山東省荷澤市2025屆高三二模考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知系數(shù)z滿足iz=l-2i,則目=（）

A.6B.75C.3D.5

【答案】B

l-2i

【解析】iz=l-2i,得2=——=-2-i,

i

所以忖=石，

故選：B

2.已知集合力={小2—1WO},8={0』,2},則/D8=（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】C

【解析】由“二卜卜2一14（）}二卜卜1"41},又因?yàn)?={oj2}

所以/口8={0,1},

故選：C.

3.某班班會(huì)從甲、乙等6名學(xué)生中選3名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加,

那么不同的選法為（）

A.32B.20C.16D.10

【答案】C

【解析】利用對(duì)立事件思想：

從6名同學(xué)中任選3名同學(xué)共有C：=20種方法，

這3名同學(xué)中沒(méi)有甲乙同學(xué)的共有Cj=4種方法，

所以甲乙至少有一人參加的不同選法有20-4=16種方法，

故選：C.

4.已知。>1,b>\,且。6=4,則logzHog?人的最大值為（）

A.IB.1C.4D.16

4

【答案】B

【解析】小1。財(cái)4幅2噫6［=（箸茲卜,

當(dāng)且僅當(dāng)10g2〃=10g2/?=1,即。=b=2時(shí)取等號(hào),

故選：B

S

5.已知S”為等比數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和，若4=4%-40，則不富=（）

A.5B.3C.-3D.-5

【答案】A

【解析1由等比數(shù)列公式可得：。聞3=4〃聞2—4々q=＞夕2=4夕—4=9=2,

q（T）

所以$4=1.2=15=5,

ax+a2q+2a13

故選:A.

6.已知直線（2〃?+1）》+（陽(yáng)+1》_7m_4=0與圓（工_］）：+（、_2）2=25交于力、8兩點(diǎn)，

則|力目的最小值為（）

A.5B.10C.275D.4石

【答案】D

【解析］由（2〃7+l）x+（〃，+l）y_7/〃_4=0可得（2'+、—7）〃？+（工+'—4）=（）,

令產(chǎn)+尸7=（）\x=3

解得《，

1x+y-4=0卜=1

所以直線過(guò)定點(diǎn)p（3,1）,

乂圓（x—l『+（F—2『二25的圓心C（l,2）,半徑）?=5,

則|CP|=］（37）2+（］_21二舊,

當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)|4用最短，

此時(shí)|/卻二2yjr2-\CP[=2yl25-5=4舊.

故選：D

7.對(duì)于任意xwR,M'(x+l)=(x+l)/(x)+l,且"2)=3,則/(2025)=()

A.-1B.1C.2025D,4049

【答案】D

【解析】由MXx+l)=(x+l)/(x)+l,當(dāng)xeN4時(shí)，可得

〃x+l)J(x)1二/(x)J1

X+1XX(X4-1)XXX+1

/0)_/(2)11

‘'=1'十——

3223

〃4)/⑶」1

4334

賦值可得:絲L絲

5445

〃2025)=/(2024)?1_____1_

2025-20242024~2025

7(2025)/(2)1__匚

利用累加法可得:?

2025~222025

/(2025)=3?1__4049

代入/(2)=3可得:==>/(2025)=4049,

2025-22-2025-2025

故選：D.

8.已知函數(shù)=-灰：一。在R上單調(diào)遞增，則力一〃的最小值為

()

1

A.0B.1C.-D.e

e

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=(x-"l)e'-bx的定義域?yàn)镽,

127

對(duì)于B選項(xiàng):由二項(xiàng)分布的均值和方差公式

得,￡(%)=10P=2,P=0.2,3(X)=1OP(1-P)=1.6,故正確;

對(duì)于C選項(xiàng):數(shù)據(jù)縮放后方差是原方差的平方倍，故數(shù)據(jù)%,%,…,均的方差為8x(；y=2,

錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng):左拖尾分布.平均數(shù)受左側(cè)極端值影響會(huì)更小，故平均數(shù)小于中位數(shù),錯(cuò)誤，

故選:AB.

