第第頁第23講圓周運動的臨界問題核心考點考點一水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題 1考點二豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題 7考點三斜面上圓周運動的臨界問題 15考點一水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力Ffm＝mv(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動，其中一個物體存在一個恰不向內(nèi)滑動的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心和沿半徑指向圓心。2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題(1)兩個接觸物體分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零。(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力?！纠?】（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖所示，半徑為r3=5r的圓形餐桌中心有一轉(zhuǎn)盤，其半徑為r2=3r，可繞其中心軸轉(zhuǎn)動。a、b為兩個相同的杯子，其中a置于距中心軸r1=r處，b置于轉(zhuǎn)盤邊緣。兩個杯子與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)均為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，轉(zhuǎn)盤厚度及轉(zhuǎn)盤與餐桌的間隙不計，餐桌始終保持靜止，兩個杯子均可視為質(zhì)點，現(xiàn)緩慢增大轉(zhuǎn)盤的角速度。(1)求a、b分別相對轉(zhuǎn)盤剛發(fā)生滑動時轉(zhuǎn)盤的角速度之比；(2)b相對轉(zhuǎn)盤滑下后，恰不從餐桌邊緣掉下，求杯子與桌面間的動摩擦因數(shù)μ'?！纠?】（2025·內(nèi)蒙古包頭·二模）如圖所示，小木塊a和b（可視為質(zhì)點）用輕繩連接置于水平圓盤上，開始時輕繩處于伸直狀態(tài)但無拉力，a的質(zhì)量為3m，b的質(zhì)量為m。它們分居圓心兩側(cè)，與圓心的距離分別為r和2r，a、b與盤間的動摩擦因數(shù)相同（最大靜摩擦力等于滑動摩擦力）。圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸極緩慢地加速轉(zhuǎn)動，木塊和圓盤始終保持相對靜止，a、b所受摩擦力大小分別為隨變化的圖像正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【例3】（2025·陜西商洛·二模）如圖所示，光滑水平面上固定一光滑豎直硬桿，一原長L=1m、勁度系數(shù)k=20N/m的輕質(zhì)彈簧套在桿上，彈簧下端固定在水平面上。質(zhì)量均為m=0.5kg的小球a、b，固定在長L=1m的輕質(zhì)細(xì)桿的兩端，其中有小孔的a球套在桿上，b球放置在水平面上。給小球b以不同的角速度ω，使其繞豎直桿做勻速圓周運動。重力加速度g取10m/s2，則下列說法正確的是（）A．彈簧的彈力隨角速度ω的增大而增大B．輕質(zhì)細(xì)桿的彈力與ω2成正比C．當(dāng)ω=5rad/s時，彈簧的彈力大小為10ND．當(dāng)ω分別為和時，a、b小球及彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能之差大于3J【例4】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖甲所示，繞著豎直轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為的斜面體，斜面體上放有一物塊，物塊質(zhì)量也為。某時刻轉(zhuǎn)盤開始轉(zhuǎn)動，角速度從零緩慢增大到，斜面體和物塊始終與轉(zhuǎn)盤保持相對靜止，斜面體到轉(zhuǎn)軸的水平距離為，物塊到轉(zhuǎn)軸的水平距離為，均遠(yuǎn)大于物塊和斜面體的尺寸，如圖乙所示，下列說法正確的是（）A．轉(zhuǎn)盤對斜面體的摩擦力始終背向轉(zhuǎn)軸B．斜面體對轉(zhuǎn)盤的壓力小于C．當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度為時，斜面體所受圓盤的摩擦力小于D．