五年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納與技巧同學(xué)們，數(shù)學(xué)是一門充滿邏輯與趣味的學(xué)科。五年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用，它不僅是對(duì)上冊(cè)知識(shí)的深化，也為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。這份歸納與技巧，希望能幫助大家梳理思路，鞏固所學(xué)，輕松應(yīng)對(duì)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。一、數(shù)與代數(shù)（一）因數(shù)與倍數(shù)這一單元是整數(shù)性質(zhì)研究的基礎(chǔ)，概念較多，需要同學(xué)們理解透徹，靈活運(yùn)用。1.核心概念：*因數(shù)與倍數(shù)：在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。要注意，因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的，不能單獨(dú)說某個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。*一個(gè)數(shù)的因數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。*一個(gè)數(shù)的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。2.2、3、5的倍數(shù)的特征：*2的倍數(shù)：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)。*5的倍數(shù)：個(gè)位上是0或5的數(shù)。*3的倍數(shù)：一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。*技巧：判斷一個(gè)數(shù)是否同時(shí)是2和5的倍數(shù)，只需看個(gè)位是否是0。3.奇數(shù)與偶數(shù)：*偶數(shù)：是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)）。*奇數(shù)：不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。*技巧：奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)。（可通過簡(jiǎn)單舉例驗(yàn)證，加深記憶）4.質(zhì)數(shù)與合數(shù)：*質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。最小的質(zhì)數(shù)是2，也是唯一的偶質(zhì)數(shù)。*合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。最小的合數(shù)是4。*1：既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。*技巧：判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)，可先看它是否為偶數(shù)（除了2），是否為5的倍數(shù)（除了5），然后嘗試用小于其平方根的質(zhì)數(shù)去除它，若都不能整除，則為質(zhì)數(shù)。5.最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)：*最大公因數(shù)（GCD）：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。*最小公倍數(shù)（LCM）：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。*求法與技巧：*列舉法：適用于較小的數(shù)。分別列出兩個(gè)數(shù)的因數(shù)（或倍數(shù)），找出公有的，再找最大（或最?。?短除法：這是求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的常用方法。用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公因數(shù)1為止。*所有除數(shù)的乘積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。*所有除數(shù)和最后所得商的乘積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。*特殊情況：*如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)（公因數(shù)只有1），它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。*如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。*應(yīng)用：解決諸如“鋪地磚”（求最大公因數(shù)，使地磚邊長(zhǎng)是長(zhǎng)和寬的公因數(shù)且最大）、“找共同時(shí)間”（求最小公倍數(shù)，使事件在共同時(shí)間發(fā)生）等實(shí)際問題。（二）分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，理解其意義和掌握其性質(zhì)是學(xué)好分?jǐn)?shù)運(yùn)算的關(guān)鍵。1.分?jǐn)?shù)的意義：*把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。*分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是幾，它的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一。2.分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：*被除數(shù)÷除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù)（除數(shù)不為0），用字母表示為：a÷b=a/b(b≠0)。*利用此關(guān)系可以將除法算式的結(jié)果表示為分?jǐn)?shù)，也可以將分?jǐn)?shù)表示為除法算式進(jìn)行計(jì)算。3.真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)：*真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。*假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。*帶分?jǐn)?shù)：由整數(shù)（不包括0）和真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式。*假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）的互化：*假分?jǐn)?shù)化帶分?jǐn)?shù)（或整數(shù)）：用分子除以分母。當(dāng)分子是分母的倍數(shù)時(shí)，商就是整數(shù)；當(dāng)分子不是分母的倍數(shù)時(shí)，商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子，分母不變。*帶分?jǐn)?shù)化假分?jǐn)?shù)：用原來的分母作分母，用分母和整數(shù)的乘積再加上原來的分子作分子。4.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：*分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。*分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是約分和通分的依據(jù)，也是分?jǐn)?shù)大小比較和分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。5.約分與通分：*約分：把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。*最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。約分時(shí)，通常要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。*約分技巧：可以逐步約分，也可以直接用分子和分母的最大公因數(shù)約分，后者更簡(jiǎn)便。*通分：把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。*通分技巧：通分時(shí)，通常選用幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)作公分母，這樣可以使計(jì)算更簡(jiǎn)便。6.