專題24.7切線長定理、三角形的內切圓【十大題型】

【人教版】

【題型1利用切線長定理求解】...................................................................1

【題型2利用切線長定理證明】..................................................................7

【題型3由三角形的內切圓求長度】.............................................................13

【題型4由三角形的內切圓求角度】.............................................................17

【題型5由三角形的內切圓求面積】.............................................................21

【題型6由三角形的內切圓求最值】.............................................................25

【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】........................................32

【題型8圓外切四邊形的計算】.................................................................36

【題型9一般三角形的周長、面枳與三角形內切圓的關系】........................................41

【題型10三角形內切網(wǎng)與外接恨的綜合運用】....................................................45

【知識點1切線長定理】

過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

【題型1利用切線長定理求解】

【例1】（2023春?浙江杭州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，點P是半徑為r的。。外一點，PA,PB分別切。。于

A,B點,若△PA8是邊長為Q的等邊三角形，則（）

A.a=2rB.a=V3rC.a=V2rD.a=-r

【答案】B

【分析】連結OP、OA,OB,根據(jù)切線的定理得P力1OA,PB1OB,再根據(jù)直角三角形的性質可知OP=20A,

最后利用勾股定理即可解答.

【詳解】解：連結0P、04、0B,則OA=r,

〈APA8是邊長為a的等邊三角形，

：.PA=a,^APB=60°,

??,P4PB分別切OO于B點、,

：.PA1OA,PB1OB,

：.LOAP=90°,。尸平分44尸8,

：.LOPA=乙OPB=-/.APB=30°,

2

：.￡OAP=90°,

：?OP=204

???在Rt△0Ap中，PA=y/OP2-OA2=y/{2OA)2-OA2=百OA,

Ac=V3r,

故選：B.

A

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，切線的性質定理，切線長定理，直角三角形中30。角所對的直角邊

等于斜邊的一半，勾股定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

【變式11】（2023春?江蘇南京?九年級統(tǒng)考期末）如圖，48為。。的直徑，PB,PC分別與。0相切『點B,

C,過點C作力8的垂線，垂足為E,交。。于點D.若CD=PB=2?則BE長為（）

【答案】C

【分析】作于H,由垂徑定理得到CE的長，從而求出P4的長，由勾股定理求出CH的長，即可求出BE

的長.

【詳解】解：作CH1P8于〃，

A

「HB

???直徑力81CD于H,

：,CE=DE=^CD=V3,

,:PC,PB分別切0。于C,B,

:,PB=PC=CD=2V3,直徑AB1PB,

???四邊形ECHB是矩形，

：.BH=CE=6,BE=CH,

:,PH=PB-BH=2有一通=痘,

：.CH=VPC2-PH2=J(2V3)2-(V3)2=3,

：,BE=CH=3.

故選：C.

【點睛】本題考杳切線的性質，切線長定理，勾股定理，關鍵是通過輔助線構造直角三角形，應用勾股定理

求出CH的長.

【變式12](2023春.天津河西?九年級統(tǒng)考期末)如圖，PA,PA是QO的切線，A,。為切點，4c是的

直徑.

(1)若48川。=25。，求NP的度數(shù);

(2)若4P=60。，PA=2,求。。的半徑.

【答案】(1)50。

【分析】（I）先利用切線的性質得到a4P=90。，則利用互余計算出的度數(shù)，再根據(jù)切線長定理得到

PA=PB,然后根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和計算乙P的度數(shù)：

（2）連接8C,根據(jù)切線的性質得到巴4=PB,乙C4P=90。，推出APAB是等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性

質即可得到結論.

【詳解】（1）???P/!是的切線，

：.OA1PA,即N&4P=90。.

：,LPAB=90°-Z.BAC=90°-25°=65°.

'/PA,P8是。。的切線，

：.PA=PB,

：./.PBA=Z.PAB=65°,

AzP=50°.

（2）連接CB,

'：PA=PB,且NP=60。，

???AH48是等邊三角形，

：.AB=PA=2,乙CAB=30°.

??YC為直徑，

：.LCBA=90°,

在Rt△48C中，

由勾股定理：AC2=BC2+AB2,可得4C二苧，

???。0的半徑為苧.

【點睛】本題考查了切線的性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，熟練掌握切線的性質是解題的

關鍵.

【變式13]（2023春?浙江?九年級期中）小明準備以“青山看FHh”為元素為永嘉縣某名宿設計標志示意圖，

如圖所示，他利用兩個等邊三角形和一個圓分別表示吉山和日山，已知點小E,C,下在同一條直線上，

且BE=EC=2CF,四邊形48EG和四邊形GCFD的面積之差為76，則CF的長是；連結力。，若O0是

△4Z)G的內切圓，則圓心。到8尸的距離是,

【答案】24V3-2

【分析】設CF=x,表示出相關線段的長，根據(jù)四邊形/1BEG和四邊形GCF。的面積之差，得到-S"EF=

7V3,求出x值即可；連結AQ,連接0G并延長交8產(chǎn)于點M,設圓。與AC的切點為H,連接0",連接4E,

作DN14E,垂足為N,證明A/DG為直角三角形，求出內切圓半徑，再根據(jù)切線長定理得到/"G。，從而

證明0M_LBF,求出GM,從而得到0M即可.

