遼寧省大連市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛%｝中,1=1,4+4=14,則｛q｝的公差為()

A.1B.2C.4D.8

2.已知函數(shù)/(x)=W+4,則］im/0+加)一"1=()

AD2Ax

3355

A.-B.-C.-D.—

2424

3.隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點(diǎn)率有了顯著的提高.據(jù)統(tǒng)計(jì)，途經(jīng)某車站的只有和諧

號和復(fù)興號列車，且和諧號列車的列次為復(fù)興號列車的列次的3倍，和諧號列車的止點(diǎn)率為

0.98,復(fù)興號列車的正點(diǎn)率為0.99,則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為()

A.0.9825B.0.9833C.0.9867D.0.9875

4.記S,,為等比數(shù)列｛(｝的前〃項(xiàng)和.若$2=4,邑=6,則S6=()

A.7B.8C.9D.10

5.設(shè)則隨機(jī)變量X的分布列是：

X0a1

111

P731

則當(dāng)。在(0』)內(nèi)增大時

A.。(刈增大B.。(%)減小

C.O(X)先增大后減小D.Q(X)先減小后增大

6.已知S.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若SLI,2S.=,q,則出，的值為()

A.23B.24C.25D.26

7.設(shè)等差數(shù)列血｝的公差為"，前〃項(xiàng)和為S",則">0”是“S.單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件

試卷第1頁，共4頁

D.既不充分也不必要條件

8.對一個物理量做〃次測量，并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后

結(jié)果的誤差與為使誤差%在(-040.4)的概率不小于().9545,至少要測量的次

數(shù)為()

(若X?N,則P(\X-//|<2o-)=0.9545).

A.10B.25C.50D.100

二、多選題

9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.1吟=0B.(J)=3xC.(3v/=3rD.(Inx)'=—

10.某個家庭中有若干個小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件出該家庭中既有

男孩又有女孩，事件8：該家庭中至多有一個男孩，則下列結(jié)論正確的是()

A.若該家庭中有兩個小孩，則尸(⑷=0.5

B.若該家庭中有三個小孩，則尸(4)=0.5

C.若該家庭中有兩個小孩，則力與〃相互獨(dú)立

D.若該家庭中有三個小孩，則力與〃相互獨(dú)立

11.設(shè)離散型隨機(jī)變量5的取值為1,為3,…,2025,且P(g=〃)=4(〃=l,2,3,…,2025),則()

A.當(dāng)數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列時，％+%。23+%)”=被

,、V2026+1

B.數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式可能為%二苑g司

C.當(dāng)數(shù)列｛《1｝滿足4=￡(〃=12…,2024)時，出儂=擊

D.當(dāng)數(shù)列｛4｝滿足尸管44)=左/化=1,2,…,2025)時，(〃+1)%=(〃一1)%_傘“)

三、填空題

12.投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概

率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為.

試卷第2頁，共4頁

13.設(shè)3"(〃eND的個/立數(shù)為4,則q+/+???+%=.

14.已知曲線c：y=[，第一象限內(nèi)的點(diǎn)4(*,必)和第二象限內(nèi)的點(diǎn)41：,x；)都在曲

線C上，且直線44過點(diǎn)(0,1).按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)4(〃=2,3,…)：過點(diǎn)4-作曲

線。的切線與X軸交于點(diǎn)。I，過點(diǎn)。I作X軸的垂線與曲線C相交于點(diǎn)4,設(shè)點(diǎn)4的橫坐

標(biāo)為分.用同樣的方式構(gòu)造點(diǎn)紇(〃=2,3,…)，設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為"，則數(shù)列,"｝的前〃

項(xiàng)和為.

四、解答題

15.(1)已知函數(shù)/(x)=2sinx—xcosx7,求曲線y=/(》)在(兀,/(兀))處的切線的斜率與

方程：

(2)已知函數(shù)=求過點(diǎn)(0,1)且與曲線y=/[x)相切的直線方程.

16.已知數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和S.=1+〃.

(1)求｛牝｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a二閂一，。為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若對任意的〃wN,不等式肛,<〃+5恒成立，

求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

17.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個面試方案：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3

道題，按題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定：至少正確完成其中2道題的便可通過.已知6道備選題中

2

應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成：應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是：，且

每題正確完成與否互不影響.

(I)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望：

(2)請從穩(wěn)定性的角度分析甲、乙兩人誰面試通過的可能性大？

18.己知函數(shù)/"卜一"記/(x)=/'(x),且工.1(x)=/：(x),

⑴求工(x)，力(%)；

⑵設(shè)〃x)=(a”+“x)e",

試卷第3頁，共4頁

《遼寧省大連市第八中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BDAADBDCADABD

題號11

答案BD

1.B

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，則4+4=〃5=2'(1+%)=14,

解得"=2,所以數(shù)列｛%｝的公差為2.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式化簡，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可得解.

