2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：抽樣調(diào)查方法難點(diǎn)試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)述抽樣框偏差的主要表現(xiàn)形式及其對(duì)抽樣結(jié)果可能產(chǎn)生的影響。請(qǐng)結(jié)合實(shí)例說(shuō)明至少兩種識(shí)別和減輕抽樣框偏差的方法。二、設(shè)總體單位數(shù)為N，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）抽取n個(gè)單位，樣本均值為$\bar{x}$。試推導(dǎo)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）下，樣本均值$\bar{x}$的抽樣平均誤差$\mu_{\bar{x}}$的計(jì)算公式。并說(shuō)明影響該誤差大小的因素。三、某研究欲調(diào)查某地區(qū)農(nóng)村居民的年人均收入。該地區(qū)村莊分布廣泛，交通不便，且各村人口規(guī)模差異較大。若一次性抽選全部村莊進(jìn)行調(diào)查，成本過(guò)高；若在抽樣村莊內(nèi)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽選居民，可能無(wú)法代表全體村民。請(qǐng)簡(jiǎn)述在此情境下，至少兩種可行的抽樣設(shè)計(jì)方案，并說(shuō)明選擇該方案的理由及需要注意的問(wèn)題。四、在分層抽樣中，若已知各層的樣本量$n_h$和層內(nèi)方差$s_h^2$，但總體各層單位數(shù)$N_h$未知。請(qǐng)說(shuō)明如何利用樣本數(shù)據(jù)$\bar{x}_h$和$h/N$的估計(jì)值來(lái)計(jì)算分層抽樣總體均值的抽樣方差估計(jì)量。請(qǐng)寫(xiě)出公式。五、整群抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，其抽樣平均誤差通常較大。請(qǐng)解釋導(dǎo)致這種差異的主要原因。在什么情況下，采用整群抽樣可能反而比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更優(yōu)？請(qǐng)說(shuō)明理由。六、確定抽樣樣本量時(shí)，若總體方差未知，常采用其估計(jì)值代替。請(qǐng)簡(jiǎn)述幾種常見(jiàn)的估計(jì)總體方差的方法（無(wú)需公式）。在確定樣本量后，若實(shí)際調(diào)查中遇到無(wú)回答情況，如何調(diào)整樣本量以保證估計(jì)的精度？請(qǐng)簡(jiǎn)述調(diào)整思路。七、一項(xiàng)抽樣調(diào)查中，可能同時(shí)存在抽樣誤差和無(wú)回答誤差。請(qǐng)解釋無(wú)回答誤差的含義及其產(chǎn)生的主要原因。簡(jiǎn)述至少三種減輕無(wú)回答誤差對(duì)調(diào)查結(jié)果影響的方法。八、設(shè)總體被分為K層，從第h層中抽取樣本量為$n_h$的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。請(qǐng)證明樣本均值$\bar{x}=\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h}{N_h}\bar{x}_h$是總體均值$\bar{X}=\sum_{h=1}^{K}\frac{N_h}{N}\bar{X}_h$的無(wú)偏估計(jì)量，其中$\bar{x}_h$為第h層的樣本均值，$\bar{X}_h$為第h層的總體均值。九、比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）、分層抽樣和整群抽樣在估計(jì)量方差方面的基本關(guān)系（不考慮成本因素）。當(dāng)樣本量n確定時(shí)，哪種設(shè)計(jì)的方差通常最??？為什么？在什么條件下，該設(shè)計(jì)的方差可能最大？十、某市擬進(jìn)行一項(xiàng)居民對(duì)公共交通滿意度的調(diào)查。研究者計(jì)劃采用抽樣方法獲取樣本。請(qǐng)結(jié)合該研究主題，簡(jiǎn)述從抽樣設(shè)計(jì)角度考慮，需要重點(diǎn)關(guān)注哪些因素（如：抽樣框、抽樣方法選擇、樣本量確定、非抽樣誤差控制等），并說(shuō)明原因。試卷答案一、抽樣框偏差是指抽樣框與目標(biāo)總體之間存在的差異，導(dǎo)致部分總體單位無(wú)法被抽中或被重復(fù)抽中。主要表現(xiàn)形式包括：①缺失單位（抽樣框遺漏了目標(biāo)總體的一部分單位）；②重復(fù)單位（抽樣框中包含了同一個(gè)單位多次）；③單位屬性錯(cuò)誤（抽樣框中的單位與目標(biāo)總體在關(guān)鍵屬性上不一致）。這些偏差會(huì)嚴(yán)重影響抽樣結(jié)果的代表性，可能導(dǎo)致估計(jì)量系統(tǒng)性偏離真實(shí)值，降低估計(jì)的精度。