【詳解】解：:BE=EC=2CF,

???設CF=x,MFF=EC=2x,

.'?BC=2x+2x=4x,EF=2x-￥x=3x,

???△/18。與仆OEF為等邊三角形,

:?SNARC=弓8。2=手X(4x)2=4任2,SWF=REF?=fX(3%)2=

?^AABC~S^DEF—7y/3,

A4V3x2--V3%2=7V3,

4

???/=4,

?x=2,

：.CF=2.

連結人。，連接OG并延長交卜點M,設圓。與AC的切點為"，連接0",連接AE,作ONJ.4E,垂足

為N,

A

???等邊△ABC的邊長為4x2=8,E為8c中點，

：.AE=V3CF=473,Z.AEC=90°,

VzDEC=60°,

工乙DEN=30°,

,:DE=3x2=6,

:.DN=-DE=3,NE=@DN=3V3,

2

:,AN=4四-3顯=近,

：.AD={AN?+DN2=273,

-GC=8—4=4,DG=DE-EG=6—4=2,

：,AG2=16=DG2+AD2,

：.LADG=90°,△ADG為直角三角形,

???內切圓半徑?！?AD+D^-AG=超產(chǎn)=V3-1,

.:乙HGD=60°,

工/HG。=）HGD=30。，

：,OG=2OH=2（6一1）=2百一2,

'：LHGO=30°,Z-AGE=180°-60°=120°,

：.LEGM=180°-30°-120°=30°,

：.LGME=180°-60°-30°=90°,

：.OM1BF,

-：CM=—GE=—x4=2V3,

22

J0M=OG+GM=2V5-2+2百=46一2,

???圓心。至ij"〃的距離為4內-2,

故答案為：2,4V3-2.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質，勾股定理，切線長定理，切線的性質，

【題型2利用切線長定理證明】

【例2】（2023春?天津河東?九年級天津市第四十五中學校考期末）如圖，Rt△力8c中，”=90。，以BC為直

徑的。。交力B于￡0。18c交。。于D,DE交BC于F，點P為C8延長線上的一點，PE延長交于G,PE=

PF,下列4個結論：①GE=GC；②力G=GE；③OGIIBE；④乙4=".其中正確的結論是（填寫所

有正確結論的序號）

［答案］?（2X3）

【分析】①首先連接。E,CE,由OE=OD,PE=PF,易得乙OED+乙PEF=^ODE+乙PFE,又由。。18C,

可得。ElPE,繼而證得PE為0。的切線；

②又由是直徑，可得CE1AB,由切線長定理可得GC=GE,根據(jù)等角的余角相等，可得乙1=

根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；

③易證得OG是A/BC的中位線，則可得OG||BE.

④由于在RtAABC中，LA+Z.ABC=90°,在RtAPOE中，Z.P+LPOE=90°,而乙POE不一定等于448C,

則可得乙力不一定等于4P.

【詳解】解：如圖，連接OE,CE,

0E=OD,PE=PF,

Z.OED=Z.ODE,Z-PEF=Z.PFE,

vOD1BC,

:.乙ODE+Z.OFD=90°,

vZ.OFD=乙PFE,

???/OED+""=90。，

即OE1PE,

???點EG）。上，

GE為。。的切線；

丁點C在。。上，OCJ.GC,

二GC為。。的切線，

AGC=GE

故①正確：

VOC是直徑，

:'乙BEC=90°,

:.Z.AEC=90。，

vZ.ACB=90°,

.?"C是。。的切線，

:.EG=CG,

:.Z.GCE=Z.GEC,

vZ.GCE+乙力=90°,Z-GEC+^AEG=90°,

???NA=/.AEG,

???AG=EG；故②正確；

vOC=OB,AG=CG

???OG是A48C的中位線，

AOG||AB；故③正確；

在RtAABC中，Z.A+/.ABC=90°.

在RtAPOE中，Z-P+/.POE=90°.

vOE=OB,

???LOBE=乙OEB，

但/POE不一定等于2ABC,

???/4不一定等于NP.故④錯誤.

故答案為：①②③.

【點睛】此題考查了切線的判定與性質、切線長定理、圓周角定理、三角形中位線的性質以及等腰三角形的

性質.此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用.

【變式21】（2023春?全國?九年級統(tǒng)考期末）如圖，。。是梯形ABCD的內切圓，AB〃DC,E、M、F、N

（2）求NAOD的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）90。.

【分析】（1）根據(jù)切線長定理可證得AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,進而證明AB+DC=AD+BC；

（2）連OE、ON、OM、OF,通過證明△OAEg/XOAN,得至lJ/OAE=/OAN.同理：ZODN=ZODE,再

利用平行線的性質：同旁內角互補即可求出NAOD的度數(shù).

