江蘇省如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月階段測試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.在RlZkASC中,ZC=90°,AC=4,則而?相等于（）

A.-16B.-8C.8D.16

2.若tan1=3,tan(?-；?)=-2,則tana等于()

1

A.-B.——C.JD.-1

77

3.平面市］量，石滿足同=W；=o,若區(qū)一同二5-由則同最小值為（)

A.1B.IC.BD.且

32

-sina=^^,則cos分（）

4.若cosa+一

k

B.-2

A.2C.—D.--

25252525

5.已知菱形ABC。的對角線相交于點。，點E為A0的中點，若AB=2,N84O=60。，則

~ABDE-<）

A.—2B.—C.—

222

6.已知a為銳角，且（6-lanl0o）cosa=l,則a的值為（）

A.40°B.50°C.70°D.80°

7.如圖，在VABC中，BC=4,麗.配=4，點P為這8c上的一動點，則可?后的最小

值為（）

B

9

A.0B.-2C.——D.-3

4

8.在V/WC中，siM+2sinBcosC=0,。是VA4c的外心且滿足前.而=2，則線段03的

最小值為（）

A.2B.4C.43D.2石

二、多選題

9.已知向量7=(1,3),5=(2,-4),則下列結(jié)論正確的是()

A.(a+5)_LaB.|2tz+^=>/10

C.向量〃與向量石的夾角為二

D.5在4的投影向量是（1,3）

10.下列各式中，值為!的有()

A.sin70cos23°+sin83°cos67°B.——+“

sin500cos500

tan22.5。__________1__________

cD'（l+tan22°）（l+（an230）

■1-tan222.5°

11.設(shè)點M是VA4c所在平面內(nèi)一點,則下列說法正確的是（）

A.若月+/《，則點M是V/WC的重心

B.若不祈=2麗-；W，則點M在線段6c的延長線上

C.=xAB+yAC,且x+y=l,則△MAC的面積是VAHC面積的g

D.已知平面向量，滿足加4加月二加?加&4材=/1,則VA8C為等腰三

角形

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知向量己=(2,1),力=(-1),旦d與苕+焉的夾角為銳角，則實數(shù)2的取值范圍是—.

13.函數(shù)/(x)=cos2A+sinxcosx的最大值是.

14.如圖，已知直角VAKC的斜邊AA長為4,設(shè)P是以C為圓心的單位圓的任意一點，。為

A8邊的中線OC的中點，則=,而.方的取值范圍為.

四、解答題

15.已知向量日，〃滿足同=應(yīng)，a.｛萬一5)=1.

⑴求日與5的夾角；

(2)若［=21』，)=/+見求卜+24.

E為AB中點，加=1困2工0).

(2)若|。右|=?，為大于零的常數(shù)).求|P?的最小值,并擊出相應(yīng)的實數(shù)2的值.

r-(?\刃

17.已知向.最。=(2cosx,l),b=-cosA'+—,X€0,—.

\VL

(1)若Z〃萬,求工的值；

⑵記7次若對于任意X，%€。弓，而1/(%)-.〃%2)區(qū)％恒成立，求實數(shù)％的最小

乙

值.

18.如東大潤發(fā)超市因宣，’專需要，在自動扶梯AC(AC>5米)的C點的上方懸掛豎直高度

為5米的廣告牌如圖所示，廣告牌底部點￡正好為。。的中點，電梯AC的坡度

NC4B=30.福佑崇文閣趙老師在扶梯上點P處(異于點C)觀察廣告牌的視角

(為方便起見，本題中將人視為點，不考慮人的身高)

(I)設(shè)8c的長為〃米，用加表示tanNDAB；

(2)若趙老師在A點時，觀測到視角N7ME的正切值為蟲，求扶梯AC的長：

9

(3)在(2)的條件下，當(dāng)趙老師在扶梯上觀察廣告牌的視角。最大時，求CP的長.

19.設(shè)。為坐標(biāo)原點，定義非零向量。歷=(々,6)的“友函數(shù)”為〃x)=asinx+bcosx(x€R),

向量0M=(〃,/?)稱為函數(shù)/(x)="sinx+0cosx(xeR)的“友向量”.

⑴記。=的“友函數(shù)”為/"),求函數(shù)/(力的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵設(shè)/7(x)=cos(x+j-2cos(x+0),其中6wR,求〃(X)的“友向量”模長的最大值：

⑶已知點由。力)滿足面+5而+從<0,向量哂的“友函數(shù)"/")在戶七處取得最大值.

