南寧市2026屆普通高中畢業(yè)班摸底測試參考答案(數學)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

題號12345678

答案DBDCCBAA

8.【解析】若f(x)有兩個零點，則f(x)=memx?lnx=0有兩個解.

mx

等價于mxe?xlnx=0(x>0)有兩個解.因為m>0,x>0,所以lnx≥0.

t

令g(t)=te，原式等價于g(mx)=g(lnx)有兩個解.

t

因為g,(t)=(t+1)e,則當t>0時g,(t)>0，所以g(t)在[0,+∞)上單調遞增.

所以mx=lnx(x>0)有兩個大于零的解.

由mx=lnx可得m，令h，則h,

因為當0<x<e時h,(x)>0；當x>e時,h,(x)<0.

所以h(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+∞)上單調遞減，且hh(x)的圖象如上圖,

所以當0<m<時直線y=m與函數y圖像有兩個交點，即f(x)有兩個零點.故選A

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分。有兩個正確選項的僅選其中一個給3分；有三

個正確選項的僅選其中一個給2分，僅選其中兩個給4分。

題號91011

答案ACABDABD

4x+11

11.【解析】求導得f(,x)=x+4??4lnx=x??4lnx，

xx

所以在區(qū)間遞增在遞減在遞增且

f,(x)(0,x1),(x1,x2),(x2,+∞),f,(1)=0.

則使所以在區(qū)間遞減在遞增

3a∈(0,x1),c∈(x2,+∞)f,(a)=f,(c)=0.f(x)(0,a),(a,1),

在(1,c)遞減,在(c,+∞)遞增.故f(x)有四個單調區(qū)間且存在最小值.

故函數f=xlnx存在三個零點a,1,c.可知fx+4lnx=?f,

12

,,

由f(a)=f(c)=0,可得a=,故ac=1,即a,1,c成等比數列.故選ABD.

c

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.2;13.10【備注】若出現寫出“m=0或10”，不給分.

14.72【解析】設四種花卉分別為A,B,C,D.對于第一個2×2的方格,共有A4＝24種

不同的種法.假設第一個2×2的方格,種如圖所示A,B,C,D四種花卉.

南寧市2026屆普通高中畢業(yè)班摸底測試參考答案(數學)第1頁共15頁

①若第三列的第一個方格種A,第三列的第二個方格種C,則第三列的第三個方格種A或B;當第三

列的第三個方格種A時,則第三行的第一、二個方格,分別種A,B;當第三列的第三個方格種B時,則第

三行的第一、二個方格,分別種B,A；

②若第三列的第一個方格種C,第三列的第二個方格種A,則第三列的第三個方格種C或B;

當第三列的第三個方格種C時,則第三行的第一、二個方格,分別種A,B；當第三列的第三個方格種B

時,則第三行的第二個方格種C,此時不符合題目要求,舍去．

所以共有3類種法,則共有24×3＝72種不同的種植方法．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

15.(本題滿分13分)已知函數f=cos的最小正周期是π,且滿足

f.(1)求函數f(x)的解析式；(2)設函數g=ff(x?),求g(x)在區(qū)間

上的最大值和最小值.

解：(1)由題意知T=τ所以得w=2即f(x)=cos(2x+φ).…………….2分

【備注】見“w=2”給2分.

因為f，所以cos從而kτ,k∈Z.

因為，所以.…………………….……….2分

【備注】見“”給2分.

因此f=cos.………………..2(6分)

【備注】見“f=cos給2分.

ππππππ

(2)g(x)=f(x+)+f(x?)=cos[2(x+)?]+cos[2(x?)?]….1分

12612666

=cos2xsin2x1分

oscoscos2xsin2x”之一，給1分.

π

=2sin(2x+)2(9分)

6

【備注】見“2sin給2分.

令t=2x由x，得t

南寧市2026屆普通高中畢業(yè)班摸底測試參考答案(數學)第2頁共15頁

因為函數y=2sint在上單調遞增,在上單調遞減，……………….1(10分)

【備注】1.至少見“在上單調遞增”、“在,上單調遞減”之一，給1分.

2.至少見“g上單調遞增”、“在上單調遞減”之一，給1分.

又2sinsinsin……………….…….1(11分)

【備注】1.至少見“2sinsinsin之一，給1分.

2.至少見“2sinsin

“2sin之一，給1分.

故g(x)在上的最大值為2，最小值為?…….2(13分)

【備注】正確寫出“最大值為2”、“最小值為?”各給1分.

解法二：(1)評分細則同解法一.