【詳解】（1）證明：:④。切梯形ABCD于E、M、F、N.由切線長定理：AE=AN.BE=BM,DF=DN,

CF=CM,

，AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM,

???AB+DOAD+BC

VOE=ON,AE=AN,OA=OA,

.??△OAEg△OAN,

AZOAE=ZOAN.

同理，ZODN=ZODF.

，ZOAN+ZODN=ZOAE+ZODE.

又：AB〃DC,ZEAN+ZCDN=180°,

:.ZOAN+ZODN=1x180°=90°,

.?.ZAOD=180°-90°=90°.

【點睛】本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質以及平行線的性質：同旁內角互補，

解題的關鍵是構造全等三角形.

【變式221（2023春?江蘇南通?九年級校聯(lián)考期中）如圖，相、CB、C。分別與。。切于E,F,G,且A/3〃CQ.連

（1）當O8=6w,0C=8cm時,求。。的半徑；

（2）求證：MN=NG.

【答案】（1）。。的半徑為4.8；（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)切線的性質得到OB平分NEBF,OC平分NGCF,OF_LBC,再根據(jù)平行線的性質得

ZGCF+ZEBF=180°,則有NOBC+NOCB=90。，即NB0090。；連接OF,則OF_LBC,根據(jù)勾股定理就可.

以求出BC的長，然后根據(jù)仆BOC的面積就可以求出。O的半徑；

（2）根據(jù)切線的判定和性質定理中可得到結論.

【詳解】（1）TAB、BC、CD分別與。O切于E、F、G,

???0B平分NEBF,OC平分NGCF,0F1BC,

又二?AB〃CD,

，NGCF+/EBF=I8O0,

AZOBC+ZOCB=90°,

/.ZBOC=90°；,

連接OF,則OF_LBC,

由(1)知，ABOC是直角三角形，

ABC=VOS2+OC2=10,

VSABOC《?OB?OC《?BC?OF,

/.6x8=10xOF,

AOF=4.8,

A00的半徑為4.8；

(2)證明：:AB、BC、CD分別與00切于點E、F、G,

AZOBC^ZABC,ZDCB=2ZDCM,

VAB/7CD,

/.ZABC+ZDCB=180°,

AZOBC+ZOCB=2-(Z2ABC+ZDCB)=-x180°=90°,

.?.ZBOC=18()°(ZOBC+ZOCB;=180°90°=90°,

VMN/7OB,

/.ZNMC=ZBOC=90°,

即MN1MC且MO是。O的半徑，

???MN是。O的切線，

AMN=NG.

【點睛】此題考查切線的判定與性質定理，勾股定理，解題關鍵在于掌握過半徑的外端點與半徑垂直的直線

為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點的連

線平分兩切線的夾角.

【變式23](2023春?廣東云浮?九年級統(tǒng)考期末)如圖1所示，O。為△CDE的外接圓，CD為直徑,AD.BC分

別與O。相切于點。、C(鳳?>40).￡在線段48上，連接DE并延長與直線8C相交于點P,8為PC中點.

(1)證明：28是。。的切線.

(2)如圖2,連接。40B,求證：(M10B.

【答案】（I）見解析

⑵見解析

【分析】（1）連接。E,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質以及等邊對等角得出NOEC=，OCE,進而根據(jù)

BC為切線，LOCB=90°,Z.OEC4-/-BEC=WCE+Z.BCE=90°,得出乙0E8=90°,即可得證；

（2）根據(jù)力D、AB.8c分別與。0相切于點。、E、C,根據(jù)切線長定理得出4D1CD,BC1CD,則力DIIBC,

Z.OAE=\z-DAE,Z.OBE=\CBE,/.DAE+^CBE=180°,即可得出N40B=90。，進而即可得證.

【詳解】（I）證明：連接。￡

圖I

〈CD為。。直徑，

：.LCEP=90°.

在RT/kCEP中，B為PC中點,

：.EB=BC=-CP,

2

:?乙BCE=乙BEC,

?：OE=OC,

：.LOEC=乙OCE,

又???8C為切線,

：.LOCB=90。，

：.LOEC+乙BEC=乙OCE+乙BCE=90°

工乙OEB=90°.

即OE1A8,

???48是OO的切線.

（2）證明：???4。、AB.8c分別與。0相切于點。、E、C,

R

圖2

BC1C>WAE=^DAE.WBE=^CBE,

：,AD\\BC,

，4ME+4W=180。，

：.LOAE+乙OBE=-x^DAE+zCBE)=-x180°=90°,

22

：.z.AOB=90°,

AOA1OB；

【點睛】本題考查了切線的性質與切線長定理，掌握切線的判定方法以及切線長定理是解題的關鍵.