識(shí)別方法：如檢查抽樣框的覆蓋范圍、核對(duì)關(guān)鍵信息（如地址、聯(lián)系方式）、與官方登記資料對(duì)比、進(jìn)行小范圍回訪確認(rèn)等。減輕方法：①完善抽樣框，補(bǔ)充缺失單位，剔除重復(fù)單位，修正屬性錯(cuò)誤；②在抽樣設(shè)計(jì)時(shí)考慮偏差的影響，如采用多重抽樣框、對(duì)遺漏部分進(jìn)行修正估計(jì)等；③在數(shù)據(jù)分析和推斷時(shí)，對(duì)可能存在的偏差進(jìn)行調(diào)整或說(shuō)明其潛在影響。二、設(shè)總體單位數(shù)為N，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）抽取n個(gè)單位，樣本均值為$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$。根據(jù)抽樣平均誤差的定義，$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{x})}$。由于$\bar{x}$是樣本均值，$\operatorname{Var}(\bar{x})=\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})$，其中$\sigma^2$是總體方差，$1-\frac{n}{N}$是無(wú)重復(fù)抽樣修正系數(shù)。推導(dǎo)過(guò)程：首先，$\operatorname{Var}(\bar{x})=\operatorname{Var}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\operatorname{Cov}(x_i,x_j)$。對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)），$x_i$之間相關(guān)，$\operatorname{Cov}(x_i,x_j)=0$（當(dāng)$i\neqj$）。當(dāng)$i=j$時(shí)，$\operatorname{Var}(x_i)=\sigma^2$。因此，$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\operatorname{Cov}(x_i,x_j)=\sum_{i=1}^{n}\sigma^2=n\sigma^2$。所以，$\operatorname{Var}(\bar{x})=\frac{n\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}$?？紤]無(wú)重復(fù)抽樣修正：每個(gè)單位被抽中的概率為$\frac{n}{N}$，未被抽中的概率為$1-\frac{n}{N}$。由于抽樣是不放回的，一次抽中、一次不抽中的概率為$\frac{n}{N}(1-\frac{n}{N})$。在計(jì)算總體方差時(shí)，應(yīng)考慮這種抽樣概率。修正后的總體方差為$\sigma^2_{ss}=\sigma^2(1-\frac{n}{N})$。因此，$\operatorname{Var}(\bar{x})=\frac{\sigma^2_{ss}}{n}=\frac{\sigma^2(1-\frac{n}{N})}{n}$。最終抽樣平均誤差公式為：$\mu_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}$。影響誤差大小的因素：①總體方差$\sigma^2$：總體變異越大，誤差越大；②樣本量n：樣本量越大，誤差越?。虎劭傮w單位數(shù)N：在樣本量n固定時(shí)，總體規(guī)模越大，誤差越小（修正系數(shù)$1-\frac{n}{N}$接近1）。三、可行的抽樣設(shè)計(jì)方案：1.多階段抽樣：第一階段，按地理區(qū)域（如鄉(xiāng)鎮(zhèn)、街道）進(jìn)行整群抽樣，抽選若干村；第二階段，對(duì)抽中的村，按居住戶進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣，抽選若干戶；第三階段，對(duì)抽中的戶，列出家庭成員清單，按人進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或Kish表抽樣，抽選最終調(diào)查對(duì)象。此方案能有效降低交通成本，并在村級(jí)和戶級(jí)層面保證一定的樣本代表性。2.分層抽樣結(jié)合整群抽樣：先將村莊按經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平或地理位置等因素分層，然后在每層內(nèi)進(jìn)行整群抽樣（如每層抽選若干村）。此方案能確保樣本在關(guān)鍵變量上更具代表性，同時(shí)通過(guò)整群抽樣降低成本。選擇理由：該地區(qū)村莊分布廣、交通不便、各村人口規(guī)模差異大。多階段抽樣能克服地理障礙，分階段實(shí)施，成本可控；分層抽樣能保證代表性；整群抽樣能降低單位調(diào)查成本。這些方案能在保證一定精度的前提下，兼顧成本和可行性。