/、cosXj-sinx,

當(dāng)點M運動時，求雙玉=一一■的取值范圍.

sinx0+cosx0

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月階段測試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號1234567891()

答案DABCBBCAACACD

題號11

答案ACD

1.D

［詳解】因為NC=9()。.所以AC-CB=0,所以笳?*=(XT+聞)?衣5=1/F+*

=2=16.

2.A

【分析】結(jié)合題意利用兩角差的正切公式直接求解即可.

,小citan(a-Z?)+tanp一2+31

［詳解］tana=tan「r(a—G)+/］=一一——=-----=-.

"呻'LI?)"」］_tan(a-/?)ian〃l-(-2)x37

故選：A

3.B

【分析】法一：應(yīng)用模長轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，最后結(jié)合數(shù)量積定義應(yīng)用余弦范圍計算;

法二：結(jié)合圖形特征=得出。在A8的垂直平分線上，進(jìn)而得出最值；

法三：應(yīng)用Z_L弓建系，設(shè)點C的坐標(biāo)，最后結(jié)合二次函數(shù)值域即可得出最值.

【詳解】法一：因為|司=1,忖=瓜=0.歸_@=J(5Y)2=2,

|a-c|=|5-c|^|i/-?|2=p-(?|2,a2-2d-(74-c2=^2-2^-c+c2,

即l-2m=3-涕Y,所以1七-〃>=1,(5-4)十=1,

設(shè)5—4與T的夾角為6，則,一4)/=忖一0?同?cos，=l,同=,

當(dāng)8s6=l時，同最小值為］

故選：氏

法二:因為同=1,忖=34石=0,如圖所示:

答案第1頁，共14頁

設(shè)RlZ\A8c中，OA=a,OB=b,則網(wǎng)=2,

設(shè)反=3，由區(qū)_3=|5_目知，

C點在線段A8的垂直平分線OE上，且0。=1,

則同最小值為點。到直線DE的距離!.

故選：B.

法三：因為同=1,|同=6,無5=0,建立如圖平面直角坐標(biāo)系,

則A（0,l）,8（6,0）.設(shè)備=■），），由忸_日=%一目知,

&+（）,_］）2=&一廚+、?=）,+1=Gx,

貝IJ同=々+）,2=」底-2瓜+1,

當(dāng)X=￥，H取最小值

故選：B.

4.C

【分析】在cos。+匹—sina=二”中，用兩角和的余弦公式展開cosa-3再利用輔助

16y/5x

角公式化簡得到sina-￡再利用二倍角的余弦公式展開cos2a一?卜算即可.

I6J5

【詳解】由cJa+二、-3】a=竽和兩角和的正弦公式,

I6）

z?冗..冗.3.3JJ

cosacos---sinasin——sina=——cosa——sina=----，

66225

由輔助角公式整理得，sin^=--1,

由二倍角的余弦公式，

答案第2頁，共14頁

/x/a

71=cos[2(a4).=l-2sin2a--71=l-2x|——7

3;6I5J25

故選：C

【點睛】本題主要考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用，包括了兩角和的正弦公式、輔助角公式和

二倍角的余弦公式，考杳學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.

5.B

【分析】根據(jù)題意,以對角線交點為坐標(biāo)原點，對角線所在直線為為），軸建立直角坐標(biāo)系，利

用坐標(biāo)法求解.

【詳解】解：如圖，以點。為坐標(biāo)原點，ODQ4所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由AB=2,Za4￡>=60°,

所以入（0,行），8（7,0）,D（l,o）,E

所以從2=(-1,-6),02=(-1,*),

所以麗.詼=i—3=—

22

故選：B

【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題怠建立平面直角坐標(biāo)系，利用

答案第3頁，共14頁

坐標(biāo)法求解，考查運算求解能力，是中檔題.

6.B

【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和角公式的應(yīng)用求M結(jié)果.

【詳解】由（G-lanlO。卜osa=l可得V3coslOO-sinlQOcosa=1>

cos10°

即出隨casa6

cos10°

cos10°cos10°sin40°cos10°sin40°.

所以cosa=----------=---------------------=-------------------=sin400=cos50°,

2cos40°2cos40°sin40°sin800

又。為銳角，故a=50。,

故選：B.

7.C

【解析】作輔助線AO,BC，利用向量數(shù)量積公式，可求得忸。=1,|。。=3,再利用向

量的三角形法則，將求可?前的最小值，轉(zhuǎn)化為求府.定得最小值，然后分類討論P與。

的位置關(guān)系，可知〃在。右側(cè)時，取?無最小，再利用基本不等式求最值.