【知識點2三角形的內切圓】

內切圓的圓心是

與三角形各邊都三角形三個內角三角形的內心到

三角形內切圓相切的圓叫做三的角平分線的交三角形三邊的距

角形的內切圓點，叫做三角形的離相等

內心

【題型3由三角形的內切圓求解】

【例3】（2023春?天津西青?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力BC中，Z/1=60°,BC=12,若。。與a/BC的

三邊分別相切于點。，E,F,且AA8C的周長為32,則DF的長為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理可得：AD=AF,BD=BE,CE=CF,再證明△力0尸是等邊三角形即可作答,

【詳解】IO。內切于△內BC,

：.AD=AF,BD=BE,CE=CF,

'：LA=60°,

???△/IDF是等邊三角形，

.t.AD=AF=DF,

???AABC的周長為32,

：,AB+BC+AC=32,

：.AD+BD+BE+EC+CF+AF=32,

*：BC=12,

：.BE+EC=12,

：,BE+EC=DD+FC=12,

：.AD4-/IF=32-(BD+BE+EC+CF)=8,

'：AD=AF=DF,

：.AD=AF=DF=4,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了切線長定理以及等邊三角形的判定與性質，掌握切線長定理是解答本遮的關鍵.

【變式31】(2023春?山東淄博?九年級統(tǒng)考期末)如圖，△48。中，Z.C=90°,圓。是△力BC的內切圓，D,

E,尸是切點.若｛8=5,AC=3,則00=.

【分析】根據(jù)內切圓的性質先證明四邊形。ECO是矩形，可得。。二。乙再由切線長定理可得==

BD.CD=CE,設OD=G)=CE=r,可得4F=A￡=3-r,BF=BD=4—r,可得到關于r的方程，即

可求解.

【詳解】解：???圓。是△48C的內切圓,

：.0ELAC,OD1BC,

:?乙ODC=Z.OEC=Z.C=90°,

???四邊形。ECD是矩形，

：.OD=CE,

???圓。是△48C的內切圓，

：.AF=AE,BF=BD,CD=CE,

設OD=CD=CE=r,

\'AB=5,AC=3,

：.BC=\/AB2-AC2=4,AF=AE=3-r

；?BF=BD=4—r,

yAF+BF=5,

3—??+4—r=5?

解得：r=1,

即00=1.

故答案為：I

【點睛】本題主要考查了三角形的內切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內切圓的性質，切線

長定理是解題的關鍵.

【變式32］（2023春?天津河西?九年級?？计谀┤鐖D，。/是直角△48。的內切圓，切點為Q、E、立若力F=10,

【答案】30

【分析】根據(jù)切線長定理得出BD=BE,AF=AD,CE=CF,設CE=CT=x,根據(jù)勾股定理得出工的值,

再利用三角形的面積公式求得448。的面積即可.

【詳解】解：:。/是直角△力8C的內切圓，且力尸二10,BE=3,

:.BD=BE=3,AF=AD=10,CE=CF,

???48=10+3=13,

設CE=CF=x,則BC=3+x,AC=10Px,

在Rt/iABC中,AC2+BC2=AB2,即(10+%)2+(3+%)2=132,

解得％=2或%=-15V0(不符題意，舍去)，

CE=2,

BC=5,AC=12,

ABC的面積為3AC?BC=3x12x5=30,

故答案為：30.

【點睛】本題考查了切線長定理、勾股定理、一元二次方程的應用，熟記切線長定理是解題的關鍵.

【變式33](2023春?甘肅金昌?九年級?？计谀?如圖，在△48C中，Z71=90°,AB=AC=2,。。是的

內切圓，它與AB、BC、。4分別相切于點。、E、F.求。。的半徑.

【答案】2-a

【分析】首先連接。。、OF、0E,進而利用切線的性質得出乙。0/1=^OFA=41=90°,進而得出四邊形。DAF

是正方形，再利用勾股定理求出0。的半徑.

【詳解】解：連接。。、OE.OF,

???0。是4力8(7的內切圓，切點為。、E、F,

J.AODA=/.OFA=z.A=90°,

又,：0D=OF,

???四邊形。64尸是正方形，

設00=AD=AF=r,

則BE=BD=CF=CE=2-r,

在中，Z.A=90°,

：?BC=y/AB2+AC2=2VL

又?：BC=BE+CE,

.\(2-r)+(2-r)=2V2,

得：r=2-V2,

???0。的半徑是2-a.

【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質，切線長定理，正方形的性質和判定，解題的關鍵是掌握“圓的切

線垂直于經(jīng)過切點的半徑”，“從圓外一點引圓的兩條切線，它優(yōu)的切線長相等”.

【題型4由三角形的內心的有關應用】

【例4】（2023春?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）如圖,點。是△4BC的內心,也是△的外心.若乙4=84°,

則的度數(shù)（）

A.42°B.66°C.76°D,82°

【答案】B

【分析】利用三角形內心的性質得。8,。。分別是角平分線，進而求出乙50C的大小，再利用三角形外心的性

質得出乙3DC等于480C的一半，即可得出答案.

【詳解】解：連接OB,OC,如圖，

?.?點。是△48C的內心，乙力=84°,

Z.OBC=-2LABC,Z2.OCB=-Z-ACB,

Z.OBC+乙OCB=乙ABC+；Z.ACB

22

=-(^ABC+AACB)

=：（180。一4A）=48°,

:.NBOC=180°-QOBC+NOCB）=132°,

???點。是△D8C的外心，

zD="0C=66°,

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形的內心和三角形外心的性質，牢記以上知識點得出各角之間的關系是做出本

題的關鍵.