=cos2x+sin2x…………….………………….1分

ππππ

【備注】見“cos[2(x+)?]+cos[2(x?)?]”、“=cos2x+sin2x”之一給1分。

12666

=2cos………….………….2(9分)

【備注】見“2cos給2分.

令t=2x由x，得t

「5τ7「τ7

因為函數y=2cost在?,0上單調遞增,在0,上單調遞減，……………….1(10分)

|L6」||L6」|

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「5τ7「τ7

【備注】1.至少見“在-,0上單調遞增”、“在0,上單調遞減”之一，給1分;

|L6」||L6」|

「ττ7「ττ7

2.至少見“在-,上單調遞增”、“在，上單調遞減”之一，給1分

|L46」||L64」|

又2coscos0=2,2cos……………….…….1(11分)

(5τ)τ

【備注】1.至少見“2cos|-=-”、“2cos0=2”、“2cos=”之一，給1分;

(6,6

(ττ)ππττ”

2.至少見“2cos|-×2-=-”、“2cos(2×-)=2”、“2cos(2×-)=

(43,6343

之一，給1分.

故g(x)在上的最大值為2，最小值為-…….2(13分)

【備注】正確寫出“最大值為2”、“最小值為-”各給1分.

已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，

16.(本題滿分15分)C:=1(a>b>0),F1,F2

且過焦點且垂直于橢圓C的長軸的弦長為1.(1)求橢圓C的方程；(2)已知過點F2的直線l交橢圓C于

A,B兩點.當F1AB的面積最大時，求此時直線l的方程．

解:(1)因為橢圓C的離心率為.…………..…...….1分

將x=c代入橢圓方程得y.依題意可得=1.………….…...….2分(3分)

【備注】見“=1”給2分.

因為a2=b2+c2,解得a=2,b=1．2分

【備注】寫出“a=2”、“b=1”各給1分;或寫出“a2=4”、“b2=1”各給1分;

所以橢圓C的方程為y2=1．……….1分(6分)

(2)由(1)得F南可寧屆的普畢業(yè)=班測，參學第頁共21分5頁

2(,0),06lxm(..…)....

【備注】見“直線l方程為x=my給2分；

若不出現“”但寫出可給分

x=my+F2(,0)1.

聯立my?1=0.……………….1分

【備注】能寫出體現聯立解方程思想過程即可給1分.

設則

A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y,y1y2=?.………….…...1分(10分)

【備注】至少能正確寫出運用韋達定理的一個式子可給1分.

S△ABy1?y分

【備注】見正確寫出關于面積的函數解析式“”、寫出面積公式

“S△ABy1?y2”之一，可給1分.

令，則分分

tS△AB.……………….....1(12)

【備注】有一定的過程且見“S△≤2”給1分.

F1AB

當且僅當t即m時取等號．…………….…..............….1分

【備注】正確寫出“”其中一個即可給分

m=±1.

所求直線l的方程為x+y?=0或x?y?=0．2分(15分)

【備注】正確寫出其中一個方程各給1分.

(2)（解法二，評分細則同解法一）

由(1)得F當直線斜率存在時可設直線l的方程為y=?2分

2(,0),k(x)，………..

【備注】1.見“直線l方程為y=k”給2分；

2.若不出現“y=?)”但寫出F,0)可給分

k(x2(1.

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聯立k2x+12k2?4=0.….1分

【備注】能寫出體現聯立解方程思想過程即可給1分.

設則分分

A(x1,y1),B(x2,y2),x1+xx1x.……..…….….1(10)

【備注】至少能正確寫出運用韋達定理的一個式子可給1分.

點到直線的距離為

F1(?,0)ld

分

【備注】見正確寫出關于面積的函數解析式“”、寫出面積公式

“S△ABAB×d”之一，可給1分.

2

令t=1+4k，則S△AB.……..……..….…...1分(12分)

因為直線斜率不存在時可得S△AB

故當且僅當t=3即k時面積取最大值………….......................................….1分

【備注】正確寫出“k”其中一個即可給1分.

所求直線l的方程為x+y?=0或x?y?=0．2分(15分)

【備注】見“”、“”之一給分；

x+y?=0y=(x?),1

2

見“x之一給1分；

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17.(本題滿分15分)如圖,在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,AB丄AC,AB=AC,側面BB1C1C為菱形,

且上B1BC=60,點D為棱A1A的中點,平面ABC丄平面BB1C1C.設平面ABC與平面B1DC的交

線為l.(1)求證:l丄平面BB1C1C；(2)若BC=2,求二面角C?B1D?B的正弦值.