【詳解】如圖所示，作

UU'iIUIK

=|fiC|=4,?A||?CcosB=4,

可得闞8s8=1,即忸6|=1,/.|CO|=3

利用向量的三角形法則，可知

uirunoziiinnuiruimminuiin

PAPC={PO^OA\xPC=PO-PC

若尸與。重合，則/M，C=0

inrumuiH|iiRn

若〃在。左側(cè)，即〃在OB上吐PAPC=PO\\PC

UirUlKULH.lULK

若尸在o右側(cè)，即2在oc上時,PAPC=-PO\]PC,顯然此時西.前最小，利用基本

答案第4頁，共14頁

mnii.um9umULK

不等式—（當(dāng)且僅當(dāng)PO=PC，即尸為OC中點時取等號）

4

故選：C.

【點睛】本題考查向量的三角形法則，向量的數(shù)量積公式，及利用基本不等式求最值，考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.A

【分析】由前.肥=2,求得”2,則|0用=工，要求03的最小值即求sinA的最大值，

sinA

即一人的最大值，由sinA+2sinBcosC=0,利用兩角和的余弦公式和同角間的關(guān)系，再利用

基本不等式可得tanAW正，得到NA的最大值為3（1,可得線段的最小值.

3

【詳解】

在VA5c中，設(shè)角人，B,。所對的邊分別小b,c,設(shè)V/WC外接圓半徑為R,

因為。是VA8C的外心，所以NO8C=g(兀一/8。。)=厘一4,

又前,阮=2,則|阿沅卜osNO4c=2,

則R-GCOS；-A)=2,即R-a-sinA=2,

由正弦定理得心公4=2,則。=2,

所以|OB|二R=丁三=工，要求08的最小值即求sinA的最大值，即/A的最大值,

2sinAsinA

在VA8c中，因為C=兀一(A+8),則sinA=sin(8+C),

因為sinA+2sinZfcosC=0,

則sinA+2sinBcos(九一(4+B))=0,即sinA=2sin8cos(A+B),

則sinA=2sinB(cosAcos8-sinAsinB),

所以lanA=2sin5cosB-2sin28tanA，

答案第5頁，共14頁

ri,2sinBcosB2sinBcosB

則tanA=-------；-=——；-------

l+2sin'B3sin-B+cos_B

2tanB_2

「3tan?+「3tan4+，，

(anB

因為sinA+2sinBcosC=0,又sinA>0,sinB>0,

則cosC<0,即C為鈍角，則A、8為銳角，

22y/3

所以tan8〉0,則1一2百一3，

3tan8+----

tanB

當(dāng)且僅當(dāng)=HR(anB=—,即？8300時，等號成立,

tanB3

則2A的最大值為300，所以sinA的最大值為3，

所以線段OB的最小值為2.

故選:A.

9.AC

【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項；利用平面向量的模長公式可判斷B

選項；利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示可判斷C選項；利用投影向量的概念可判斷D選項.

rrr

【詳解】對于A選項，，+坂=(3,-1),則?+斗￡=3-3=0,故(a+〃)_La,A對；

對于B選項，2。+石=(4,2),故|2￡+4=〃+2?=2\/5,B錯；

八ab10N/2

對于c選項，設(shè)向量值、3的夾角為氏則8s”肝j=一而萬萬=-彳，

因為0404兀，故。=包，C時；

4

對于D選項，5在〃方向上的投影向量為E|cos*后二-1(-1,-3),D錯.

故選：AC.

10.ACD

【分析】A中，利用兩角和的正弦公式計算即可；B中，先通分，再利用三角恒等變換計算

即可；C中，利用二倍角的正切值公式計算即可；D中，利用兩角和的正切公式計算即可.

【詳解】對于A,sin7°cos23°+sin830cos67°=sin7°cos2304-cos7°sin23°

=sin(70+23o)=sin30o=1；

答案第6頁，共14頁

1,Gcos50。+An50。_2sin(30°+50°)2sin800,

=-：----------=4

對于B,；。)

sin50°cos50°sin50°cos500sin(2x50-sin80°

2

tan22.501_____1

對于C,-----------------=-tan(z2x22.5°)x=-；

1-tan222.5°2'72

11

對于D,

(1+tan22°)(l+tan230)1+tan22°+tan230+tan220tan23°

I+tan220+tan230+tan22°-tan23°

_________________________I_______________________

-1+tan(22°+23°)(1-tan22°-tan23°)+tan22°-tan23°

2

~2,

故選：ACD.