10.己知函數(shù)/(工)=瓜畝2工+852不，函數(shù)g(x)=sin2x-Jicos2x,則下列結(jié)論正確

的有()

A./(x)與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱軸

B./(X)與g(x)有相同的最小正周期

C,將/(x)的圖象向右平移;個(gè)單位，可得到g(x)的圖象

D./(x)與g(x)的圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】由/'(X)=Jisin2x+cos2%=2sin(2jc+E),可得/(x)的最小周期為T二兀，

/\

由g(x)=sin2x-JJcos2x=2sin2x——，可得/(x)的最小周期為7=兀，

k3J

故B正確；

再由2x+N=2+Enx=2+y,可知圖象的對(duì)稱軸為x=2+如,%wz,

626262

再由2x-2=2+Enx=2+y,可知/(x)圖象的對(duì)稱軸為x=2+如,％ez,

32122122

故A錯(cuò)誤；

將/(X)的圖象向右平移;個(gè)單位可得

兀兀

=2sin2x」+—=2sinlx--=g（"，故C正確;

<4,6\3）

sinf2x+-l=sinf2x--

由/(x)=g(x)可得,

l6；I3j

兀兀

由于2x+—W2x——+2ATT,左￡Z,

63

所以2x+巴+2x-工=兀+2hr=>x=—+—,keZ,

63242

其中只有一個(gè)解X=H￡（°，5），故D正確；

故選：BCD.

11.如圖，在〃x〃的方格表中，任意填入〃2個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)為億/=1,2,…〃），取每行

的最大數(shù)得到〃個(gè)數(shù)，其中最小的一個(gè)是X，再取每列的最小數(shù)，又得到〃個(gè)數(shù)，其中最大

的一個(gè)是V,下列結(jié)論中可能成立的有（）

L

《2%”

a2la22La2,.

???

?

冊(cè)2L%”

A.x>yB.x<yC.x=yD.x/r</

【答案】ACD

【解析】設(shè)x=%,因?yàn)閤是第，行的最大數(shù)，所以對(duì)于第/.行的任意〃=1,2,…

都有與之以，

設(shè)V=qg,因?yàn)閂是第9列的最小數(shù)，所以對(duì)于第9列的任意/=1,2,…，

都有4

因?yàn)閤=%是第i行的最大數(shù)，所以詢2%,

因?yàn)镹=4%是第0列的最小數(shù)，所以《qN%”,所以xNy,

構(gòu)造方格表

12

34

則x=y=2,

構(gòu)造方格表

13

24

則x=3,y=2,即x>y,

所以xNy,

當(dāng)><x<0時(shí)，取歹=一3,x=-2,〃=2,

則（-2『＜（-3『，即

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量彳二（1,-1）,^=（-3,1）,若妨+3與萬(wàn)一石垂直，則實(shí)數(shù)A的值為.

7

【答案】一

3

【解析】版+B=（03,-%+l）,a-b=（4-2）,

由題意（初+B）?伍一可=（4「2）?（后一3,_4+1）=0,

可得:4"12+2%-2=0,

得k=L

3

7

故答案為：一

3

13.一個(gè)正四棱臺(tái)型的木塊，上下底面的邊長(zhǎng)分別為2#和8月，高為以削成一個(gè)球，則

所得球的體積最大值為.

【解析】把正四棱臺(tái)還原成正四棱錐，過(guò)該正四棱錐底面一組對(duì)邊中點(diǎn)及頂點(diǎn)的平面

截該棱錐及棱臺(tái)分別得等接△P48和等腰梯形/8C。，過(guò)。作于￡,如圖,

則力8=8，5,CO=2后,CE等于正四棱臺(tái)的高9,3/題=標(biāo)=.—CD=&,

于是//8C=9（r，△"6是正三角形，其內(nèi)切圓半徑,?二1.立48=4<'CE，

322

因此正四棱臺(tái)還原成正四棱錐的內(nèi)切球半徑為4,該球是與正四棱臺(tái)側(cè)面及下底面都相切的

球，

即為正四棱臺(tái)型的木塊削成的最大球，所以所求最大體現(xiàn)為47"rx」4?二?仝56把TT

33

25671

故答案為:亍

14.已知M為雙曲線］一提=1（4>0力>。）右支上一點(diǎn)，”、鳥(niǎo)為左右焦點(diǎn)，直線,必"

交V軸于點(diǎn)N,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，^\NFi\=\MF2\=\OM\f則雙曲線的離心率為

【答案】J10

【解析】如圖，由于|5|二|。閉，可作軸，垂足為〃，可知〃為。居中點(diǎn),

由|?；硕。居|二c,可知卜"l，

M=M=￡

由ON〃MH，可知|MN「|O4「￡

2

令加印=|初用=〃7,則=BP,

根據(jù)雙曲線定義：|M周一阿勾二上—〃7=3=2anm=4a,

22

叫物;|=6%阿眉=4%

再由勾股定理可得：|"耳『_山〃『=|"乃『_|鳥(niǎo)，『，

即36a2--c2=l6a2--c2=>20a2=2c2=>e2=10,

44

即e=VTo?

