天津市部分區(qū)2024-2025學年高一下學期期中練習數(shù)學試卷

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一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，x,yeR,若(x-i)i=y-2i,則()

A.x=-2,y=-\B.A=2,y=-1

C.x=-2,y=lD.x=2,y=l

2.在中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若〃=3,〃=5,C=120°,貝ijc=()

A.MB.7C.19D.49

3.已知Z=(l,2),取二(2x,x-l),且￡〃0—21),則實數(shù)x=()

A.—D.-C.—■D.3

333

4.已知a，￡是兩個平面，〃?，〃是兩條直線，則下列說法正確的是()

A.若a〃入mua,nu。,則〃?〃〃B.若則機_L〃

C.若〃a,則“?〃〃D.若。14,機1〃，則加〃a

5.已知a，B不共線，OA=a+2bOB=2a+h?OC=(A4-2)a+3b(AeR)?若4,B,

C三點共線，則4=(?

A.-2B.-1C.1D.2

6.如圖，用斜二測畫法畫水平放置的四邊形48CZ),其直觀圖為等腰梯形力'4'CQ',若

C.四邊形的周長為1O+&+質(zhì)

D.四邊形4AC。的面積為10&

7.i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z=(l-ai)(2+2i)(awR)為純虛數(shù)，則復數(shù)三―。在復平面上對

試卷第1頁，共4頁

應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.在正方體力48cA中，已知E為4。的中點，則異面直線夕。與力E所成角的余

弦值為（）

A1口M「后Vio

A.—B.----C.——Dn.

51054

9.在V48c中，AB=\,AC=2,N4=60°.若，AE=AC-AAB（2eR）,且

~ADAE=^t則［京|=（）

A.GB.不C.V13D.V19

二、填空題

10.已知2=(1,1),b=(-42,2y[2),則￡與3的夾角的余弦值為.

11.i是虛數(shù)單位，復數(shù).

2-1

12.已知E=(l,2),向量a在向量坂上的投影向量為-(月，則a.B=.

13.已知一個圓柱的底面半徑為3,體積為72兀，若該圓柱的底面圓周都在球。的球面上，

則球。的表面積為.

14.如圖，在測量河對岸的塔高48時，可以選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點

C與D.現(xiàn)測得CO=60m,/BCD=75。,4。。=45。，且在點C測得塔頂力的仰角為60。,

貝IAB=m.

A

試卷第2頁，共4頁

_2______

15.在矩形力4。。中，力8=2,/。=3,CE=2EB^荏=5簫.若萬:=4五5+〃肥，其

中九〃為實數(shù)，則％+〃=;若G為線段上的動點，則能裁的最小值為.

三、解答題

16.在V/BC中，角aB,。所對的邊分別為a,b,c.己知〃=而，b=2,cosA=~.

(1)求sin4的值；

⑵求V48C的面積.

17.已知】與否的夾角為:，且|￡卜及，出|=3.

4

(1)求

⑵求I*；

(3)若(2—叫_L(/H)(/eR),求/的值.

18.在V44C中，角4B,。所對的邊分別為a,b,c.a2+b2-c2=>5ab.

(1)求。的大??；

⑵設〃?=(cos4,6),n=(73fl,sinA),且m_L〃,判斷V4BC的形狀.

19.如圖，在正四棱柱力8CQ-44GA中，AB=2,44=3,H,G,E分別為4D,AB,

〃。的中點.

A________C,

⑴求證：GE〃平面MA，G：

(2)求點8到平面GOE的距離.

20.如圖，在四棱錐產(chǎn)一48。0中，刃_1_平面44CO,AD=2,AB=BC=CD=\,BChAD.

試卷第3頁，共4頁

《天津市部分區(qū)2024-2025學年高一下學期期中練習數(shù)學試卷》參考答案

題號123456789

答案CBABADDBB

1.C

【分析】根據(jù)復數(shù)相等即可求解.

【詳解】由（x-i）i=y-2i,化簡得xi+i=y-2i

x=-2

所以,.

2=1

故選：C

2.B

【分析】由余弦定理列方程求解即可.

【詳解】由余弦定理得，cosC=/+〃/=9+-_L,解得。=7,

lab2倉內(nèi)52

故選：B.

3.A

【分析】先計算的坐標，再利用向量平行的坐標運算即可.

【詳解】由題意可得,6-2G=（2x,x-1）-（2,4）=（2x-2,x-5）,

因則2（2x-2）=x-5,得工=-1.

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關系的有關知識對選項進行分析，由此確定正確選項.

【詳解】對于A選項，若a〃B，muamu0,則〃?，〃可能平行或異面，所以A錯誤；

對于B選項，若用，。，則機垂直于a內(nèi)的任意直線，?;〃〃a,.?.〃?！〃，所以B正確：

對于C選項，若〃?〃&〃〃a,則〃?，〃可能平行或相交或異面，所以C錯誤；

對于D選項，若則〃?〃。或〃?ua,所以D錯誤.

