專題強(qiáng)化訓(xùn)練一：空間向量在直線、平面和角的應(yīng)用

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一：空間中直線、平面的平行

1.線線平行的向量表示

設(shè)⑷，“2分別是直線是，2的方向向量,則

使得〃1=加2.

2.線面平行的向量表示

設(shè)〃是直線I的方向向量，〃是平面a的法向量，應(yīng)如則

I//=0.

面面平行的向量表示

設(shè)小，也分別是平面a,4的法向量，則

a//p^>n\//7i2<=>32eR,使得川=筋；；.

考點(diǎn)二：空間中直線、平面的垂直

1.線線垂直的向量表示

設(shè)Ml,MO分別是直線h、b的方向向量，則

l\_L72^W1-L"20〃「〃2=O.

2.線面垂直的向量表示

設(shè)〃是直線/的方向向量，〃是平面a的法向量，IQa,貝ij/J_a臺〃〃〃臺使得〃=筋.

知識點(diǎn)三面面垂直的向量表示

設(shè)，小町分別是平面a，夕的法向量，則

a±￡<今〃?±"20〃|/?2=0.

考點(diǎn)三：角

角的分類向量求法范圍

設(shè)兩異面直線/1,h所成的角為仇其方向向量

兩條異面直(0,1

線所成的角分別為〃，V,則cosO=|cos<?,V)1=高也

設(shè)直線A8與平面a所成的角為"直線AB的

直線與平面

方向向量為〃，平面a的法向量為〃，則sin?=aI

所成的角

18s(小而一同同

設(shè)平面a與平面夕的夾角為仇平面a,4的法

兩個(gè)平面的向量分別為〃1，〃2,則cos0=|cos<711，112)1

_o,

夾角

【題型歸納】

題型一：空間向量證明直線與平面平行

⑵設(shè)平面皿與平面曲的交線為。是否存在點(diǎn)P使得/〃平面"？若存在，求而的值；若不存在，請說明

理由.

⑴判斷PQ與BD的位置關(guān)系;

題型二：空間向量證明直線與平面垂直

⑴求的長;

(2)求異面直線BA和C4所成角的余弦值;

題型三：空間角的向量求法

(2)若平面MNA與底面ABCD所成銳二面角的大小為45°,求PC的長.

【專題突破】

p

D

四、解答題(共。分)

(2)求異面直線MC與BN所成角的余弦值.

(1)若加為C尸的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn),求證：MN〃平面CQE；

(1)證明:DMA.PC.

(2)若二面角P—OM—C的大小為60。，求與平面ABC。所成角的正弦值.

(2)當(dāng)點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)用到直線2。的距離.

(1)求證：8?！ㄆ矫鍭EG：

(3)在線段石G上是否存在一點(diǎn)”，使得與平面SCO所成角的大小為9?若存在，求出G"的長；若不存在，說

6

明理由.

參考答案:

1.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)

如圖，設(shè)點(diǎn)G為棱EO的中點(diǎn)，連接AG,PG,

⑵

VD,7,8三點(diǎn)共線,

2.(1)PQ與的位置關(guān)系是平行

【解析】

【分析】

(1)

所以P。與BD的位置關(guān)系是平行.

(2)

3.(1)證明見解析

⑵咚

【解析】

【分析】

(1)

(2)

4.(1)6;

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)幾何關(guān)系，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出B和N的坐標(biāo)即可求BN長度;

(2)利用向量數(shù)量積即可求；

(D

(2)

(3)

5.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)

(2)

6.(1)證明見解析

⑵咚

【解析】

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理即可證明;

(I)

所以。為的中點(diǎn).

⑵立

6

【解析】

【分析】

(1)

(2)

如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD,CA,CP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

所以直線PE與平面小4所成角的正弦值為由.

6

8.A

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：A

9.D

【解析】

【分析】

解法一：可以通過幾何法找到異面直線所成角的平面角，結(jié)合余弦定理可以求出;

解法二：通過空間向量法，用坐標(biāo)運(yùn)算可以求出.

【詳解】

解法一：設(shè)E為8C的中點(diǎn)，連接反，如圖，

M

是BC的中點(diǎn)，

???異面直線BE與A/所成角的余弦值為9,

O

解法二：以人為坐標(biāo)原點(diǎn)，八C,所在直線分別為），，Z軸建立空訶直角坐標(biāo)系如圖所示,

???異面直線與所成角的余弦值為"

O

故選：D

10.B

【解析】

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以西，聞，方方向?yàn)閤軸，），軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線

PN和4M的方向向量代入公式即可得出答案.

