接EC，由∠COE=90°，根據(jù)圓周角定理可得：EC是⊙A的直徑、，由A點(diǎn)坐標(biāo)及垂徑定理可求出OE和OC，解直角三角形即可求得．【詳解】解：如圖，過(guò)A作AM⊥x軸于M，AN⊥y軸于N，連接EC，∵∠COE=90°，∴EC是⊙A的直徑，∵A(?3，2)，∴OM=3，ON=2，∵AM⊥x軸，AN⊥y軸，∴M為OE中點(diǎn)，N為OC中點(diǎn)，∴OE=2OM=6，OC=2ON=4，∴=．本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等、垂徑定理和銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．17、1【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對(duì)應(yīng)邊成比例即可得兩岸間的大致距離AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，即，解得：AB==1（米）．故答案為1．本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．18、1【解析】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離．根據(jù)比例尺關(guān)系即可直接得出實(shí)際的距離．【詳解】根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，得：A，B兩地的實(shí)際距離為2.6×1000000＝100000（cm）＝1（千米）．故答案為1．本題考查了線段的比．能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．三、解答題（共78分）19、（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；

（2）由垂徑定理可求得CE與DE的長(zhǎng)，然后證得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得BE的長(zhǎng)，繼而求得直徑與半徑，再求出圓心角∠BOD即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）證明：∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D；（2）解：連接OD．∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴，∵∠B＝∠D，∠BEC＝∠DEC，∴△BCE∽△DAE，∴AE：CE＝DE：BE，∴，解得：BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∴⊙O的半徑為2，∵，∴∠EOD＝60°，∴∠BOD＝120°，∴的長(zhǎng)．此題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．證得△BCE∽△DAE是解題關(guān)鍵．20、（1）一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）；（3）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決求問(wèn)題．

（2）根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)BD∥x軸，利用三角形的面積公式計(jì)算即可．

（3）利用反比例函數(shù)的增減性解決問(wèn)題即可．【詳解】解：（1）反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)在上，，，把坐標(biāo)代入，則有，解得，一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為．（2）直線交軸于，，關(guān)于軸對(duì)稱，軸，．（3）是反比例函數(shù)上的兩點(diǎn)，且，．本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用函數(shù)的增減性，比較函數(shù)值的大小．21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）①BP＝；②BP＝．【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件易證△ACP∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長(zhǎng)線于Q，設(shè)BP＝x，則PQ＝2x，易證△APC∽△ACQ，所以AC2＝AP·AQ，由此列方程，解方程即可求得BP的長(zhǎng)；②如圖：作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，作CP0＝CP交AB于點(diǎn)P0，再證△AP0C∽△MPB，（2）的方法求得AP0的長(zhǎng)，即可得BP的長(zhǎng)．試題解析：（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長(zhǎng)線于Q，設(shè)BP＝x，則PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝即BP＝；②如圖：作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，作CP0＝CP交AB于點(diǎn)P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝，設(shè)AP0=x，P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP?P0C＝AP0?BP＝x（－1＋x），解得x＝∴BP＝－1＋＝．考點(diǎn)：三角形綜合題.22、古塔的高度是．【分析】根據(jù)題意即可求出EG、GH和CG，再證出，列出比例式，即可求解．【詳解】解：∵小明、竹桿、古塔均與地面垂直，∴∵小明眼睛離地面，竹桿頂端離地面∴∵∴，∴即解得：∴答：古塔的高度是．此題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．23、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）連接GE，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠AEG=∠CGE，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠HEG=∠FGE，解答即可；（2）證明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，證明∠GHE=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明．【詳解】解：（1）連接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠CGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠HEA=∠CGF；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HAE和Rt△GDH中，∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），∴∠AHE=∠DGH