【詳解】由1而/(“祠7⑴，］而，(1+.@一刖」/(),

2A2…Ax2'

又/(x)=x?+?，./''(x)=2x+^r,

所以7(1)=2+；=3，

所以原式等于

故選：D.

3.A

【分析】利用全概率公式可得答案.

【詳解】依題意，設(shè)到達(dá)該車站列車為和諧號列車的概率為:，為復(fù)興號列車的概率為

44

31

則一列車能正點(diǎn)到達(dá)該車站的概率為:x0.98+：x0.99=0.9825.

44

故選:A.

4.A

【分析】根據(jù)題目條件可得其，S「S”S6-S4成等比數(shù)列，從而求出$6-$4=1,進(jìn)一步

求出答案.

【詳解】???S.為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，S2*0,

???凡,S「S2,$6-$4成等比數(shù)列

答案第1頁，共11頁

52=4,54-52=6-4=2

$6-S4=1,

/.S6=1+54=1+6=7.

故選：A.

5.D

【分析】研究方差隨〃變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)。表示，應(yīng)用函

數(shù)知識求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為。的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、運(yùn)算求解能力的考查.

【詳解】方法1：由分布列得￡(*)=?,則

5X)=(早一0)x1+(-C'則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增

大時，。(、)先減小后增大.

...八/1(4+1)2a2-la+22\(1V3

方法2：則O(X)=E(X1-七-(x)=o+丁丁]丁二一-_--b--+

J。yyJ乙JI

故選D.

【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手;

二是計(jì)算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.

6.B

【分析】利用遞推公式求出4旦=一、，然后利用累乘法求解即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時，2￡=q=2q=q=>q=0,

由S=q+%=1=%=1，

由2S”=nan,得2S“+]=(〃+1)。向，

兩式相減得，2S,用-2S”=(〃+\)an+i-nan=>2/?+l=?+1>n+1-un=",

%〃-1

LL-%/W512324

所以《5=%.」?'“一3=1XTx-x=24,

a2a3々241223

故選：B

7.D

答案第2頁，共11頁

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的關(guān)系，以及數(shù)列的單調(diào)性得

，+1=/+〃"，可得選項(xiàng).

【詳解】充分性：設(shè)等差數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為4,公差為d,且d>0,則+

2I4）

所以5.-工=4㈤=6+，以>0不一定成立，即由4>0不能推出數(shù)列｛SJ單調(diào)遞增，所以充

分性不成立；

必要性：數(shù)列⑸｝單調(diào)遞漕，則對任意〃wN'S/「S〃=%+|=4+〃d>0,當(dāng)4>0,d=0

時，即可滿足，.??不能推出d>0,所以必要性不成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考資等差數(shù)列的通項(xiàng)，前〃項(xiàng)和，數(shù)列的單調(diào)性，關(guān)鍵在于得出數(shù)列的通

項(xiàng)與前〃項(xiàng)的和關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。

8.C

【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)列出不等關(guān)系，求解不等式可得答案.

22

【詳解】由題意2。工0.4,即0240.04,-<0.04,解得“2一=50.

n0.04

故選：C

9.AD

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)判斷.

【詳解】fsin->!=（也］=0,故A對；

（x3）=3x2，故B錯；

（3、j=31n3，故C錯：

（Inx/=-,故D對；

X

故選：AD

10.ABD

【分析】若該家庭中有兩個小孩，寫出對應(yīng)的樣本空間即可判斷A和C,若該家庭中有三

個小孩，寫出對應(yīng)的樣本空間，即可判斷B和D.

【詳解】若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為C=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝,

共4種情況，

答案第3頁，共11頁

4=｛（男，女），（女，男）｝，8=｛（男，女）,（女，男），（女，女）｝，=｛（男，女）,（女，男）｝,

則力與8不互斥，P（A）=^2=-1,P（B）=43，PQB）W21，

42442

于是P（ZB）xPQ）P（8）,所以4與8不相互獨(dú)立，則A正確、C錯誤；

若該家庭中有三個小孩，洋本空間為。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女,

男，男），（男，女，女），（女,男，女），（女，女,男），（女，女，女）｝，共8種情況,

彳=｛（男，男，女），（男,女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女,

男）卜夕=｛（男，女,女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女,女）｝，

48=｛（男，女,女），（女，男，女），（女，女，男）｝,則力與4不互斥，

=|=P（^）=^=p=于是2/18）=P（X）P（8），

所以4與8相互獨(dú)立，則C和D均正確.