需要注意的問(wèn)題：①抽樣框的準(zhǔn)備：需要有覆蓋所有村莊的清單，以及抽樣村莊內(nèi)的住戶和人口清單；②抽樣方法的選擇：各階段抽樣方法需根據(jù)實(shí)際情況選擇最合適的方式；③無(wú)回答處理：需制定有效的無(wú)回答處理策略；④方差估計(jì)：多階段和分層整群抽樣的方差估計(jì)相對(duì)復(fù)雜。四、當(dāng)總體各層單位數(shù)$N_h$未知時(shí)，常用$h/N$的樣本比例估計(jì)值$h/n$來(lái)代替。分層抽樣總體均值的抽樣方差估計(jì)量公式為：$\hat{\sigma}^2_{\bar{X}}=\sum_{h=1}^{K}\left(\frac{n_h}{n}-\frac{N_h}{N}\right)^2\hat{P}_h^2+\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h^2}{n^2}\hat{\sigma}_h^2(1-\frac{n_h}{N_h})$。其中，$\hat{P}_h=\frac{n_h}{n}$是第h層的樣本比例估計(jì)值，$\hat{\sigma}_h^2=\frac{1}{n_h-1}\sum_{i=1}^{n_h}(x_{hi}-\bar{x}_h)^2$是第h層的樣本方差估計(jì)值。若忽略修正項(xiàng)$(1-\frac{n_h}{N_h})$（在$n_h/N_h$較小時(shí)通?？梢裕矣?h/n$代替$h/N$，則方差估計(jì)量簡(jiǎn)化為：$\hat{\sigma}^2_{\bar{X}}\approx\sum_{h=1}^{K}\left(\frac{n_h}{n}-\frac{h}{N}\right)^2\left(\frac{h}{n}\right)^2+\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h^2}{n^2}\hat{\sigma}_h^2$。推導(dǎo)思路：該估計(jì)量是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。它由兩部分組成：第一部分是比例誤差的方差估計(jì)，反映樣本層比例與總體層比例的差異；第二部分是層內(nèi)方差估計(jì)，反映層內(nèi)單位變異。當(dāng)$h/N$未知時(shí)，用$h/n$進(jìn)行估計(jì)。五、整群抽樣相比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，其抽樣平均誤差通常較大的主要原因是：整群抽樣中，樣本單位在空間上或?qū)傩陨贤容^集中（同群?jiǎn)挝幌嗨菩暂^高），這導(dǎo)致樣本內(nèi)部的相關(guān)性增大，從而降低了抽樣估計(jì)的方差。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求樣本單位是獨(dú)立同分布的，其內(nèi)部相關(guān)性較低。在以下情況下，采用整群抽樣可能反而比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣更優(yōu)：1.抽樣成本考慮：當(dāng)群內(nèi)單位調(diào)查成本遠(yuǎn)高于群間交通或組織成本時(shí)，整群抽樣能顯著降低總調(diào)查成本，即使?fàn)奚恍┚取?.行政或地理限制：當(dāng)總體單位分布廣泛，進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣存在嚴(yán)重地理障礙或行政分割時(shí)，整群抽樣按地理區(qū)域或行政單位進(jìn)行更易于組織和實(shí)施。3.已有群?jiǎn)卧畔ⅲ寒?dāng)群?jiǎn)卧旧砭桶袃r(jià)值的信息或結(jié)構(gòu)，便于組織調(diào)查時(shí)。4.降低無(wú)回答率：如果群內(nèi)成員間聯(lián)系緊密，有助于提高調(diào)查合作率和數(shù)據(jù)質(zhì)量。選擇整群抽樣的權(quán)衡：主要是精度與成本的權(quán)衡。需要在成本節(jié)約和精度損失之間做出決策。六、常見(jiàn)的估計(jì)總體方差的方法：①使用先前研究或相關(guān)調(diào)查的數(shù)據(jù)；②查閱公開(kāi)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或文獻(xiàn)報(bào)告；③利用小規(guī)模預(yù)調(diào)查數(shù)據(jù)；④根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或?qū)I(yè)知識(shí)進(jìn)行估算；⑤對(duì)于定性變量，可用樣本中各類(lèi)別次數(shù)的方差作為總體方差的估計(jì)。若確定樣本量后遇到無(wú)回答情況，通常需要調(diào)整樣本量以保證估計(jì)的精度。調(diào)整思路：①估計(jì)無(wú)回答率：根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或預(yù)調(diào)查結(jié)果估計(jì)預(yù)期無(wú)回答比例；②計(jì)算調(diào)整系數(shù)：根據(jù)無(wú)回答率，計(jì)算需要增加的樣本量；③增加樣本量：在原有樣本量的基礎(chǔ)上，按比例增加新的樣本量，或根據(jù)具體情況確定增加量；④重新抽樣或追加調(diào)查：在條件允許時(shí)，對(duì)未回答的樣本單元進(jìn)行重新聯(lián)系或追加調(diào)查；⑤在數(shù)據(jù)分析時(shí)采用加權(quán)等方法，考慮無(wú)回答的影響。