解法一：

(1)延長BA,B1D交于E,連接CE,則CE為面B1DC和面ABC交線l...........1分

因為是的中點則是中點分分

DAA1,AA1//BB1,ABE.............................................1(2)

【備注】見寫出“A是BE中點”或“AB=AE”給1分.

因為△ABC中AB=AC,AB丄AC,所以BE=2AC,從而EC⊥BC2分(4分

【備注】見寫出“EC⊥BC”給2分.

因為平面ABC平面BB1C1C且交線為BC,.......................................................1分

⊥

所以EC丄平面BB1C1C,即l丄平面BB1C1C1分(6分)

。

(2)取B1C1中點G,因為側面BB1C1C為菱形且上B1BC=60,則GC丄BC......1分

【備注】見寫出“GC⊥BC”給1分.

由(1)知EC丄平面BB1CC,所以GC丄EC1分

【備注】見寫出“GC丄EC”給1分

分別以CB,CE,CG所在直線為x,y,z軸,建立如圖空間直角坐標系C-BEG1分(9分)

因為BC=側面BBCC為菱形且上BBC=。則B（1，0，）E（0，2，0）B（2，0，0）

2,11160,1,,.

則CB1=(1,0,3),CE=(0,2,0),BE=(?2,2,0)1分(10分)

【備注】見至少正確寫出一個非原點坐標或見至少正確寫出一個向量坐標，均可給1分.

—小

設平面的法向量為

B1DCm=(x1,y1,z1),

由所以可取

設平面的法向量為

B1DBn=(x2,y2,z2),

則所以可取......................................3分(13分)

【備注】1.見恰好正確寫出一個法向量坐標,本3分段共給2分；

2.見正確寫出兩個法向量坐標,本3分段共給3分；

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〔CBm=，0〔BE·n=，0

3.若不能正確寫出兩個法向量坐標，但見“{1”或“{—-”之一,可給方法分1分

CE

lm=0lBB1·n=0

因為cos

所以二面角的正弦值為分分

C?B1D?B.......................................................2(15)

【備注】1.見寫出“正弦值為”給2分;

7

2.若不能正確寫出“正弦值為”,但正確寫出原始夾角公式“cos給1分；

3.若結果不正確，而只寫出形如“cos<m,n>=情況不給分.

解法二：

(1)延長BA,B1D交于點E,連接CE,則CE為面B1DC和面ABC交線l.........1分

因為是中點則是中點分分

DAA1,AA1//BB1,ABE......................................................1(2)

【備注】見寫出“A是BE中點”或“AB=AE”給1分.

取BC中點F,連接AF,可得AF∥l1分

因為AB=AC,所以AF丄BC1分

因為平面ABC平面BB1C1C且交線為BC,所以AF丄平面BB1C1C.................1分(5分)

⊥

【備注】見寫出“AF丄平面BB1C1C”給1分.

所以l丄平面BB1C1C.................................................................................................1分(6分)

(2)連結B1F,由側面BB1C1C為菱形,上B1BC=60,則B1F⊥BC.

由面ABC丄面BB1C1C,所以B1F⊥面ABC，可得B1F⊥AF

又因為AB=AC,所以AF⊥BC..2分

【備注】1.見寫出“AF⊥BC”、“B1F⊥AF”、“B1F⊥BC”之一并有必要的過程，給2分；

2.見寫出“AF⊥BC”、“B1F⊥AF”、“B1F⊥BC”之一無過程，給1分

分別以FA,FC,FB1,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系F-xyz,如圖...1分

因為BC=2,側面BB1C1C為菱形且上B1BC=60。,

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z

G

A

D

F

則A（1，0，0）,C(0,1,0)B(0,?1,0),B（0，0，）,A（1，1，）,DBy

,11iC

A

E

x

1一

分分

CB1=(0,?1,),CD=(1,?,),BA=(1,1,0),BB1=(0,1,).........1(10)

22

【備注】見至少正確寫出一個非原點坐標或見至少正確寫出一個向量坐標，可給1分.

設平面的法向量為

B1DCm=(x1,y1,z1),

〔0，

由{,所以可取m=(0,,1)

l0

設平面的法向量為

B1DBn=(x2,y2,z2),

由所以可取n=(,?,1)..........................................3分(13分)

【備注】1.見恰好正確寫出一個法向量坐標,本3分段共給2分；

2.見正確寫出兩個法向量坐標,本3分段共給3分；

〔CBm=，0〔BA·n=，0

3.若不能正確寫出兩個法向量坐標,但見“{1”或“{—-”之一,可給方法分1分.