【詳解】

以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以P/t，P月，所方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

故選：B.

11.A

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何體特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式即可得出異面直線所成角.

【詳解】

故選：A.

12.C

【解析】

【分析】

【詳解】

13.C

【解析】

【分析】

【詳解】

當(dāng)P，。分別為線段8。，C4的中點(diǎn)時(shí)，

設(shè)PQ與4。所成的角為巴

所以〃。與AO所成角的余弦值為邁，故D正確;

4

故選：C.

14.AD

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：AD

15.BCD

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：BCD.

16.AC

【解析】

【分析】

對于A選項(xiàng)，可由面面垂直的判定定理直接證明，對于B,C,D選項(xiàng)可建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)

運(yùn)算即可判斷正確與否

【詳解】

故選：AC

17.AD

【解析】

【分析】

【詳解】

故選：AD

18.ACD

【解析】

【分析】

【詳解】

所以必與。。所成的角是60。，故選項(xiàng)A正確.

19.BCD

【解析】

【分析】

【詳解】

所以直線期與AG所成角的余弦值是李，B*j,

故選：BCD.

【解析】

【分析】

【詳解】

【解析】

【分析】

【詳解】

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)直線AC和42所成角為°,

23.①?

【解析】

【分析】

①根據(jù)■平面4/30,平面48?！?。8/。人判斷AMJ_平面C8/D”

②建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出平面8D4/的法向量”，求得力與8瓦的夾角，判斷直線AM與

43/所成的角不是45°；

-UUU

③求出AG，判斷它與平面C8/。的法向量”共線，得出AM的延長線過點(diǎn)C”

④求出AG與平面48/。。所成的角，即為直線AM與平面A/3/Ce所成的角.

【詳解】

對于①，正方體ABC￡>?A4/。。/中，4m_平面4/。，

???平面4BO〃CB/。/,???AM_L平面C8/。/,①正確；

對于②，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)棱長為1,

則A(0,0,1),8(1,0,I),C(l,1,1),0(0,1,1),A/(0,0,0),

iiuu

???麗=(-i，1，o),45=(1,o,i),

設(shè)平面BOA/的法向量為萬二a，)，，z),

又64；=(0,0,—1),

，開與畫的夾角不是45。且不是135°,

又“與而共線，，直線AM與88/所成的角不是45。，②錯(cuò)誤：

UUU

對于③，ACt=(1,1,一1),與平面C8/。/的法向量開共線，

min____

一?AG與瘋共線，即AM的延長線過點(diǎn)。，③正確；

與平面A/B/C/。/所成的角不是60。，

即更線AM與平面A/B/C/Q/所成的角不是60。，④錯(cuò)誤：

綜上，正確的命題序號是①③.

故答案為：①③.

【解析】

【分析】

【詳解】

又因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

Dz

25.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)證明平行四邊形得線線平行，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明.(2)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系根據(jù)向最的夾

角求線線角.

(1)

(2)

26.⑴證明見解析

(2)-1

嗚

【解析】

【分析】

(1)(2)(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得：

(1)

(2)

(3)

27.(1)證明見解析；

⑵半.

4

【解析】

【分析】

(2)由(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中線面夾角公式求解即可.

(1)

(2)

解：由(1)易知，DB,DC,。尸兩兩垂直，如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。&DC,。尸所在直線分別為x,)，，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

28.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)

因此以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以麗、成、麗的方向?yàn)閤軸，)，軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)

29.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)

證明：取/W的中點(diǎn)H,連接Q",HF.

Ex

30.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)連接AC,交DM于點(diǎn)、O,連接根據(jù)線段長度關(guān)系可得四邊形AMCO為菱形，從而得到。M_LAC,再根

據(jù)等腰三角形證明即可證明OM_L平面PCO,從而得到DMA.PC.

(2)以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再由(1)可得/?。。=60。，進(jìn)而得到方，再根據(jù)線面角的向量

求法求解即可

(1)

證明：連接AC,交OM于點(diǎn)O,連接PO.

因?yàn)锳B=4,AO=OC=8C=2,M為AB的中點(diǎn)