【變式41】（2023春,江蘇蘇州?九年級蘇州市振華中學校?？计谥校┤鐖D，點/為△A8C的內切圓的圓心，連

接"并延長交△ABC的外接圓于點。，連接BD.已知力。=5,8。=3,則4/的長為（）

D.-

【答案】C

【分析】由三角形內切圓的圓心為三條角平分線的交點，可知ZJ,48="AC,〃BA=4BC,利用三角形外

角的性質可得4引。=司AB+BA,利用同弧所對的圓周角相等可得mAC=乙DBC,進而可證"BD=

乙BID,推出/D=BD=3,則力/=AD-ID=5-3=2.

【詳解】解：?.?點/為的內切圓的圓心，

二L4平分484C,平分乙4BC,

ALlAB=ZMC,Z.1BA=乙IBC,

vL1BD=Z.1BC+Z.DBC,乙BID=3AB+乙IBA,Z.DAC=Z.DBC,

???LIBD=乙BID,

???ID=BD=3,

AI=AD-ID=5-3=2,

故選c.

【點睛】本題考杳三角形的內切圓、三角形外角的性質、圓周角定理、等腰三角形的性質等，難度i般，解

題的關鍵是通過導角證明乙=48/D.

【變式42】(2023春?河北衡水?九年級校考期中)如圖，在△48C中，48力C=50。，點/是△ABC的內心，

（1）Z-BIC=°；

（2）若8/的延長線與△48C的外角44co的平分線交于點E,當〃C8=。時，CEWAB.

【答案】11580

【分析】（1）根據(jù)三角形內角和求BNABC+Z4C8=180°-z/l=130°,根據(jù)8/、C7分別平分乙48C、NACB,

得出NCB/^BCI=^ACB,根據(jù)乙82=180。一（4。8/+/8。）求出結果即可；

（2）根據(jù)角平分線的性質求出NE=\z-A=25。，根據(jù)當N48E=ZF=25。時，CEWAB,得出此時N4BC=

2Z.ABE=50°,求出44CB=180>-UBC-Z,A=80°.

【詳解】解：（1）丁在中，/.BAC=50°.

：,LABC+LACB=180°-NA=130°,

???點/是△ABC的內心，

，BI、C/分別平分〃8C、Z-ACB,

:.LCBl=-/.ABC,Z-BCI=-Z-ACB,

22

：,LB1C=180°-（乙CBI+乙BCI）

=180。-；348。+4何8）

1

=180°--X130°

2

=115°；

故答案為：115；

(2)???4力CD是△A8C的外角，

/.LACD=/.ABC+4力，

???(7￡平分乙4C。，

:.Z.DCE=-2LACD=-2LABC+-2LA,

?:乙DCE=^E+乙CBE,

:.zF+Z-CBE=-2Z-ABC+-2/-A,

'：LCBE=-2Z-ABC,

?3E=*乙4=25°,

2

???當乙4BE==25。時,CE\\AB,

J此時匕ABC=2Z-ABE=50°,

：,z.ACB=180°-4ABC-NA=B0°.

故答案為：80.

【點睛】本題主要考查了內心的定義，角平分線的定義，三角形內角和定理，平行線的判定，解題的關鍵是

熟練掌握三角形的內心為三角形三個內角平分線的交點.

【變式43】(2023春?九年級課時練習)如圖，在平面直角坐標系中，點力(0,6),點8(8,0),/是△OAB的內

心，則

(1)AB=；

(2)點/關于x軸對稱的點的坐標是.

【答案】10(2,2)

【分析】(1)利用勾股定理解答即可；

(2)根據(jù)/是△。HB的內心，利用OM=ON,BM=BE,AE=AN,得出A￡+3E=6x+8x=10,求解即可

【詳解】解：⑴???點A(0,6),點3(8,0),

.*.OA=6,08=8,

在」衣△OAB中，

AB=>j0A24-OB2=V62+82=10；

(2)連接O/,BI,AI,過"乍仇/_1_。8,INLOA,IEVAB,

???/是△。48的內心，

：.OM=ON,BM=BE,AE=AN,

設OM=ON=x,則BM=BE=8x,AN=AE=6x,

/.ZE+BE=6X+8A-=10,

解得：x=OM=ON=2,

???/的坐標為（2,2）,

(2,2).

【點睛】本題考查了勾股定理及三角形的內心，解題的關鍵是靈活運用性質解決實際問題.

【題型5坐標系中的三角形內切圓】

【例5】（2023.山東日照.日照市田家炳實驗中學?？家荒＃┤鐖D，把RQQAB置于平面直角坐標系中，點A

的坐標為（0,4）,點8的坐標為（3,0）,點〃是R3048內切圓的圓心.將RtZkOA8沿y軸的正方向

作無滑動滾動.使它的三邊依次與4軸重合.第一次滾動后，圓心為P，第二次滾動后圓心為P2…依次規(guī)

)

D.(8077,1)

【答案】D

【分析】由勾股定理得出AB=5,得出RSOAB內切圓的半徑=1,因此P的坐標為(I,1),由題意得出

P3的坐標(3+5+4+1,1),得出規(guī)律為每滾動3次一個循環(huán),由2019+3=673,即可得出答案.