故選：B

5.A

【分析】求出存=￡-九CB=-Aa-2b^根據(jù)共線得到方程，求出答案.

【詳解】lB=OB-OA=2d+b-[a+2b）=d-b,

答案第1頁，共10頁

CB=OB-bC=2a+b-(/,+2)a-3b=-Xa-2b,

因為4B,C三點共線，所以方=加而，即1-5二川-龍-明),

_[1=-Xin

因為不共線，故?。,

-1=-2m

解得加="%=-2.

2

故選：A

6.D

【分析】根據(jù)斜二測畫法求出原四邊形各邊的尺度，并確定四邊形力5CQ為直角梯形，進而

得到其周長和面積，即可得.

【詳解】由題設I。=6*"CD：=￡,八錯；

由斜二測畫法知，AB=AE=6,CD=C,D,=4,AD=2AD=2亞，

易知原四邊形48co為直角梯形，AD工AB,AB//CD,

所以BC={AD?+QB-CD)2=^^7^=2后,

四邊形的周長為10+26-2>/i,面積為gx2&x(4+6)=10底,B、C錯，D對.

故選：D

7.D

【分析】利用復數(shù)乘法法則得到z=2+24+(2-20)i,根據(jù)復數(shù)類型得到方程，求出〃=-1,

故z=4i,z-a=l-4i>得到對應的點的坐標，求出所在象限.

【詳解】z=(l-aiX2+2i)=2+2i-2m-2ai2=2+2a+(2-2a)i,

復數(shù)z為純虛數(shù)，則2+2〃=0,解得。=-1,故z=4i,

故復數(shù)彳一。=-4i—(—l)=l—4i.

故復數(shù)三-a在復平面上對應的點坐標為(1,-4)，位于第四象限.

故選：D

8.B

【分析】建立空間直角坐標系，設正方體力8c。-的棱為2,寫出點的坐標，利用

異面直線夾角余弦公式進行求解

答案第2頁，共10頁

【詳解】以。為坐標原點，。4。。,?！ㄋ谥本€分別為乂乂2軸，建立空間直角坐標系,

設正方體力44GA的棱長為2,則4(2,0,0),E(LO,2),0(040),8(2,2,0),

故在=(7,0,2),麗=(2,2,0),

|彳￡。同1(-1,0,2)-(2,2,0)1710

故異面直線皿與北所成角的余弦值為鬲溫p*；4m不小泉

9.B

【分析】根據(jù)已知得到VN8C為直角三角形，由題設線性關系得CE//N8,應用向量數(shù)量積

的運算律及已知求得|在［=3且與在反向共線，即可得.

【詳解】由48=1,AC=2,ZJ=60°,則+4C2-2/8YCCOS/=3,

所以〃。2+力1=力。2,即V48C為直角三角形，

~AE=~AC-XAB^AGR,可得萬一五5=反=人前，則CE//45,如下圖，

所以存」而?元+而.q+之沅?赤+3團元.赤二,，

4444

______91一

則1+0+力8?"+0+^+0="可得方?怎=一3,則|CE|=3且區(qū)與而反向共線,

所以|次|=,8C2+(CE_,48)2=布.

故選：B

答案第3頁，共10頁

10.叵

10

【分析】根據(jù)向量夾角余弦公式直接求解即可.

【詳解】設￡與書的夾角的大小為

.0ah（1』）?卜亞2折）-72+272回

?XCOs6/=-|=-R=-,----7=~=——.

F郴rF|Vl+lxx/2+82芯10

故答案為：巫

10

24.

11.--+-1

【分析】由復數(shù)的乘除法運算計算即可.

【詳解】0_=生出=_乙+3,

2-i555

24

故答案為：一1+『1.

12二

3

【分析】根據(jù)投影向量的計算公式得到方程，求出。——電=-5*

a-bra；1r

【詳解】Z在右上的投影向量為印.如故用一5，

故。^=」，所以。=《

12+2233

故答案為：

13.100乃

【分析】利用圓柱的體積公式，結合圓柱的外接球球心在圓柱的中心，即可得到外接球半徑,

從而可求外接球的表面積.

【詳解】

如圖M,N為圓柱上下底面圓圓心，已知圓柱M/V的底面半徑M4=3,由其體積為

答案第4頁，共10頁

V=RX￥，MN=72R,

可得MN-8,

該圓柱的外接球記為球0,則。為MN的中點,

根據(jù)勾股定理有：。4=律式=5,即外接球的半徑為火=5,

所以該外接球的表面積為S=4TIR2=4兀X52=100TT，

故答案為：100兀.

14.60收

【分析】由三角形內(nèi)角和及正弦定理得出8c=20而，在RtZ\"C中由tan/力。即可求解.