故選：ABD

11.BD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及S2°25=1可判斷A選項(xiàng)：原式可變形為

生=駕等（而加）,裂項(xiàng)相消法可判斷B選項(xiàng)：根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求出

6+/+L+/024,結(jié)合概率的性質(zhì)求出生必可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)條件得到遞推公式可判斷D

選項(xiàng).

【詳解】對A,若｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,前〃項(xiàng)和為s”,

因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量€的取值為123,…,2025,且尸(€=〃)=?(〃=1,2,3,…,2025),

“2八2025x(。+。)..1

所以$2必=-==2025j1013=1,故“1013=TTZ7，

因?yàn)閝+%()23+°2025=(%+°2025)+6023=247|0,3+"回，條件不能說明％013=《023?

所以％+即）23+。2025=^^不正確，故A錯誤;

7202641

對B,由凡=2025(?+內(nèi))可知

可變形為＜見(內(nèi)福

2025(xM+Vn+l)(x0?+l-x/?)20251)

所以

答案第4頁，共11頁

a\+。2+。3+…+。2025

=（^--+（^1昕）

20251）20251）20251）

=2^tlx［（層《卜（石一6卜..+^&醞］=2^12x（礪—&）=］,

故B正確；

對C,由題意得數(shù)列｛q｝是以今為首項(xiàng)，今為公比的等比數(shù)列,

所以q+%+…+&024=

所以囁5=1-1-|||=償，故C錯誤;

對D,令Sk=Pgk)=k%k，友=1,2，…,2025,

a2

則k+i=S&+]-&=(%+1)ak+｝-kak,

整理得也=占，=1,2,-,2024,即2=二(〃22),

所以(〃+1)%=(/>-l)aB_1(w>2),故D正確.

故選：BD.

12.—

125

01O1

【詳解】該同學(xué)通過測試的概率為C；Q6O4+C；Q63=m，故答案為示.

13.123

【分析】先計(jì)算確定數(shù)列的周期性，再應(yīng)用數(shù)列的周期計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?,32333,363,38的個位數(shù)分別為397,1,3,9,7,1,

所以數(shù)列｛4｝是周期為4的周期數(shù)列，

所以。?+生+?一+。25=(3+9+7+1b6+3=123,

故答案為：123

【分析】先設(shè)出直線44方程為)，=米+1,與曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得=

答案第5頁，共11頁

再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求點(diǎn)4的坐標(biāo)得到數(shù)列｛七｝的遞推關(guān)系式，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式，最

后根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)卻公式求解即可.

【詳解】因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)的點(diǎn)4（%，必）和第二象限內(nèi)的點(diǎn)4（M，s）都在曲線ch,且直線

44過點(diǎn)（。，1），

設(shè)直線方程為尸質(zhì)+1,聯(lián)立方程尸彳消去V得犬-4履一4=0,

所以X1X：=-4,

v21

由P==求導(dǎo)可得/=§*，

12

由題意可得點(diǎn)4在曲線。上，則a=：/，

4

過點(diǎn)4的切線方程為y-y”=（x-x〃），代入y1整理得y=

134*1+

11Y

令蚱。解得X=g居，根據(jù)題意可得％,即3=5，

22%”z

所以數(shù)列上｝是公比為方的等比數(shù)列，同理可得卜｝也是公比為;的等比數(shù)列,

所以X”=X[,所以=xixi

4>

所以數(shù)列卜/；｝是首項(xiàng)為-4,公比為1的等比數(shù)列,

所以數(shù)列｛怎工｝的前〃項(xiàng)和"4"

3x47T

1--

4

故答案為：-y

3x4"”

15.（1）切線斜率為—2,方程為2x+y-2冗=0；（2）J；=[x+1

e-

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線斜率和方程：

答案第6頁，共11頁

(2)設(shè)出切點(diǎn)(x°,lnx°),由點(diǎn)斜式方程得到所求切線的方程，代入(0,1),解方程可得切點(diǎn),

進(jìn)而得到切線方程.

【詳解】(1)=2co5.r-cosx+xsinx-l=cosx+xsinx-1,

//(7t)=COSH+兀sin兀-1=-2,/(7t)=2siii7r-ncosn-兀二0,

所以曲線V=在(冗,/(叫處的切線的斜率為-2,

切線方程為歹一0=-2(%—兀)即2x+y-2兀=0.