核心是認(rèn)識(shí)到無(wú)回答會(huì)導(dǎo)致有效樣本量減少和潛在偏差，通過(guò)增加樣本量或采取補(bǔ)救措施來(lái)彌補(bǔ)。七、無(wú)回答誤差是指在抽樣調(diào)查中，被抽中的調(diào)查對(duì)象沒(méi)有提供所需信息的情況。其主要原因包括：①抽樣單位不合作或拒絕接受調(diào)查；②無(wú)法聯(lián)系到被抽中的調(diào)查對(duì)象；③調(diào)查對(duì)象忘記、不愿或無(wú)法提供所詢問(wèn)的信息；④調(diào)查員操作失誤或被調(diào)查對(duì)象誤解問(wèn)題。減輕無(wú)回答誤差的方法：①提高調(diào)查質(zhì)量和可信度：清晰說(shuō)明調(diào)查目的，保證匿名性，提供小禮品或交通補(bǔ)貼；②改善抽樣設(shè)計(jì)：選擇合適的抽樣方法和接觸方式，提高被抽中率；③優(yōu)化問(wèn)卷設(shè)計(jì)：?jiǎn)栴}簡(jiǎn)潔明了，避免敏感問(wèn)題；④加強(qiáng)調(diào)查員培訓(xùn)：提高調(diào)查技巧和溝通能力；⑤實(shí)施催答和替換：對(duì)未回答的樣本單元進(jìn)行多次催訪，或用其他同類(lèi)型單位替換。八、證明過(guò)程：$\bar{x}=\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h}{n}\bar{x}_h$。$\bar{X}=\sum_{h=1}^{K}\frac{N_h}{N}\bar{X}_h$。期望值：$E(\bar{x})=E\left(\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h}{n}\bar{x}_h\right)=\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h}{n}E(\bar{x}_h)$。由于$\bar{x}_h$是第h層的樣本均值，是$\bar{X}_h$的無(wú)偏估計(jì)，$E(\bar{x}_h)=\bar{X}_h$。所以，$E(\bar{x})=\sum_{h=1}^{K}\frac{n_h}{n}\bar{X}_h$。又因?yàn)?\frac{n_h}{n}=\frac{n_h/N}{n/N}=\frac{N_h/N}{N/n}=\frac{N_h}{N}\cdot\frac{n}{N}$。所以，$E(\bar{x})=\sum_{h=1}^{K}\frac{N_h}{N}\cdot\frac{n}{N}\bar{X}_h=\frac{n}{N}\sum_{h=1}^{K}\frac{N_h}{N}\bar{X}_h=\frac{n}{N}\bar{X}$。由于$\frac{n}{N}$是常數(shù)，$E(\bar{x})=\bar{X}$。因此，$\bar{x}$是$\bar{X}$的無(wú)偏估計(jì)量。九、比較關(guān)系：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）：$\mu_{\bar{x}}^S=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}$。分層抽樣：$\mu_{\bar{x}}^F=\sqrt{\sum_{h=1}^{K}\left(\frac{n_h}{n}\right)^2\sigma_h^2(1-\frac{n_h}{N_h})}$（最優(yōu)分配時(shí)，$n_h\proptoN_h\sigma_h$）。整群抽樣：$\mu_{\bar{x}}^C=\sqrt{\frac{\sigma_c^2}{m}(1-\frac{m}{M})}$，其中$\sigma_c^2$是群間方差，m是群數(shù)，M是總?cè)簲?shù)。通常關(guān)系（n,K,m固定時(shí)）：1.方差大?。?\mu_{\bar{x}}^F\leq\mu_{\bar{x}}^S\leq\mu_{\bar{x}}^C$。即分層抽樣方差最小，整群抽樣方差最大。2.原因：*分層抽樣通過(guò)分層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)，大大降低了層內(nèi)方差，從而降低了抽樣方差。*簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣未利用任何輔助信息，方差為總體方差除以樣本量。*整群抽樣由于群內(nèi)同質(zhì)性強(qiáng)，群間異質(zhì)性相對(duì)較弱（希望如此），導(dǎo)致樣本方差主要由群間方差貢獻(xiàn)，且修正系數(shù)$(1-\frac{m}{M})$通常小于1，使得整群抽樣方差較大。3.反例：如果整群抽樣的群間方差$\sigma_c^2$非常非常大，或者簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的總體方差$\sigm