11.ACD

【分析】設(shè)8c的中點為。，由向量的線性運算可得人而=5人力，由重心的性質(zhì)即可判斷選

項A；由向量的線性運算即可判斷選項結(jié)合圖象，由三點共線的充要條件即線性運算可

得點"的位置，結(jié)合圖象，及面積公式即可判斷選項C；由向量的線性運算及數(shù)量積運算

即可判斷選項

【詳解】解：對于A,設(shè)BC的中點為O,AM=^AB+^AC=^(AB+AC)=^-x2AD=^ADt

JJJJJ

則點”是V/1BC的重心，故A正確；

對于3,AM=2AB-AC即有AV-A月=4月一正，BPBM=CB?

則點M在邊C8的延長線上，故8錯誤；

對于C,=xAB+yAC,且x+y=l,

由圖可得M為4V的中點，則△處(?的面積是VA3C面積的故C正確；

對于。，因為加?/加二加/庶，J9ryA/A-(A/A+AB)=MA(MA+AC),

即M4A夕=MA?AC，

所以|加||八月|8S/孫”=|歷4||人。|85/。43，

因為麗=〃緇+照)，所以點/在284c的角平分線上，

|A3|\AC\

所以NK4/W=NC4M,所以cosNfiAM=cosNOW,

所以|而|=|/I，所以VA8C為等腰三角形，故。正確.

答案第7頁，共14頁

故選：ACD.

12.（-5,0）U（0,+oo）

【分析】利用無他+冽＞。且日與A+焉不共線求解.

【詳解】3=（2,1）,力=（卜1）,則G+瘁（2+0）,

因〃與0+4方的夾角為銳角，則無,+45）=4+2/1+1-/1=5+義＞0,得義＞—5,

當(dāng)出/（萬+/B）時，2（1-2|=2+2,得4=（）,此時,與a+"同向，

則實數(shù)4的取值范圍是（-5,0）U（0,內(nèi)）.

故答案為：（—5,0）11（0,田）

13.如

2

【分析】利用降次公式、輔助角公式化簡函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)最值的求法求得函數(shù)的最大值.

…冷-、l+cos2xI.IV2fV272}Ix/2.f,萬、

【詳解】/U）=-------4--sin2x=-+—x—sin2x+—cos2x=-+一sin2x+—,

2222（22J22{4；

所以當(dāng)sin（2x+g]=l時，/（x）取得最大值也±1.

14yl2

故填：也±1

2

【點睛】本小題主要考杳三角函數(shù)降次公式，考查二倍角公式、輔助角公式的運用，考查三

角函數(shù)最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14.-3[-3,5]

【分析】（1）如圖所示，QAQB=（QC+CA）（QC+CB\=，計算得到答

案.

（2）設(shè)肥詼夾角為氏。￡[0,外則叵+方|=4,麗?麗=1+4COS8,得到范圍.

【詳解】如圖所示：

逾。月=（加+?（區(qū)+區(qū)）=（_；（聲+而）+耳）.（_：（及+而）+可

答案第8頁，共14頁

=但亂」而］9+3同=一3次二濟(jì)五4

(44八44J16168

=4(WM可)3

設(shè)定，兩夾角為8,。40,可，CA+CB=2COf貝"3+麗|=2|阿=4,

PA?=(7^C+C4)(PC+CS)=PC2+(CB+C4)PC4-C5CA=l+4cos<9,

故尸AP8?-3,5J.

故答案為：-3；[-3,5]

15.⑴￡

4

⑵而

【分析】(1)利用向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算規(guī)律即可求解；

(2)由3+2d=4J+3b,再利用求模公式求解.

【詳解】(I)因為|=C|=1,a-(a-b)=1?設(shè)<d,5>=。，

所以d.(d-5)=f-d?4=|肝-1a1?161?cos0=2->/2cos0=\,

所以cos8=巫，因為05。工兀，

2

所以6=：,即不與5的夾角為

44

(2)^c+23=2ci-b-r2(d+2b)=4a+3b,

則|3+2lF=(4a+35)2=16d：+97+24d?6=16x(Vi)2+9+24x&xlxJ=65,

2

故|不+2]|=屈.