【詳解】因為N8C￡>=75。，Z5Z)C=45°,所以NO8C=60。,

CDBC60BC

在ABC力中，由正弦定理得,—力K一解得BC=20#，

sin{jDBCsinBDCsin60鞍sin45

ARARj-1—

在Rt^/18。中，tanD,4C/=顯=J3卜AB=6W2,

故答案為：60VL

4

15.2——0.8

5

【分析】根據(jù)向量對應線段的位置及數(shù)量關系用而，沅表示出套，即可得％+〃，令

uuiruuuriuur1LIUT3LOT1uur

AG=ctAF?0<<1>由題設知4G%G=(—aAB+—aBC)a—1)/1〃+—aBC],應用

數(shù)量積的運算律化簡求最小值即可.

【詳解】由簫=1荏=g(而+初)=?方+那)二海+河，

__________31

又<F=A<B+〃BC,所以4+〃=5+]=2；

令4G=a4F=Qa4B+QCtBC,()<?<1,又BG=BA+AG=寸-1)4B+3aBC,

uuiruuur3uur1uur1uur1uur

所以力GMG二(-aAB+二a〃C)利巳a—\)AB+-aBC]

2222

答案第5頁，共10頁

34uur,i3uuruiurQuuruuriuur，

=1a(|a-\)AB'^京一1)48MC+乎%B>BC+/~BC

93UUT21UUUT2945

=(—a2-—a)AB+—a2BC=(9a2-6a)+—a2=—a2-6a

42444

_45,,8-45/4己4

--(a--a卜T(a-77)一￡，

4154155

4L1UUULA14

當時，/GMG的最小值為-不

1JJ

4

故答案為：2；

5

16.(1

⑵邁

4

【分析】（1）由同角三角函數(shù)關系得到sin/i=坐,由正弦定理得到sin8=空史4

4

（2）由余弦定理得到方程，求出c=3,由三角形面積公式求出答案.

【詳解】（1）在V/l8c中，因為4e（0,兀）,

所以sin力=V1-cos2J=;

4

"帥b=2,由正弦定理得；公=治

岳

故sin8=X=，,_=

ax/104

(2)a=V10>b=2,cosJ=—,

4

由余弦定理得,??2-2…人BP10=4+?-2x2cxl,

解得c=3或-2（舍）,

“友2244

17.(1)3

⑵石

（3）3

【分析】（1）利用向量數(shù)量積公式進行計算；

（2）利用歸-可=炳1『和向量數(shù)量積運算法則計算出答案；

（3）根據(jù)垂直關系得到數(shù)量枳為0,從而得到方程，求出，的值.

答案第6頁，共10頁

【詳解】（1）因為向量￡與否的夾角為:，且卜卜后，欠=3,

則〃?否=Q否cos—=V2x3x^-=3：

42

（2）卜_5卜=%~+尸一it》=J2+9-6=6:

（3）因為（2"可_L（S+L）,所以（2"斗（加+））=0,

即2dd+/?-//?-6/-|6|=0,

所以4/+6-3/-9=0,解得/=3

18.（1）7

6

（2）等腰三角形

【分析】（1）由余弦定理結合已知即可求解；

2兀

（2）由平面向量數(shù)量積的運算及正弦定理得出夕=子，再由二角形內(nèi)角和即可求解.

a2+b2c2

【詳解】（1）由余弦定理：C0SC=~=—=—，

lab2ab2

又。為三角形內(nèi)角，所以C=￡.

6

（2）由_L〃知\/Jacos5+〃sin4=（）,

由正弦定理,得向sin4cos4+sin4sin4=0,

又sin彳工0,從而tanB=一百,

因為0<A（兀，所以8=與，

,27t7tItr.i4一北

力=兀一二一一二=7",貝|J/=C=：,

3666

所以VX8C為等腰三角形.

19.（1）證明見解析;

⑵號.

【分析】（1）連接先證四邊形GA便為平行四邊形得C￡〃〃H，再由線面平行的判

定定理證明結論：

（2）應用等體積法有腺《?=匕.8配，利用棱錐的體積公式列方程求點面距離.

【詳解】（1）連接因為四邊形48CO是正方形，且從E分別為力。,8c的中點

答案第7頁，共10頁

所以HE”CD且HE=CD,又CQJ/CD且CQ、=CD,

所以〃E//C4且=CQ,所以四邊形GA為平行四邊形,

所以GE"。"，又qEu平面BQ"G,RHu平面BRHG,

所以GE〃平面4"HG；

在ACQE中DEf,C￡=廂，€\D=?

EC；+ED--C.D110+5-13_41

得cos/C|EZ)=

2EC.ED2x5/10x5/5~10

7x/2

sinZC.EZ)=71-cos2ZC.ED=~w

=^DEC1EsinZC1EZ)=1xV5xx/10x^=j

設點B到平面C[DE的距離為hi乂腺-C1￡D=y（\-BDE,

所以;應3二〃=；￡△皿?℃，則如3,從而ag

20.（1）證明見解析

⑵在

10

【分析】（1）取力。中點為。，連接80,先證出四邊形8。。。是平行四邊形，進而得出

B