故答案為：x/To.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

15.已知函數(shù)/(力=/(4-12)在(1,/(1))處的切線與直線)小工+2平行.

(1)求。的值：

(2)求/(X)的極值.

解：(1)由題意得：f\x)=2ax-x-2x\nx,

因?yàn)?(X)=x2(a-\nx)在(1,7(1))處的切線與直線y=x+2平行，

所以/'(1)=2〃-1=1,故a=l.

(2)由(1)/(x)=x2(l-lnx),定義域?yàn)?0,小?),

令/'(x)=x-2xlnx=0,得了=五，則x,/'(')，/(x)的變化情況如下表：

X金(五,十8)

f,M+0—

e

f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

2

e

故/(x)的極大值為5,無(wú)極小值.

16.記△43。的內(nèi)角4氏C的對(duì)邊分別為，已知ccos力一=人.

2

(1)求c；

(2)若251必+45抽8=。+2力，求44邊上高的最大值.

解：(1)因?yàn)閏cos/l-'。=力，由正弦定理得：sinCeos4一,sin4=sin4①，

22

因?yàn)榱?B+C=TT,所以sin(4+C)=sin(?u-8)=sin8.

故①式可變形為sinCcosZ—」sin力=sin(J+C),

即sinCcosJ--sinJ=sincosC+cosAsinC,

2

化簡(jiǎn)得：sinJ(cosC+—)=0,因?yàn)?￡(0,兀)，所以sin/>0,故cosC=-』.

22

2

因?yàn)椤！?0,兀)，故。=§冗.

(2)設(shè)△yiB。外接圓的半徑為火，

由正弦定理得：-^—=-^—=-^—=2R,則〃=2RsinN,h=2RsinB,c=2Rs\nC,

sinAsinBsinC

又2sin4+4sin8=a+26,故得R=l，

由(1)知故sinC=立，則c=JJ,

32

由余弦定理得：c?=/+H-2abcosC，即3=/+〃-R?N3a/?，

則當(dāng)且僅當(dāng)。=力=1時(shí)等號(hào)成立，

設(shè)44邊上高為人，由三角形的面積公式得：^c=-c/2=-^sinC,即〃

故力〃邊上高的最大值為;.

17.如圖，圓臺(tái)的下底面圓O的半徑為近，N4CQ為圓。的內(nèi)接正方形.為上底面

圓?上兩點(diǎn)，/為6C的中點(diǎn)，且平面平面/BCO,AFLDE.

(2)若。@=百，求KW與平面/OE所成角正弦值的最大值.

(1)證明：取48的中點(diǎn)G,連DG交AF于H.

在正方形N4C。中，由于尸為BC的中點(diǎn)，

可得△力。G=4BAF，則N4OG=ZBAF,

因?yàn)镹/0G+N4GO=m,所以N44R+N4GZ)二'，

22

7T

得到4〃G=一，即OG14E

2

因?yàn)?F_LZ)E,DEP\DG=D,DE,DGu平面DEG,

所以4/_1_平面OEG,叉石Gu平面DEG,故4P1EG.

由于平面ABE1平面ABCD,平面力BEc平面/4C。=AB,

BCLAB,故8C_L平面又EGu平面4BE,則8C_LEG.

因?yàn)榱κ琠LEG,4FClBC=E,4F,BCu平面4BCD,

所以EGJL平面/BCD,又因?yàn)?8u平面43CQ,

則EGJL,45,又點(diǎn)G是45的中點(diǎn),故EA=EB.

(2)解：由于圓。的半徑為也，則正方形力BCQ的邊長(zhǎng)為2,

又OQ=百，則EG二JL

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作力3,5c平行的直線分別為x軸，y軸，

所在的直線為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

ZA

則力。,一1,0),0(11,0),￡(0,-1,6),廠(一1,0,0)也(。也6),

易求上底面圓的半徑為1,故/+〃=1.

故而二(0,2,0),ZE=(-L0,V3),麗=卜+1力,右).