(2)/'(x)=L設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,lnxo)，則/'(馬)=’,

x/

則所求切線方程為y-In/=-(x-x0),

?%

2

代入點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)得1-Inx0=-1,解得x0=e,

則過點(diǎn)(0,1)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為y-2=4(XY2),即

ee

16.(l)a“=2〃,(〃eN，

⑵(f42)

【分析】(1)利用S.與a”的關(guān)系求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，

(2)rh(I)的結(jié)論，用裂項(xiàng)相消法求得再根據(jù)不等式的恒成立問題以及函數(shù)的單調(diào)性

與最值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時，％=§=2,

當(dāng)〃之2時，a0=S”-Si=(〃21=2”，

當(dāng)〃=1時，4=2成立,

所以％=2〃,(〃eN)

(2)由⑴得"=-----=c口\=7-----7Th

4M川(2w)(2w+2)4腦n+\)

]__1n

所以北=;_!」+…+

2-3></?n+14*^Tf

則47；<〃+5。2----------v〃+50/l<4?^————:=4-|?+-+6|,

"4/?I1n

答案第7頁，共11頁

由函數(shù)尸x+：+6在（0,6）上單調(diào)遞減，在（技+8）上單調(diào)遞增，

21

當(dāng)x=l時，y=12；當(dāng)工=2時，j^=—：

532

當(dāng)x=3時，），=3+—+6=—,

33

所以當(dāng)x=2時，4（〃+：-6）取最小值為42,所以2<42,

所以實(shí)數(shù)％的取值范圍為（一以42）.

17.（1）答案見解析

⑵甲面試通過的可能性大

【分析】（1）設(shè)甲正確完成面試題數(shù)為X,乙正確完成面試題數(shù)為丫，分別寫出隨機(jī)變量

得所有可能取值，求出對應(yīng)概率，即可求出分布列，再根據(jù)期望求期望即可；

（2）根據(jù)方差公式分別求出方差，即可得出結(jié)論.

【詳解】（I）設(shè)甲正確完成面試題數(shù)為X,乙正確完成面試題數(shù)為y,

則X可取1,2,3,丫可取0.1,2,3,

則p（x=i）=等W，Rx=2）=等高出x=3卡4

所以甲正確完成面試題數(shù)X的分布列為：

P(y=o)=c?xg)0x(lJ=J_,P(r=i)=c；x|xQ|=|

P(y=2)=C；xf|Yxl=l,P(y=3)=Cjxf|YxfiY=^

所以乙正確完成面試題數(shù)為Y的分布列為:

Y0123

1248

P

279927

答案第8頁，共11頁

E(r)=Ox—+1X-+2X-+3XA=2.

''279927

(2)由(1)得O(X)=：X(1—2『+3X(2—2)2+LX(3-2)2=2,

5555

Q(y)$x(0-2)，；x(l-2)，+1x(2-2)2+/x(3-2)2=g,

因?yàn)椤?x)<o(y),

所以甲得成績更穩(wěn)定，

所以甲面試通過的可能性大.

1,3t

18.(l)/(x)=e(3x+l),/2(x)=e(9x+6)

(2)(i)證明見解析；邑=仁-小+；；(ii)證明見解析；

【分析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，利用遞推關(guān)系可得答案；

(2)(i)求出/的遞推關(guān)系,利用等差數(shù)列的定義可證明等差數(shù)列，利用錯位相減法可求

和；

(ii)利用廠、〈丁占進(jìn)行放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證結(jié)論.

力一I2x3

【詳解】(1)因?yàn)?")二》/,所以＜(切=/'(力=小+3依標(biāo)=/(3、+1),

/；(x)=3e3x(3x+l)+3e3x=e3x(9x+6).

(2)(i)因?yàn)?lt;(%)=eR2x+a“),所以工+(1)=3屋(。/十%)十2曉=建(3力/+3%十么),

又以(x)=e"("+/+(+3所以，八=3a,凡“=3an+bn；

由(1)可知4=3,%=1,所以”=30,%=3。,一+〃1=3《*+3”7,

工今="1+3"［宅=』，所以［黑］是以1為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列,

3"3"T3"3"T313"J3

^=1+(/7-l)xl=p所以勺=小3"，

5?=1X3°+2X3I+3X32+L+^3,'4,35?=1x3'+2x32+3x33+L+小3,

兩式相減可得-2S”=1+3/32+33+…+3""-〃?3"

答案第9頁，共11頁

（11）"=3'_j-yi_}<r_y-i-2X3"-',

_.111111

所以-----1-------1-…+------<-------+----r+…+---------

b[-\b2-\b-12x302x3'2X3"T

13；

11113

因?yàn)榍啊?，所以「[+^-r+'"+A—7-

3々-1bn-\4

19.⑴9=44+214.8

31

⑵y+丁

⑶證明見解析

【分析】（1）計(jì)算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出；方的值，進(jìn)而得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

2197

（2）由題意可知〃23時，以=”+1,其中6=,，2=§，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；

（3）分〃為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；利用數(shù)列收斂的定義,

準(zhǔn)確推理、運(yùn)算，即可得證.

I+2+3+4+5

【詳解】（1）由題意，7=