【詳解】丁點A的坐標為(0,4),點B的坐標為(3,0),

：.OA=4,OB=3,

=5,

???區(qū)△048內切圓的平徑=：(3+4-5)=1,

???戶的坐標為(1,1),

???將RSOA/3沿工軸的正方向作無滑動滾動，使它的三邊依次與大軸重合，第一次滾動后圓心為匕，第二

次滾動后圓心為P2....

???戶3(3+5+4+1,1),即(13,1),

每滾動3次一個循環(huán)，

72019^3=673,

)第2019次滾動后,RS0A3內切圓的圓心P20/9的橫坐標是673x(3+5+4)+1,

即巴。/9的橫坐標是8077,

???P初9的坐標是(8077,I)；

故選。.

【點睛】此題考查三角形的內切圓與內心、勾股定理、坐標與圖形性質，根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關鍵.

【變式51】(2023春?湖北鄂州?九年級校聯(lián)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，△48。是直角三角形，乙4cB=

90%^ABC=30°,直角邊3。在；1軸上，其內切圓的圓心坐標為/(0,1),拋物線y=。/+2。％+1的頂點為

【分析】先求出內切圓半徑為1，再設力￡=%,OB=y,則力C=%+1,BC=y+l,由直角三角形性質，

得=2/46,即AB=2(x+1),根據(jù)切線長定理得，AB=AD」BD=AEtOB,貝I」2a+1)=x4y,化

簡得y=x+2①，由勾股定理，得(x+I)2+(y+I)2=[2(%+I)]2,化簡得3/+6x-V-2y+2=0@,

把①代入②解得：x=V3,則=x+l=V3+1,從而求得4(一1,6+1),再由拋物線y=ax2+2ax+l

的頂點為力，而拋物線、=。/+20%+1的頂點為(一1,1一。)，則75+1=1-。，即可求解.

【詳解】解：???△48C是直角三角形，^ACB=90°,其內切圓的圓心坐標為/(0,1),

：,CE=OC=01=1,OB=BD,AE=AD,

=AD+BD=AE+OB,

設=x,OB=y,

.\AC=x+1,BC=y+1,

,：LABC=30°,

：.AB=2AC,即48=2(X+l),

2(x+1)=x+y,化簡得y=x+2①，

由勾股定理，得(x十I)2十(y+I)2=[2(x+I)]2,

化簡得3/+6x-V_2y+2=0②，

把①代入②解得：x=V3(負值不符合題意，已舍去)，

.*.AC=x+l=V3+1,

1,V3+1)?

*/>,=ax2+2ax4-1=a(x4-l)24-1—a,

???拋物線y=ax2+2ax+1的頂點為(-1,1-a),

:拋物線y=ax2+2ax+1的頂點為A,

=1-a,

/.a=-V5,

故答案為：-近.

【點睛】本題考查直角三角形內切圓，切線長性質，勾股定理，直角三角形性質，二次函數(shù)圖象性質，求出

點A坐標是解題的關鍵.

【變式52](2023春?全國?九年級統(tǒng)考期末)如圖，AABC中，A、B,C三點的坐標分別為A(0,8),B

(-6,0),C(15,0).若△ABC內心為D,求點D的坐標.

【答案】點D的坐標為（1,3.5）.

【分析】可作輔助線，運用圓的切線長定理求出CM的長度，進而求出0M的長度，此即點D的橫坐標;運用三

角形的面積公式求出DM的長度，此即點D的縱坐標.

【詳解】如圖，

連接DA、DB、DC、DM、DN、DP；

???0口為4ABC的內切圓，

AAN=AP(設為入)，BM=BN(設為卜i),CM=CP(設為y)；

DM1BC,DN±AB,DP±AC：

,:A、B、C三點的坐標分別為A(0,8),B(-6,0),C(15,0),

,由勾股定理得:AB=10,AC=17,BC=21；

a+〃=io

AA+y=17,解得Y=I4,即CM=14,

口+y=21

.\OM=OC-CM=15-14=1；

設。D的半徑為（p,

「△ABC的面積=△ADB、△ADC>△BDC的面積之和,

???由面積公式得：|BC-AO=1（AB+AC+BC）?（p,

解得<p］，即DM=g；

綜上所述點D的坐標為（1，夕.

【點睛】該題上要考查了三角形的內切圓的性質及其應用問題;解題的關鍵是作輔助線;靈活運兒圓的切線長

定理、內切圓的性質等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.