/、1AD2y=0

設(shè)平面力QE的法向量為方=(x/,z),由｛_，得《廠

nLAE[r+j3z=0

取x=VJ，z=l,故萬(wàn)=(VJ,0,l),

、\FM-n\73(67+2)

設(shè)EW與平面力。E所成角為a,則sina=1>?；=—i-----------?—1工。41，

怛刈司2j5+2a

f2_5

令Z=15+2a得〃=^-，ZG[V3,V7],

所以sina=3?-l)在[￡[百,J7]上單調(diào)遞增，

4t

場(chǎng).田1、3721

故sina<——(V7——(=)=-----.

4幣14

所以FM與平面力OE所成角正弦值的最大值為逑I.

14

18.拋物線C:_/=2px(p>0)的焦點(diǎn)為少，且過(guò)點(diǎn)力(1,2).

(1)求。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)8(-1,0)的一條直線與。交于P、。兩點(diǎn)(P在線段30之間)，且與線段/尸交

于點(diǎn)A/.

①證明：點(diǎn)M到PF和QF的距離相等；

②若△相加的面積等于VAQM的面積，求點(diǎn)p的坐標(biāo).

解:(1)因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)力(1,2),所以22=2〃，得：p=2,所以C的方程為：y2=4x.

(2)①設(shè)直線方程為x+1=〃9，口內(nèi),凹)，Q(x2,y2),

y2=4x)、

由《得:v2-4wv+4=0,則△=(4m)2-16>0,

x+\=my

yi+y2=4m,必7=4,

二乂（〃沙2-2）+%（〃?%一2）

_2myiy2-2（必+y?）_2mx4-2x4〃z_0

（xt-l）（x2-1）（X）-l）（x2-1）

易知點(diǎn)b（l,o）,所以力方垂直于x軸，

所以ZPFA=ZQFA，所以M點(diǎn)到PF和QF的距離相等.

②因?yàn)镾A“M=S.QM,所以SdPFQ=Sw0,

故直線以〃F。,所以NP.4F=NQE4,

由①知NPFA=AQFA=/PAF,所以P4=PF,

所以點(diǎn)P在線段力產(chǎn)的中垂線上，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1,代入拋物線方程可得點(diǎn).

19.某選數(shù)游戲規(guī)則：給定〃個(gè)不同數(shù)（參與者不知道具體數(shù)值但知道〃的大小），屏幕每

次隨機(jī)出現(xiàn)個(gè)數(shù)，參與者需通過(guò)按Y鍵選擇該數(shù)，或按N鍵跳過(guò)繼續(xù)查看下一個(gè)數(shù)，

旦按Y鍵選擇，該游戲結(jié)束；若前〃-1個(gè)數(shù)均被跳過(guò)，系統(tǒng)將自動(dòng)選定最后一個(gè)數(shù).最終

所選數(shù)若為這〃個(gè)數(shù)中最大的，則參與者獲勝，反之則失敗.小王參與該游戲時(shí)決定采取如

下策略：對(duì)于給定的，?，前〃?-1個(gè)數(shù)均按N鍵跳過(guò)（1W加工〃，〃?=1表示直接選取第一

次出現(xiàn)的數(shù)），從第6個(gè)數(shù)開(kāi)始，若當(dāng)前數(shù)比前面所有己出現(xiàn)的數(shù)都大則按Y鍵選擇，否則

按N鍵繼續(xù)觀察下一個(gè)數(shù)，如此重災(zāi)直至游戲結(jié)束，記小王獲勝概率為勺,.

（1）當(dāng)〃=3時(shí)，寫(xiě)出％2,￡的值:

（2）當(dāng)〃二2022時(shí)，求匕,，并證明當(dāng)匕最大時(shí)，加滿足

111,111

mm+12021m-1m2021

（3）已知當(dāng)〃2500時(shí)，14--4-i+.-+-?ln/?+C（C=0.5772…為歐拉常數(shù)）.在本

23n

次游戲中,如果〃=2022,尼最大時(shí),求加的估計(jì)值.（e?2.7）

解：（1）不妨設(shè)三個(gè)數(shù)是1,2,3,三個(gè)數(shù)的大小排列有6種情形：123,132,213,231,

312,321.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，取到最大的情形有：312,321,所以《=?!■；

3

當(dāng)〃?=2時(shí)，取到最大的情形有：132,