專題16三角函數(shù)與四類特殊圖形（相似三角形、圓、拋物線、雙曲線）目錄解題知識(shí)必備 2壓軸題型講練 4類型一、三角函數(shù)與相似三角形 4類型二、三角函數(shù)與圓 5類型三、三角函數(shù)與拋物線 7類型四、三角函數(shù)與雙曲線 9壓軸能力測(cè)評(píng) 11解題類型一、三角函數(shù)與相似三角形把銳角三角函數(shù)與相似三角形的判定與性質(zhì)結(jié)合考察，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．平行線分線段成比例定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義等進(jìn)行求線段長(zhǎng)或者比例問題。例．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊F處．(1)寫出圖中一定相似的三角形，并證明．(2)若圖中的相似三角形超過2對(duì)，試求這樣的矩形兩鄰邊，即的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知△ABC，∠BAC=90°（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)A作一條直線交BC于D，使其將∠ABC分成兩個(gè)相似三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若AD=4，tan∠BAD=，求CD的長(zhǎng)【變式訓(xùn)練2】．如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，C為OB的中點(diǎn)，D為AO上點(diǎn)，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作CEOA交BD于點(diǎn)E．（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)D為AO的中點(diǎn)時(shí)，通過圖中的相似三角形，可以發(fā)現(xiàn)＝（填數(shù)值）；（2）拓展探究當(dāng)時(shí)，求：①的值，②直接寫出tan∠BPC的值．【變式訓(xùn)練3】．在七年級(jí)第二學(xué)期14.7這一章節(jié)的課后練習(xí)部分，我們學(xué)習(xí)了以平習(xí)題，如圖，已知B、C、E在一直線上，和都是等邊三角形，聯(lián)結(jié)，試說明和全等的現(xiàn)由．現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形、銳角的三角比這兩章節(jié)的內(nèi)容．在此基礎(chǔ)上我們繼續(xù)探究：已知，，與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的正弦值．類型二、三角函數(shù)與圓圓的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線等分線段定理等，在涉及比例問題時(shí)，往往把比例和三角函數(shù)的概念結(jié)合。求三角函數(shù)值也會(huì)結(jié)合相似三角形，當(dāng)然也離不開直角三角形，需要構(gòu)造時(shí)進(jìn)行作垂線、連直徑等方法構(gòu)造。例．如圖，在中，，圓O是的外接圓，的延長(zhǎng)線交邊于D．(1)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求：的余弦值；(2)當(dāng)時(shí)，求：邊的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知反比例函數(shù)（）與正方形交于點(diǎn)M，，連接，以點(diǎn)O為圓心，ON長(zhǎng)為半徑作四分之一圓，分別交x軸，y軸正半軸于點(diǎn)D，E．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)求證：；(3)如圖所示，陰影部分面積和：____________．【變式訓(xùn)練2】．如圖，中，，在邊上取一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，分別交于點(diǎn)D、E，連接，．(1)求證：是切線；(2)若，，求的面積．【變式訓(xùn)練3】．如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的值．類型三、三角函數(shù)與拋物線銳角三角函數(shù)在于二次函數(shù)結(jié)合考察時(shí)，有時(shí)是直接根據(jù)圖形求三角函數(shù)值，只需要直接找出或者轉(zhuǎn)化等角的三角函數(shù)值；還有一種是根據(jù)三角函數(shù)的思想求出線段的長(zhǎng)，往往和相似進(jìn)行結(jié)合較多。例．如圖，直線l：與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，拋物線L：經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，點(diǎn)P是拋物線L上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求拋物線L的解析式，并經(jīng)過計(jì)算判斷拋物線L是否經(jīng)過點(diǎn)A．(2)若點(diǎn)P介于點(diǎn)M，B之間（包括端點(diǎn)），點(diǎn)D與點(diǎn)P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，作軸，交l于點(diǎn)E．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②若的長(zhǎng)隨m的增大而增大，求m的取值范圍．(3)若點(diǎn)P在第二象限，直接寫出點(diǎn)P與直線l距離的最大值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合）．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作軸，垂足為點(diǎn)D．(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)P在第三象限，且，求m的值；(3)連接，直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在y軸上時(shí)，求m的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，一個(gè)圓形噴水池的中央豎直安裝了一個(gè)柱形噴水裝置，處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是．(1)柱子的高度是多少米？若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？(2)如圖，為了吸引更多的游客前來參觀游玩，準(zhǔn)備在水池的邊緣增設(shè)彩光燈，彩光燈的底座為形狀，其中邊在地面上，點(diǎn)離柱子的距離為米，，燈孔在邊上，燈孔離地面的距離為米，若水流恰好落在燈孔處，求的值．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，連接，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)若點(diǎn)在直線的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)作y軸的平行線交直線于點(diǎn)．求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在該拋物線上是否存在點(diǎn)，使得若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．類型四、三角函數(shù)與雙曲線 三角函數(shù)與雙曲線進(jìn)行結(jié)合的時(shí)候，往往根據(jù)三角函數(shù)的比例求線段長(zhǎng)；當(dāng)然也離不開直角三角形的，利用直角三角形結(jié)合銳角三角函數(shù)進(jìn)行求值。例．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有a的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)時(shí)，在雙曲線位于直線下方的圖象上找一點(diǎn)D，使得，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)C在y軸上，坐標(biāo)為，且直線過一定點(diǎn)，試判斷的值是否會(huì)發(fā)生變化．若不變化，請(qǐng)求出該值；若變化，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，，E為x軸正半軸上一點(diǎn)，且．(1)雙曲線的解析式是，直線的解析式是．(2)求證：．(3)當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且滿足，連接．(1)求雙曲線的表達(dá)式；(2)若，求的值．【變式訓(xùn)練3】．如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（在的左邊），與y軸交于C，；雙曲線經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線和雙曲線的解析式．(2)點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限，連接，求當(dāng)四邊形取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最大值．(3)若在此拋物線和雙曲線上存在點(diǎn)Q，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．1．如圖，直線的雙曲線交于點(diǎn)，并分別與x軸、y軸交于點(diǎn)C、B．(1)求b、m的值(2)連接，求的正切值；(3)點(diǎn)D在x軸的正半軸上，若以點(diǎn)D、C、B組成的三角形與相似，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．2．如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，．

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍；(3)在雙曲線上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．如圖所示，直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線AB與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，．(1)求直線AB的解析式；(2)若點(diǎn)是第二象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，的面積是的面積的倍，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)直接寫出不等式的解集．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A-4,0，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．(1)求拋物線的解析式．(2)為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①連接交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)D，使得的度數(shù)恰好是的2倍？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖，已知拋物線經(jīng)過和兩點(diǎn)，與x軸交于M、N兩點(diǎn)（N在M的右側(cè)），直線與軸相交于點(diǎn)，是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，連接，求的正弦值；6．如圖，AH是△ABC的高，D是邊AB上一點(diǎn)，CD與AH交于點(diǎn)E．已知，．(1)求；(2)若以H為圓心、HB為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，求的值．7．如圖，在△ABD中，ABAD，以AB為直徑的圓交AD于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)C，使OCAO，連結(jié)CD，BC．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AM3，BO，求cos∠DAB．8．如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為圓上兩點(diǎn)，連接AC、CD，且AC＝CD，延長(zhǎng)DC與BA的延長(zhǎng)線相交于E點(diǎn)．(1)求證：△EAC∽△ECO；(2)若，求的值．9