【變式53](2023春?江蘇?九年級專題練習)如圖，矩形OA3C,B(4,3),點M為AABC的內心,

將矩形繞點C順時針旋轉90。，則點M的對應點坐標為()

A.(2,6)B.(6,I)C.(I,1)D.(I,6)

【答案】D

【分析】過點M作3cM凡LAC,垂足分別為0、E、F,利用內心定義得到凡

證明四邊形BQME是正方形，設則AD=AF=3x,CF=CE=4x,利用切線長定理求出x=l,

得到M(3,2),設將矩形繞點。順時針旋轉90。后，點M的對應點為點M二如圖，過點“作MW_Ly釉

于M證得△MCEg/XM'CN(AAS),得到CN=CE=3,M'N=ME=\,從而得到點M'的坐標.

【詳解】解：如圖，在矩形0ABe中，B(4,3),

；?AB=3,BC=4,ZB=90°,

：.AC=5,

過點用作MQ_LAB,MELBC,MF.LAC,垂足分別為Q、E、尸，

工ZMDE=ZMEB=Z=90°,

???四邊形SOME是矩形，

???點M為的內心，

：,MD=ME=MF,

工四邊形BDME是正方形，

設BO=x,WOBE=BD=x,AD=AF=3x,CF=CE=4x,

：?3.r+4.r=5,

解得x=l,

:?M(3,2),

設將矩形繞點C順時針旋轉90。后，點M的對應點為點AT,如圖，

過點“作MW_Ly軸于N,

???NMCE+NECM'=NECM'+/M'CN=90°,

:?NMCE=NM'CN,

又7NMEC:NMWG90度，MOM'C,

??.△MCE四△M'CN(AAS),

:?CN二CE=3,M'N=ME=1,

???點的坐標為(1,6),

故選：D.

【點睛】此題考查了矩形的性質，三角形內心定義，切線長定理，旋轉的性質，全等三角形的判定及性質，

熟記三角形內心定理及切線長定理從而求出點M的坐標是解題的關鍵.

【題型6由三角形的內切圓求最值】

【例6】(2023春?揚州月考)如圖是一塊△A8c余料，已知4B=20o〃，BC=7cm,AC=\5an,現(xiàn)將余料

裁剪成?個圓形材料，則該成的最大面積是4附〃尸.

【分析】當該圓為三角形內切圓時面積最大，設內切圓半徑為r,QU該三角形面積可表示為：|r(AB4-AC+BC)

=2lr,利用三角形的面積公式可表示為｝BC?AD,利用勾股定理可得AD,易得三角形ABC的面積，可得

r,求得圓的面積.

【解答】解：如圖1所示，

SAABC=》?(AB+BC+AC)=?42=2k

過點A作AD_LBC交BC的延長線于點D,如圖2,

設CD=x,

由勾股定理得：在RSABD中，

AD2=AB2-BD2=400-(7+x)2,

在RSACD中，AD2=AC2-x2=225-x2,

.*.4()0-(7+x)2=225-x2,

解得：x=9,

AAD=12,

ASAABC=-BCXAD=-x7x12=42,

22

???21r=42,

，r=2,

該圓的最大面積為:S=71T2=JI-22=4TC(cm2),

故答案為：47tcm2.

【變式61](2023春?浙江?九年級專題練習)如圖，在矩形中，AB=8,BC=6,點X、尸分別是A。、

8C的中點，點戶在線段所上，△P4B內切圓半徑的最大值是()

A.1B.-C.-D.-

543

【答案】D

【分析】由三角形4P8的面積為12,可知APbBP最小時，，?有最大值，連接CA與EF交于點產(chǎn),求出AC=\O,

由三角形面積公式可得出答案.

【詳解】解：???點七、”分別是AD、BC的中點，四邊形4BCD是矩形，

：.Eb//AH,

二戶在石F上，AB=8,BC=6,

?F密吟＜8x3=12,

設A內切圓半徑是r,

△必歸(AP+PB+AB)-r=12,

???AP+3F最小時，「有最大值，

如圖，尸是BC的中點，所以點8關于七戶的對稱點是C點，連接CA與E廠交于點產(chǎn)，

t：AP+BP=AP+CP>CA,

，此時CA即為AP+3P最小值,

VXB=8,AD=6,

工心，62+82=10,

??/P+3P最小值為10,

：,PA=PB=5,

:.1X5X/'+\5X/-+|X8X7-12,

解得L%

故選:D.

【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，軸對稱求最短距離；能夠將AP+3P最小值

轉化為CA的長是解題的關鍵.

【變式62］（2023春?江蘇南京?九年級南師附中樹人學校?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD,AD=6,Aff=8,

點P為4c邊上的中點，點。是△力的內切圓圓O上的一個動點，點M是CQ的中點，則的最大值

【答案】V13+1

【分析】由矩形的性質得出乙0=90。，CD=AB=8,由勾股定理得出4c=，4。2+1。2=10,設△，。的內切圓。

的半徑為r,則;xl0r+；x8r+；x6r=；X8X6,解得r=2,連接8Q.易證PM是AB”的中位線，得出PM=：BQ,

當BQ經(jīng)過圓心。時，BQ最長，則此時PM最長，作。E1AD于E,OF工AB于F,則BF=4B-4F=6,

OF=AE=AD-DE=4,由勾股定理得出則BQ=8O+OQ=2g+2,即可得出結果.

