江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=aJ4+（a-2）i（awR）是純虛數(shù)，則”（）

A.2或一2B.2C.0D.-2

2.若向量〃=（石,1）,則，，與人的夾角為（）.

nn"八兀八兀

A.-B.-C.-D.—

34612

3.若均為第二象限角，滿足sina=g,cos/?=-1,則cos（a—0=（）

A0R2>/2r3>/2n4x/2

9999

4.設(shè)4,s是兩個(gè)不共線的向量，若向量機(jī)=一弓+h2（AtR）與向量〃=2q+5弓共線，則

k=（）

5「5-2n2

A.-B.——C.——D.-

2255

5.某地為響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號(hào)召，大力開展“青山綠水”工程，造福于

民，擬對(duì)該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測(cè)量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測(cè)得

ZC=120°,8c=3千米，AC=5千米，則A,3間的直線距離約為（）

A.6T米7T米C.8T米5T米

6.V八5c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且a=l,c=66=9，則VA8C

O

的面積為（）

C.乎或6立或在

7.己知【ana,tan#是方程1一4八.一3=（）的兩根，且。,夕￡（0,兀），則a+4的值為（）

5兀

c.~4

)

廠4夜

V.----

9D?半

二、多選題

9.下列式子中成立的有()

A.sinl50cosl5°=—B.tan200+tan40°+\/3tan20°tan40°=&

2

sin40。

C.D.=tan20°

1-tan15°1+cos40°

10.已知VAKC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,則以下四個(gè)命題正確的有()

A.當(dāng)。=5,b=7,A=60。時(shí)，滿足條件的三角形共有1個(gè)

B.若sinA:sinB:sinC=3:5:7則這個(gè)三角形的最大角是120°

C.若則VA8C為銳角三角形

D.若acosB=bcosA,則三角形為等腰三角形

11.下列說法中正確的是()

A.若AB=CD，則且方向相同

B.若單位向量〃，。夾角為?，則向量a在向量〃上的投影向量為立。

62

C.對(duì)任意向量a，b，c，都有(ab)c=a?⑻c)

1?-

D.。是VA8C的所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若AQu^AB+wAC,則」44Q的面積是qACQ的

JJ

面積的2倍

三、填空題

12.已知lana=-3,則sin%=.

13.已知,sin(^-a=1,則cosa=.

14.如圖所示，矩形A8C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，E為AO的中點(diǎn)，若

mmULUuuu

OE=/L4/+〃人。(4〃￡/?),則％?〃等于

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)馬二3+4lZ2=-2i,i為虛數(shù)單位.

⑴求平2

⑵若z=3,求Z的共扼復(fù)數(shù)；

Z2

(3)若復(fù)數(shù)+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

16.已知平面向量a=(1,3)"=(6,X).

(1)若a上匕，求2〃-3。的值；

⑵若〃/小求W的值；

⑶若向量c；=(l,T),若a+?與6-d共線,求Ab

17.在VAAC中，a、b、。分別為角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊，已知4=3,c=&,8=45。.

(l)^sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cosNAOC=—、，求AD的長.

18.(1)在丫"。中，角人、3、。所對(duì)的邊分別為〃、〃、。，若4=4"=6，且＜8"-4=0.

求c；

(2)已知函數(shù)/(x)=sin、+2\/§sinxcosx-cos*+m的最大值為3,求，"的值.

(3)在(2)的前提下，若/(+)=?,不求cos2x0的值.

4JJ

19.如圖，我國南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島8與小島A、小島C相距都為

《江蘇省連云港市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DCDBBBCABCDBD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】由純虛數(shù)的概念.列得方程組,從而可求出。的值.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=〃2_4+(a-2)i(?eR)是純虛數(shù)，

a2-4=0

所以

4-2W。

由a?-4=0,得。=2或a=-2,

由2H0,得。工2,

所以。=-2.

故選：D.

2.C

【分析】運(yùn)用向量的平方即為模的平方求模，再求出a，b的數(shù)量積，再由向量的夾角公式,

計(jì)算即可得到.