CD

lm=0lBB1·n=0

mn?×+1

因為cos<m,n>===?

|m|×|n|27

所以二面角的正弦值為分分

C?B1D?B...............................................................................2(15)

【備注】1.見寫出“正弦值為”給2分;

2.若不能正確寫出“正弦值為”,但正確寫出原始夾角公式“cos”

或“|cos給1分；

3.若結果不正確，而只寫出形如“cos情況不給分.

解法三：(1)同解法二的第1小題;

(2)連結B1F,由側面BB1C1C為菱形,上B1BC=60,則B1F⊥BC...1分

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z

【備注】見寫出“B1F⊥BC”給1分.

G

A

由面面所以1⊥面可得1⊥

ABC丄BB1C1C,BFABC,BFAF.D

F

xBiC

又因為AB=AC,所以AF⊥BC1分A

yE

【備注】見至少寫出“AF⊥BC”、“B1F⊥AF”、“AF⊥BF”之一，給1分.

分別以FA,FC,FB1,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系F-xyz,如圖1分

因為BC=2,側面BB1C1C為菱形且上B1BC=60。,

則,C(-1,0,0),B(1,0,0),B1（0，0，）,A1（-1，1，）,D

A(0,1,0)

則CB1=(1,0,),BB1=(?1,0,)............................1分(10分)

【備注】見至少正確寫出一個非原點坐標或見至少正確寫出一個向量坐標，可給1分.

設平面的法向量為

B1DCm=(x1,y1,z1),

〔0，

由{,所以可取m=(1,0,?)

l0z1=0.

設平面的法向量為

B1DBn=(x2,y2,z2),

則所以可取...................................3分(13分)

【備注】

1.見恰好正確寫出一個法向量坐標,本3分段共給2分；

2.見正確寫出兩個法向量坐標,本3分段共給3分；

〔0，

3.若不能正確寫出兩個法向量坐標,但見“{”或“”之一,可給方法分1分.

l0

因為cos所以二面角C?B1D?B的正弦值為................2分(15分)

4.若考生出現其他建系方法，可結合這三種解法對應給分即可。

18.(本題滿分17分)流行病學調查表明某種疾病S是由致病菌α和致病菌β共同引起的,且至少殺滅

其中一種致病菌即可痊愈.

(1)若有某種治療方案M,有的概率能殺滅致病菌α.若這種治療方案能殺滅致病菌α,則它有

的概率能殺滅致病菌β.若這種治療方案不能殺滅致病菌α,則它有的概率能殺滅致病菌β.

求使用治療方案M痊愈的條件下,能殺滅致病菌α的概率；

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(2)若市面上僅有兩款藥物A和藥物B對疾病S有療效,且這兩種藥物的療程各均為3天(假定藥

物使用時,均按療程服用3天),超過3天無效時需換藥進行治療.若使用完兩種藥物仍不見效,依靠自身

47

的免疫能力再經過3天也能痊愈.已知藥物A殺滅致病菌α和致病菌β的概率分別為.藥物B

殺滅致病菌α和致病菌β的概率均為.請問應先使用哪種藥物可使得痊愈的平均天數更短？

已知某種藥物能治愈疾病的概率為設針對藥物的次臨床實驗中有連續(xù)

(3)CSP0.Cn(n≥3)3

次或連續(xù)次以上治愈疾病的概率為且每次治療結果相互獨立

3SPn,.

求證33n?3

:Pn+1>Pn≥1?(1?P0)[1?P0(1?P0)].

解：(1)設使用治療方案M治愈疾病S為事件D,使用治療方案M能殺滅致病菌α為事件E.

則有P............3分

【備注】見“P之一可給1分；見正確結果”給2分.

(2)解法1：設P(A)表示藥物A能治愈疾病S的概率,P(B)表示藥物B能治愈疾病S的概率.

則有P..................................2分(5分)

【備注】見正確寫出結果“”各給1分.

設先用藥物再用藥物來治愈疾病所需的天數為

ABSX1;

先用藥物再用藥物來治愈疾病所需的天數為

BASX2.