【詳解】解：?.?四邊形力8。0是矩形，

.-.ZD=9O°,CD=AB=8,

MC=V/1D2+CD2=V624-82=1O,

設A40的內切圓。的半徑為廣，

則;xlOr+gx8r+1x6r=；x8x6,

解得:r=2,

連接BQ,

???P是8C邊上的中點，點M是CQ的中點,

??.PW是ABCQ的中位線，

當BQ經(jīng)過圓心。時，8Q最長，則比時PM最長，

作0E1AD于E,。/148于F,

則8尸=48-4尸=8—2=6,0F=AE=AD-DE=6-2=4,

??.BO=V"2+OF2=后甲=2g,

.??8Q=80+0Q=2m+2,

.?/"=池=舊+1；

故答案為：V13+1.

【點睛】本題考杳了三角形內切圓與內心、勾股定理、矩形的性質、三角形中位線的判定與性質等知識；熟

練掌握矩形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵.

【變式63】（2023?陜西西安?西安市第六中學?？寄M預測）如圖，矩形48C0的頂點A,C分別在4軸、y軸

上，點B的坐標為（一8,6）,OM是△AOC的內切圓，點N,點P分別是OM,x軸上的動點，則BP+PN的最

【分析】延長BA至點8',使=則點8與點8'關于x軸對稱，則P8=PB',過點夕作8'D工y軸于點。，

連接8'M交不軸于點P,交OM于點N,則BP+PN=P8'+PN,當8',P,N,M在一條直線上時，PB+PN

取得最小值N'B,求出N'B的值即可.

【詳解】解：如圖,延長B4至點B',使B4'=BA,則點B與點夕關于不軸對稱,則PB=P?，過點8,作夕。1y

軸于點0,連接夕M交匯軸于點P,交OM于點N,則BP+PN=PB'+PN,當夕，P,N,M在一條直線上

時，P8+PN取得最小值N山.

???點3的坐標為（一&6）,

二點房的坐標為（一8,-6）,

=AB1=0C=6,BC=B'D=0A=8,

AC=y/OA2+OC2=10,

設0M與△ACO三邊的切點為E,F,G,連接ME,MF,MG,則MG1AC,ME1OA,MF1OC,

設ME=MF=MG=a,

,**^A/ICO=S△時4c+SAMA。+SAMS，

：

.-2OA?OC=2-AC-a+2-OA-a-{2--OCa,

.*.8x6=10a+8a4-6a,

:a=2.

:,MF=OE=2,

延KME交B'D于點H,

?：ME1OA,B'DWA,

：,HD=OE=2,HE=OD=6,

:.B'H=B'D-HD=6,MH=HE+ME=8,

：.BrM=71rH2+MH?=io,

：.B'N=B'M-MN=10-2=8,

???PB+PN的最小值為8.

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，矩形的性質，勾股定理，地對稱的性質，切線的性質，解題的關鍵是

作出輔助線，找出使PB+PN取最小值時點P的位置.

【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內切圓的關系】

【例7】(2023?全國?九年級專題練習)ABC兩直角邊的長分別為3cm和4cm,則其內心與外心的距離為

()

A.2B.|C.立D.匹

222

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，RS48C的內心是三角形角平分線的交點。，外心是斜邊的中點M,求出4M=

BM=根據(jù)面積法求出OE=OF=。。=1,進而得出OB=y/BE2+0E2=V22+I2=瓜在求出MF=

5-1-2=p根據(jù)勾股定理即可得出答案.

【詳解】解?：如圖所示：Rt△力8c的內心是三角形角平分線的交點O,外心是斜邊的中點M,

設BC=3,AC=4,

=>/BC2+AC2=5,

???內△48。的內心是三角形角平分線的交點O,外心是斜邊的中點

：.AM=BM=-,

2

根據(jù)三角形的面積可得：\ABxOF+^ACxOD+^CBxOE=^ACxBC,

+AC+BC)xOE=^ACxBC,即：(5+4+3)xOE=1x4x3,

：.0E=OF=OD=1,

?'.BE=85=3-1=2,

：,0B=>JBE2+OE2=V22+I2=遍，

：.MF=5---2=-

22f

:.OM=VFM2+OF2=JQ)2+12=y,

???內心與外心的距離為當

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的內心與外心，勾股定理，得出三角形的內心與外心的位置是解題的關鍵.

【變式71】（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，在RtZiABC中，4c=90。，4c=6,BC=8,則△ABC的

內切圓的半徑「是（）

A.2B.3C.4D.無法判斷

【答案】A

【分析】根據(jù)等積法求內切圓半徑，進行求解即可.

【詳解】解：VzC=90°,AC=6,BC=8,

,,AB=>/62+82=10?

如圖：設△力BC的內切圓與各邊的切點分別為點D,E,F,連接。。,。￡?！?，則：OD=OE=OF=r,OD1.

BC.OE±AC,OF_LAB,

：.-AC-BC=-AB-r+-AC-r+-BC-r,即：6x8=(6+8-10)r,