【詳解】a=(瓜T),b=。,6),

?a/?=V3xl+lx>/3=2-73?|a|=J(K)2+1，=2,卜=2,

設(shè)〃與〃夾角的余弦值為心

，所以。=】.

\a\\b\2x226

故選：C.

3.D

【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosa,sin/7,再代入兩角差的余弦公式計(jì)算，即可

得出答案.

【詳解】因?yàn)橄鶠榈诙笙藿牵瑵M足sina=；,cos"；

JJ

所以cosa=—71-sin2a=-2^,sinft=Jl-cos?0-~~，

…40

所以cos(a-/?)=cosacos/?+sinasin0=

答案第1頁，共9頁

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)向量平行得到方程，求出答案.

【詳解】向量而=r+3(keR)與向量〃=2+56共線,

.一-,[-l=2t,5

設(shè)〃?=/〃，Si,?解得:=

K=3r2

故選：B

5.B

【分析】根據(jù)余弦定理即可求得A&

【詳解】由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC-fiCcosC=25+9-2x5x3cos120=49,解

得AB=7.

故選：B.

6.B

【解析】用面積公式LBc=g〃csinB即可.

【詳解】由己知〃=1,c=￡,B=J,

o

則SJ\BC=g〃esinB=gxlx&xsin—=乎.

故選:B.

7.C

【分析】由題意得出韋達(dá)定理，利用和角的正切公式求出tan(a+6)的值，結(jié)合角的范圍確

定的值即可.

【詳解】由題意，:0,

[tana-tanp=-3

tana+tan84,八.八

則tan(a+〃)=丁二---------=——=1,且tanajan尸一正一負(fù)，

1-tan?-tanp1-(-3)

因a,〃e(0,兀)，則5＜二+/〈2兀，故a+￡二處.

故選：c.

8.A

【分析】利用換元法結(jié)合二倍角公式求解即可.

答案第2頁，共9頁

h1

［詳解］令馬一(7=.=2=至_.=2(7+色=四_2/+色=三-21而cosr=-,

666362

..71.(兀C7

sin2。+—=sin——2t=cos2r=2cos-r-1=2x3-1=——.

［6)\2)9

故選：A.

9.BCD

【分析】對(duì)于A,由二倍角正弦公式即可計(jì)算求解；對(duì)于B,由兩角和正切公式即可計(jì)算求

解；對(duì)于C,根據(jù)兩角和的正切公式即可計(jì)算求解；對(duì)于D,由二倍角正余弦公式和正切的

定義即可計(jì)算求解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，sin15cos15=-sin30=-,A錯(cuò)；

24

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)閕an60=tan(20+40)=320+340=石,

'71-tan20tan40

所以tan200+tan400+J5tan20°tan400=6B對(duì);

I+tan15°_tan45o+tanl5°

對(duì)于C選項(xiàng),=tan(45°+15。)=tan60。=5C對(duì);

I-tan15°I-tan45°xianl5°

sin4002sin20°cos20°sin20°

對(duì)于D選項(xiàng),--------=-------；------=------=tan20°,D對(duì).

1+cos40°2cos"20°cos20°

故選：BCD.

10.BD

【分析】利用正弦定理和余弦定理逐一判斷即可.

.x/3

【詳解】對(duì)于A,由正弦定理，一二=-G，則.D〃sinAx~27百，

sinAsinBsinB=--------=—六=——>I

a510

故不存在滿足條件的三角形，即A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由正弦定理,a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7.

設(shè)〃=3k,則。=5々,。=72,由余弦定理，cosC="2+",i，

2ab2x3kx5k2

因0<C<180,則C=120,故這個(gè)三角形的最大角是120。，即B正確；

對(duì)于C,因C『+〃2>c2,由余弦定理，cosC=-_————>0,

2ab

因0<。<180,故角。為銳角，但不能說明VA4C為銳角三角形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由tzcos4=/?cosA和正弦定理，可得sinAcosB=sin/?cosA,即sin(A-8)=。，

因OvABv-故一兀<從一3<兀，所以人一笈=(),即A=B,三角形為等腰三角形，故D

正確.