物塊所受斜面體的摩擦力沿斜面向上，并一直增大【例5】（2025·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）如圖所示，兩完全相同的滑塊P、Q用長為L的輕繩拴接，輕繩剛好拉直，放在水平的圓形轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺的圓心O與P、Q在同一條直線上，，兩滑塊的質(zhì)量均為m，與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)讓轉(zhuǎn)臺的角速度從0逐漸增加，當(dāng)角速度為ω1時，Q所受的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，當(dāng)角速度為ω2時，滑塊剛好相對轉(zhuǎn)臺滑動，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，兩滑塊均視為質(zhì)點，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．滑塊P、Q所受的摩擦力大小之比始終等于1∶3B．C．D．轉(zhuǎn)臺的角速度為時，輕繩的拉力大小為精講考點精講考點1．解決臨界問題的注意事項(1)先確定研究對象受力情況，看哪些力提供向心力，哪些力可能突變引起臨界問題。(2)注意分析物體所受靜摩擦力大小和方向隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生的變化。(3)關(guān)注臨界狀態(tài)，即靜摩擦力達(dá)到最大值時。物體隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動，靜摩擦力提供向心力，隨轉(zhuǎn)速的增大，靜摩擦力增大，當(dāng)達(dá)到最大靜摩擦力時開始滑動，出現(xiàn)臨界情況，此時對應(yīng)的角速度為臨界角速度。考點二豎直面內(nèi)圓周運動的臨界問題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)1.豎直面內(nèi)圓周運動一般為變速圓周運動，故除最高點和最低點(或等效最高點和等效最低點)合外力指向圓心，其他位置合外力不指向圓心。2.在變速圓周運動中，只需要把合外力沿圓心方向和速度方向正交分解，指向圓心的分力提供向心力，只改變速度的方向，沿切線方向的合力改變速度的大小。3.只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運動機(jī)械能守恒，有其他力參與做功的可用動能定理或能量守恒解題。4.豎直面內(nèi)圓周運動的兩類模型

輕繩模型輕桿模型常見類型小球最高點沒有支撐小球最高點有支撐最高點受力特征除重力外，物體受到的彈力方向：向下或等于零除重力外，物體受到的彈力方向：向下、等于零或向上最高點受力示意圖動力學(xué)方程mg＋F彈＝mvmg±F彈＝mv臨界特征F彈＝0mg＝mv即vmin＝gR①恰好過最高點，v＝0，F(xiàn)彈＝mg②恰好無彈力，F(xiàn)彈＝0，v＝gR過最高點的條件在最高點的速度v≥gRv≥0(3)本質(zhì)：離心運動的本質(zhì)并不是受到離心力的作用，而是提供的力小于做勻速圓周運動需要的向心力?！纠?】（2025·湖北武漢·三模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定一剛性輕質(zhì)的圓環(huán)形細(xì)管（管道內(nèi)徑極?。毁|(zhì)量為m的小球放置于管內(nèi)頂端A點，其直徑略小于管道內(nèi)徑?，F(xiàn)給小球一微小擾動，使之順時針沿管道下滑。管內(nèi)的B點與管道的圓心O等高，C點是管道的最低點，若不計一切摩擦，下列說法中正確的是（）A．小球不可能回到A點B．小球?qū)?xì)管的作用力不可能為零C．從A點運動到C點，小球?qū)?xì)管的作用力一直增大D．從A點運動到B點，小球?qū)?xì)管的作用力先減小后增大【例7】（2025·山東濟(jì)南·二模）如圖所示，豎直圓形光滑軌道固定在水平地面上，右側(cè)為管狀結(jié)構(gòu)，左側(cè)為單層，外圓半徑為R。將質(zhì)量為m的小球置于軌道最高點，給小球一個輕微的擾動，讓小球從右側(cè)由靜止滑下。已知管的內(nèi)徑略大于小球直徑，且遠(yuǎn)小于外圓半徑，重力加速度為g。關(guān)于小球的運動，下列說法正確的是（）A．小球一定能夠回到軌道最高點B．小球運動過程中對軌道的最大壓力為6mgC．小球脫離軌道時的速度大小為D．小球脫離軌道時離地面的高度為【例8】（2024·安徽·一模）為激發(fā)學(xué)生參與體育活動的興趣，某學(xué)校計劃修建用于滑板訓(xùn)練的場地。老師和同學(xué)們圍繞物體在起伏地面上的運動問題，討論并設(shè)計了如圖所示的路面，其中AB是傾角為53°的斜面，凹圓弧和凸圓弧的半徑均為R，且D、F兩點處于同一高度，B、E兩點處于另一高度，整個路面無摩擦且各段之間平滑連接。在斜面AB上距離水平面BE高度為h（未知量）的地方放置一個質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點），讓它由靜止開始運動。已知重力加速度為g，取，。(1)當(dāng)時，求小球經(jīng)過最低點C時，路面受到的壓力大小FN'；(2)若小球一定能沿路面運動到F點，求h的取值范圍；(3)在某次試驗中，小球運動到段的G點時，重力功率出現(xiàn)了極大值，已知該點路面傾角，求h的值?！纠?】（2025·陜西渭南·三模）如圖甲，光滑圓軌道固定在豎直面內(nèi)，小球沿軌道始終做完整的圓周運動。已知小球在最低點時對軌道的壓力大小為N，動能為Ek。改變小球在最低點的動能，小球?qū)壍缐毫的大小隨之改變。