16.(\)PE=-DA+-DC

46

(r3&-13

(2)—；“2公了

【分析】(1)結(jié)合圖形，先證得四邊形ABb是平行四邊形，從而利用向量的線性運算即可

答案第9頁，共14頁

得解.

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論，得到而關(guān)于4的表達(dá)式，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運算求模得到~PE

關(guān)于4的二次表達(dá)式，從而可求得|的最小值及相應(yīng)的義值.

【詳解】(1)過C作交AO于b,如圖，

因為方=2瓦，所以ZM//BC,DA=2BC,

則四邊形是平行四邊形，故94=28C=24?"即產(chǎn)是人。的中點,

所以說」麗」醞」而-，覺△加-1云，

222242

I_9__

當(dāng)a=一時，PC=-DC,

33

__21113_1

因為DCDA=2zcos60°=t?D(f=r，DA2=4,

所以尸笈2=(g—4

(\\31497

所以當(dāng)彳-=即2=彳+｝時，/取得最小值二.

J424，16

所以同的最小值為氈，此時行g(shù)+一

17.⑴尸?

3

(2)2的最小值為1

【分析】(1)根據(jù)向量平行，得到cosx=-cos卜+1),由求解即可;

(2)利用向量的數(shù)量積運算得到了")解析式，由/(%)區(qū)/恒成立，再通過求解

答案第10頁，共14頁

/(x)在的最值，即可得到4的最小值.

【詳解】(1)由，〃方，則萬=筋，則(2cosx,l)=〃(一cos(x+?,g),

2cosx=-ncos|x+—,1=—,Ai2cosx=-2cosx+—I,

k3j2I3j

COSX=-COS(x+—,由于xc0,—,所以cosx=-cos|X+'=COS7C-Ix+—

所以X=7l—(％+g)，則X=g.

x4.￡UL_2cosx.cosfx+^l

(2)/(X)=?-/?=(2COSA;1)--cos

3)2)I3J

/(x)=-2cosx--cosx----sinx+—

(1A3

???"3)一八/)￡4恒成立，???義才/(內(nèi))一/(七)[=1——5=5,

\乙)乙

從而4號3,即電/3

18.(1)tanz^DAB—---1------

33m

(2)10米

⑶5&米

【分析】(1)解直角三角形得AB=,結(jié)合DB=2DE+BC=10+"?以及銳角三角函數(shù)的

定義即可得解：

(2)分別表示出,lanNEAB=^^,tanZDAE=—,結(jié)合

NDAB=/EAB+NDAE,由兩角和的正切公式列式求解，并結(jié)合AC=2〃?>5計算即可;

表示出1加/。哈登,

(3)作尸Q_LBC于點Q,設(shè)CQ=x,則PQ="r,PC=2X

5+x

tanZEPQ=^-=-,由兩角差的正切公式得出tan/DPE的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的取等號

V3x

條件即可得解.

【詳解】(1)

答案第11頁，共14頁

因為在直角三角形人8c中，ZC4B=30\/8=90°，BC=m,

所以A5=———=

tanZ.CAB

因為。石=5,點E是。。的中點,

從而DB=2DE+BC=10-〃7,

所以tan/ZM8=%10+/?_x/3?1073

AB#>m33m

(2)由(1)有tan/DAB=-^――,其中BC—m,

而在直角三角形中，tan/E48='空，

73m

又因為tan/QA￡=，ZZMB=ZE4B+ZZME,

9

所以tan皿『an"皿皿小黑巖窩^黑.

5+〃？\[3

un10+//Z5/3；??9檢〃5口5T

即F—=----------左，解得=7或〃？=5,

73m5+m\J32

XAC>5,所以〃?=5,(若〃z=2，則AC=2m=5,矛盾),

2

所以扶梯AC的長度為10米.

（3）作PQLBC于點Q,如圖所示,

則NC'PQ=NC44=3()°,

答案第12頁，共14頁

CQCQ

設(shè)CQ=x,則PQ==6x,PC==2x

tanZ.CPQsin/CPQ

由(2)可知x?0,5],

八10+x5+x

tanZ.DPQ=―廣—,tanZ.EPQ=

當(dāng)tan/。莊:取最大值時，即/￡）?石取最大值,

10+x5+x

tanNDPE=tan(NDPQ-N"Q)二趣嚴(yán)—=、

2/32"-----

“而+x言5+13.r-IX+15X+5O)

=----------<---7=---=-------

4x+—+152V200+154V2+3*

x

當(dāng)且僅當(dāng)4X=竺，即4辿時，等號成立，所以此時CP=2x=5拒米.