故選：BD.

答案第3頁，共9頁

II.ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)相等向量的定義判斷；對(duì)于B,利用投影向量公式判斷；對(duì)于C,利

用向量數(shù)量積的性質(zhì)即可判斷：對(duì)于D,利用平面向量基本定理和數(shù)乘向量的意義即可計(jì)算

判斷.

【詳解】對(duì)于A,由=可知，入脫C。大小相等，方向相同，故A正確；

對(duì)于B,依題意，6/?/?=IXIXcos—=—,

62

n.h—</3—

則向量。在向量方上的投影向量為會(huì)力二券〃，故B正確；

對(duì)于C,對(duì)任意向量b，c，〃力與〃c結(jié)果均為實(shí)數(shù)，

設(shè)為〃?/?=〃?，bc=n?則(a')?c=mc,a(b-c)=na.

而“與c關(guān)系不明確,故得不到,即C錯(cuò)誤;

I9_______

對(duì)于D,如圖，分別取4N=LA8,AM=*AC,則A0=AN+AM,即得.AN0M,故

55

SANQ=SAMQ,

12I2

因AN=wA8,AM=wAC，則SNQ=WS&BQ,S=-S,

JJJJAMQACQ

S'ABQ_5SANQ

故=二￡—二，即AABQ的面積是"\CQ的面積的2倍，故D正確.

20A'。

故選：ABD.

，2-4

【分析】利用二倍角公式與同角的三角函數(shù)關(guān)系式建立齊次式，化弦為切即可.

2sinacoscr2tana-63

【詳解】sin2a=

sin2a+cos2atan2a+l9+15

3

故答案為：?1

J

ID.

10

答案第4頁，共9頁

【分析】根據(jù)題意，由。的范圍可得的范圍，從而可得cos(1-aj的值，再由

「兀(nVI

cosa=cos----a,結(jié)合余弦的差角公式代入計(jì)算即得.

5I.5/

LLt7T

所以cosa=cos—

\辿+且」=2#+石

252510

26十6

故答案為:

10

3

14.

16

【分析】把ADA/M乍為基底，利用向量的加減法法則和平面向量基本定理把OE用基底表

示出來，從而可得答案

【詳解】?.￡為A。的中點(diǎn)，且。為AC的中點(diǎn)，

I一1—I——

所以A￡=-AO=-AC=-(43+AO),

244

113

：.DE=AE-AD=-(AB-^AD)-AD=-AB-^ADt

3I3

因止匕，4.〃=；乂/一]]=一之，

4I16

3

故答案為：——.

16

15.(1)平2=8-6i

⑵5=一2告

⑶(吟

【分析】(I)由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可得到結(jié)果；

(2)由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可得到結(jié)果；

答案第5頁，共9頁

(3)由復(fù)數(shù)的幾何意義，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)z,z2=-2i(3+4i)=8-6i

(2)V21=3+4i,z2=-2i

.二_4_3+4J(3+4訝_3

_2_

"z2--2i-2i2

7=-7,--i

2

(3)%+z?=3a+4di-2i=3a+(4a-2)i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,

3a>01

4a-2<?！獾?/p>

故實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

\乙)

16.(1)(-16,12)

(2)6710

⑶18

【分析】(1)由垂直向量的數(shù)量積為零，建立.方程求得向量坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可

得答案；

(2)由平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程求得向量坐標(biāo)，利用向量的模長公式，可得答案；

(3)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得向量坐標(biāo)，利用平行向量的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)?工〃，所以“e=0,則lx6+3x=0,解得x=-2,

故6=(6,-2),2^-3Z?=2(1,3)-3(6,-2)=(2,6)-(18,-6)=(-16,12).

(2)因?yàn)閍]/b，所以x=3x6=18,貝!J/?=(6,18),|/?|=>/62+182=6>/10.