小球的N-Ek圖線如圖乙，其左端點坐標(biāo)為（①，②），其延長線與坐標(biāo)軸的交點分別為（0，a）、（-b，0）。重力加速度為g，則下列說法正確的是（）A．小球的質(zhì)量為 B．圓軌道的半徑為C．圖乙①處應(yīng)為3b D．圖乙②處應(yīng)為6a【例10】（2025·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖所示為一游戲裝置的豎直截面圖，A、B、D、E、H、I處于同一水平面上，在A端的彈簧裝置能將質(zhì)量的滑塊（可視為質(zhì)點）水平彈出，并從B點順利進(jìn)入曲線軌道BC、半徑的螺旋圓軌道、曲線軌道，在E點連接了傾角的斜面EF和水平平臺FG，平臺FG高度、長度，質(zhì)量的小車靠在平臺右側(cè)且上表面與平臺FG齊平，小車的長度，在B、F處均設(shè)置了轉(zhuǎn)向防脫離軌道裝置。已知滑塊與斜面EF、平臺FG間的動摩擦因數(shù)均為，滑塊與小車上表面間的動摩擦因數(shù)，其余部分均光滑，各處平滑連接，不計空氣阻力，，。求：(1)若滑塊經(jīng)過D點的速度大小，則此時滑塊對軌道的壓力大小；(2)若螺旋圓軌道能承受的最大壓力，則彈簧儲存的最大彈性勢能；(3)若要求滑塊最終停在小車上，則小車獲得的動能和彈簧儲存的彈性勢能之間應(yīng)滿足的關(guān)系式。精講考點精講考點1．分析豎直平面內(nèi)圓周運動臨界問題的思路考點三斜面上圓周運動的臨界問題基礎(chǔ)過關(guān)基礎(chǔ)過關(guān)物體在斜面上做圓周運動時，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等。物體在轉(zhuǎn)動過程中，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。【例11】（2025·河北·模擬預(yù)測）如圖甲所示，傾角為的光滑斜面固定在水平地面上，細(xì)線一端與質(zhì)量為m、可看成質(zhì)點的小球相連，另一端穿入小孔O與力傳感器（位于斜面體內(nèi)部）連接，傳感器可實時記錄細(xì)線拉力大小及小球走過的路程s。初始時，細(xì)線水平，小球位于小孔O的右側(cè)，現(xiàn)敲擊小球，使小球獲得一平行于斜面向上的初速度，此后傳感器記錄細(xì)線拉力T的大小隨小球走過的路程s的變化圖像如圖乙所示，小球到O點距離為L，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．小球通過最高點時速度為 B．小球位于初始位置時加速度的大小為C．小球通過最低點時速度為 D．細(xì)線拉力最大值為【例12】（2025·山東臨沂·三模）游樂場里有一個半徑為5m的傾斜勻質(zhì)圓盤，盤面與水平面的夾角為30°，圓盤可繞過圓盤圓心O且垂直于盤面的固定對稱軸以1rad/s的角速度勻速轉(zhuǎn)動，如圖所示。一個小孩（可視為質(zhì)點）坐在盤面上距O點距離r處，小孩與盤面間的動摩擦因數(shù)為，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2。要保證小孩與圓盤始終保持相對靜止，則距離r的可能取值范圍為（）A．0<r≤2.5m B．1m≤r≤3.5mC．2.5m≤r≤4m D．2.5m≤r≤5m【例13】（2025·云南昆明·一模）如圖所示，傾角為30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面ABCD是邊長為d=3.2m的正方形，在其中心O處用長為L=0.6m的輕繩懸掛一可視為質(zhì)點的小球，使小球靜止?，F(xiàn)給小球一個垂直于繩方向的初速度，小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動。取重力加速度g=10m/s2。求：(1)的大小；(2)若小球沿斜面向上運動到與O點等高時，剪斷輕繩，從剪斷輕繩到小球離開斜面所用的時間?！纠?4】（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，一傾角為θ＝30°的斜劈靜置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一輕繩的一端固定在斜面上的O點，另一端系一小球。在圖示位置垂直于繩給小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圓周運動。已知O點到小球球心的距離為l，重力加速度為g，整個過程中斜劈靜止，下列說法正確的是（）A．小球在頂端時，速度大小為B．小球在底端時，速度大小為C．小球運動過程中，地面對斜劈的摩擦力大小不變D．小球運動過程中，地面對斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和【例15】（2025·四川遂寧·二模）如圖甲所示，傾角為的光滑斜面固定在水平地面上，細(xì)線一端與可看成質(zhì)點的質(zhì)量為的小球相連，另一端穿入小孔與力傳感器（位于斜面體內(nèi)部）連接，傳感器可實時記錄細(xì)線拉力大小及掃過的角度。初始時，細(xì)線水平，小球位于小孔的右側(cè)，現(xiàn)敲擊小球，使小球獲得一平行于斜面向上的初速度，此后傳感器記錄細(xì)線拉力的大小隨細(xì)線掃過角度的