則P(X1=3)=P(A),P(X1=6)=(1?P(A))×P(B),P(X1=9)=(1?P(A))×(1?P(B))

有≈分

E(X1)=3P(A)+6(1?P(A))×P(B)+9(1?P(A))×(1?P(B))=3.18183.18.............1

【備注】見寫出“E(X2)=3.1818”、“E(X2)≈3.18”、“E(X2)≈3.2”、“E(X2)≈3.18”、

“”之一，可給分。

E(X1)=3P(A)+6(1?P(A))×P(B)+9(1?P(A))×(1?P(B))1

同理得P(X2=3)=P(B),P(X2=6)=(1?P(B))×P(A),P(X2=9)=(1?P(A))×(1?P(B)).

有E(X2)=3P(B)+6(1?P(B))×P(A)+9(1?P(A))×(1?P(B))=3.0318≈3.03.............1分

【備注】見寫出“E(X2)=3.0318”、“E(X2)≈3.03”、“E(X2)≈3”、

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“”之一，可給分

E(X2)=3P(B)+6(1?P(B))×P(A)+9(1?P(A))×(1?P(B))1

從而有E(X1)?E(X2)>0.即E(X1)>E(X2).

因此需先使用藥物B可使得痊愈的平均天數更短.2分(9分)

【備注】寫出結果“需先使用藥物B可使得痊愈的平均天數更短”或“使用藥物B”給2分；

第2小題中，沒寫任何過程，但只寫猜想的結果正確，第2小題統(tǒng)一只給1分。

解法2：設P(A)表示藥物A能治愈疾病S的概率,P(B)表示藥物B能治愈疾病S的概率.

則有P(A)=1?(1?)(1?)=,P..................................2分(5分)

【備注】見正確寫出結果“”各給1分.

設先用藥物再用藥物來治愈疾病所需的天數為

ABSX1;

先用藥物再用藥物來治愈疾病所需的天數為

BASX2.

則

E(X1)?E(X2)=3P(A)+6(1?P(A))P(B)?3P(B)?6(1?P(B))P(A)

=3[P(B)?P(A)]2分

【備注】見“3[P(B)?P(A)]”或“3[P(A)?P(B)]”給2分

.從而有E(X1)?E(X2)>0.即E(X1)>E(X2).

因此需先使用藥物B可使得痊愈的平均天數更短.2分(9分)

【備注】寫出結果“需先使用藥物B可使得痊愈的平均天數更短”或“使用藥物B”給2分；

第2小題中，沒寫任何過程，但只寫猜想的結果正確，第2小題統(tǒng)一只給1分。

設針對藥物的次臨床實驗中未出現連續(xù)次或連續(xù)次以上治愈疾病的概率為

(3)Cn33SQn.

2

因此有Qn+1=(1?P0)Qn+P0[Qn?P0(1?P0)Qn?3].....2分(11分)

3

從而Qn+1?Qn=?P0(1?P0)Qn?3…....1分

3

由Qn=1?Pn可得Pn?Pn+1=?P0(1?P0)Qn?3<0，所以有Pn<Pn+1.......1分(13分)

3

【備注】見寫出“Pn?Pn+1=?P0(1?P0)Qn?3<0”才給1分

這表明Pn隨n增大而增大,Qn隨n增大而減小，所以有Qn<Qn?3..................................1分

33

另一方面，由Qn+1?Qn=?P0(1?P0)Qn?3<?P0(1?P0)Qn.

3

可得Qn+1<[1?P0(1?P0)]Qn,即......................................................1分

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注意到Q所以有

即33n?3分分

Qn<(1?P0)[1?P0(1?P0)].......1(16)

【備注】見寫出“33n?3”給分

Qn<(1?P0)[1?P0(1?P0)]1

因為所以有33n?3

Qn=1?Pn,Pn>1?(1?P0)[1?P0(1?P0)]

綜上所述33n?3證畢分分

Pn+1>Pn≥1?(1?P0)[1?P0(1?P0)]........1(17)

已知數列滿足為常數為可導函數

19.(本題滿分17分){an}f'(b),f(x).

若2且求數列的通項公式結果用表示

(1)f(x)=xa1=1,{an}(b);

若x2證明當時為單調函數；若數列為

(2)f=ex?mx(i):m≤1f(x)(ii){an}

正項數列且an>b>0,證明:an>an

解：(1)由于f'(x)=2x,1分

依題意得an+1即an+b=2an+1...........................................................1分

【備注】見寫出“an+1”、“an+b=2an+1”之一，給1分

即an+1?b............................................................................................................1分(3分)

【備注】若見“2(an+1?b)=an?b”也給1分；

則an?b..................................................................1分

【備注】若沒有b≠1與b=1的分類，直接寫出或“數列是以為公

比的等比數列”，不給這1分.

所以n?1即n?1分分

an?b=,an