(3)4+匕=(1,3)+(6,x)=(7,3+x),-c=(6,x)—(I,-1)=(5,x+l),

若〃+〃與人―0共線，則5x(3+x)=7x(x+l),解得x=4,即8=(6,4),

故G力=1x6+3x4=18.

17.⑴手

(2)i

【分析】(1)先由余弦定理求出邊〃，再由正弦定理即可求得sinC的值；

答案第6頁，共9頁

(2)由cosNADC求出sin/AOC,再由正弦定理即可求得AO的長.

【詳解】⑴由余弦定理可得從=/+。2一2"8$8=9+2-2x3x&x也=5,右,

2

cb?..r.x----G

由正弦定理可得,----=-----,則.「csinB2J5.

sinCsinB------sinC=——=―T=^=—

b<55

4

(2)由COSZADCM不，可知/AQC為鈍角,

則sinZADC=Vl-cos2ZADC=

ADAC

在中，由正弦定理.

sinsinNA。。

Ar.r氐聲

5

=一.

則日磊IT3

5

18.(1)c-5；(2)I；(3)I-24+

50

【分析】(1)利用余弦定理列式求解.

(2)和二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)/(x),再利月正弦函數(shù)性質(zhì)求出參數(shù)值.

(3)利用(2)的信息求得sin(x0-5=3，再利用二倍角公式、和角的余弦公式求解.

65

【詳解】(1)在VABC中，由余弦定理得十:一■-由=0,整理得4/=〃2+1-/,

2bc

則c2■初21a16?25,所以c=5.

(2)函數(shù)f(x)=\/3sinZv-cos2x+m=2sin(2x--)+m,

6

則f(x)max=2+m=3,所以加=1.

(3)由(2)知/(x)=2sin(2x-g)+l,由/(2)=]■，得2§皿/一1)+1

62565

2=

解得sin(陶一芻=：,由再￡[0,勺,得/一裊[一]幣，cos(x0=Ji-sin(j^-7)7

0526636V65

sin(2x;(-^)=sin[2(x0-y)J=2sin?)一5以雙飛一今=今，

366625

2

cos(2xn—^)=cos[2(xn-約=l-2sin(x0-^)=—,

3o623

所以cos2M=cos[(2^)-y)+-^l=COS(2A^-1)cos]-sin(2.q>一1)si吟

712467-24>/3

---X--------X=

252252--------50

19.(l)2nmile：

答案第7頁，共9頁

（2）18平方海里；

（3述

25

【分析】（1）根據(jù)同角的平方關(guān)系求出cos8,結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解；

（2）易知sinC=m3，則cosC=-cosA=]4,利用余弦定理計(jì)算可得CD=10,結(jié)合三角形面

積公式計(jì)算即可求解；

（3）方法1：根據(jù)正弦定理和同角的平方關(guān)系可得cosa=也，由誘導(dǎo)公式求出

5

sin（a+/?）,cos（a+/?）,結(jié)合sin（"+尸）=sin[a+（a+/?）]和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求

解.

方法2：利用余弦定理和同角的平方關(guān)系計(jì)算求得sina=@,結(jié)合

5

sin（2a+p）=sin[a+（a+0]和兩角和的正弦公式計(jì)算即可求解.

【詳解】⑴vsirvl=^,且A為鈍角，.?.COS4=J/3]

5Y⑸5

在中，由余弦定理可得印）2=AD2+AB2-2ADABc^A,

（3行）-=AO?+52-2AD5（一《），即AD2+SAD-20=0,

解得：4）=2或仞=一1。（舍去）.

???小島A與小島。之間的距離為2nmile.

3

（2）=A、B、C、。四點(diǎn)共圓，「.A與C互補(bǔ)，則sinC=q

J

4

cosC=cos（180°-A）=-cosA=—.

在.8QC中，由余弦定理得：CD2+CB?-2CDCBcosC=BD：

：.CD2+52-2CDx5x1=（35/5）",得"一