分?jǐn)?shù)的大小比較：*分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)比較大。*分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)比較大。*異分母分?jǐn)?shù)比較大?。阂话阆韧ǚ?，化成同分母分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行比較；也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)進(jìn)行比較。（三）分?jǐn)?shù)的加法和減法分?jǐn)?shù)加減法是分?jǐn)?shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，其法則建立在分?jǐn)?shù)意義和性質(zhì)之上。1.同分母分?jǐn)?shù)加減法：*法則：同分母分?jǐn)?shù)相加、減，分母不變，只把分子相加、減。*注意：計(jì)算結(jié)果能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。2.異分母分?jǐn)?shù)加減法：*法則：異分母分?jǐn)?shù)相加、減，先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算。*關(guān)鍵：正確通分，將異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)。*技巧：通分找最小公倍數(shù)，可以減少計(jì)算量。3.分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算：*分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算的順序與整數(shù)加減混合運(yùn)算的順序相同。沒有括號(hào)的，按照從左到右的順序依次計(jì)算；有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的。4.分?jǐn)?shù)加減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算：*整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對(duì)分?jǐn)?shù)加法同樣適用。*減法的性質(zhì)也適用，如：a-b-c=a-(b+c)。*技巧：在計(jì)算時(shí)，觀察分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，能湊整（或湊成整數(shù)）的可以先算，能簡(jiǎn)化運(yùn)算的要盡量簡(jiǎn)化。例如，同分母的先加減，分母互為倍數(shù)關(guān)系的先通分其中兩個(gè)等。二、圖形與幾何（一）長(zhǎng)方體和正方體這部分內(nèi)容是對(duì)平面圖形知識(shí)的延伸，進(jìn)入了三維空間的學(xué)習(xí)。1.認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體：*長(zhǎng)方體：有6個(gè)面，每個(gè)面一般是長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)的面完全相同；有12條棱，相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。*正方體（立方體）：長(zhǎng)、寬、高都相等的長(zhǎng)方體叫做正方體。正方體有6個(gè)面，每個(gè)面都是正方形，6個(gè)面完全相同；有12條棱，所有棱的長(zhǎng)度都相等；有8個(gè)頂點(diǎn)。正方體是特殊的長(zhǎng)方體。*長(zhǎng)、寬、高：相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。正方體的長(zhǎng)、寬、高都相等，叫做棱長(zhǎng)。2.棱長(zhǎng)總和：*長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）×4*正方體棱長(zhǎng)總和=棱長(zhǎng)×12*應(yīng)用：計(jì)算制作框架所需材料長(zhǎng)度等。3.表面積：*定義：長(zhǎng)方體或正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。*長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2*正方體表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6*單位：平方厘米、平方分米、平方米等。*注意：在解決實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)具體情況判斷需要計(jì)算哪些面的面積之和，例如無蓋的魚缸、粉刷墻壁等，可能只需要計(jì)算部分面的面積。*技巧：計(jì)算前務(wù)必統(tǒng)一單位；計(jì)算時(shí)看清是求表面積還是體積。4.體積：*定義：物體所占空間的大小叫做物體的體積。*常用體積單位：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。要感知這些單位的實(shí)際大小。*長(zhǎng)方體體積公式：體積=長(zhǎng)×寬×高(V=a×b×h)*正方體體積公式：體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)(V=a×a×a=a3)*通用體積公式：長(zhǎng)方體（或正方體）的體積=底面積×高(V=S×h)。這個(gè)公式適用性更廣，對(duì)于柱體都適用。5.容積和容積單位：*定義：箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。*常用容積單位：升（L）、毫升（mL）。1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。*計(jì)量方法：計(jì)算容積，一般就用體積單位。計(jì)量液體的體積，常用容積單位升和毫升。*注意：求不規(guī)則物體的體積，可以用“排水法”等轉(zhuǎn)化方法。三、統(tǒng)計(jì)與概率（一）折線統(tǒng)計(jì)圖折線統(tǒng)計(jì)圖是一種重要的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式，能直觀反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。1.認(rèn)識(shí)折線統(tǒng)計(jì)圖：*折線統(tǒng)計(jì)圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來。2.折線統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：*不僅能清楚地看出數(shù)量的多少，還能清楚地反映數(shù)量的增減變化情況。3.繪制折線統(tǒng)計(jì)圖的步驟：*（1）根據(jù)圖紙的大小，確定縱軸和橫軸每一個(gè)單位的長(zhǎng)度。*（2）根據(jù)數(shù)據(jù)的大小，在縱軸和橫軸的恰當(dāng)位置描出各點(diǎn)。*（3）把各點(diǎn)用線段順次連接起來。*（4）寫出統(tǒng)計(jì)圖的名稱、注明制圖日期、圖例（如果需要）。4.根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和預(yù)測(cè)：*能從圖中獲取數(shù)據(jù)信息，分析數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)（上升、下降、平穩(wěn)），并能根據(jù)趨勢(shì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的合理預(yù)測(cè)。*技巧：觀察折線的“坡度”，坡度陡說明變化快，坡度緩說明變化慢，水平說明不變。學(xué)習(xí)技巧與溫馨提示1.重視概念理解：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基石，務(wù)必吃透每個(gè)概念的內(nèi)涵和外延，不要死記硬背?？梢酝ㄟ^舉例、畫圖等方式幫助理解。2.多做練習(xí)，注重應(yīng)用：數(shù)學(xué)離不開練習(xí)，但不是盲目刷題。要選擇有代表性的題目，做完后及時(shí)總結(jié)反思，特別是錯(cuò)題，要分析原因，及時(shí)訂正。注重將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到解決實(shí)際問題中。3.善用畫圖輔助：無論是解決幾何問題（如長(zhǎng)方體正方體的展開圖、表面積計(jì)算），還是理解分?jǐn)?shù)意義、分析應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系，畫圖都是一種非常有效的輔助手段。4.構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：學(xué)完一個(gè)單元或整本書后，嘗試自己梳理