模塊四三角形

第五講特殊三角形

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1:等腰三角形的性質(zhì)與判定

1、等腰三角形的性質(zhì)

定理：等腰三角形的兩個底隹相等（簡稱：等邊對等角）

推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊

上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等亍60°。

（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：

①等腰直角三角形的兩個底隹相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。

這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

知識點2:等邊三角形的性質(zhì)與判定

1.定義

三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

2.畦質(zhì)：

3.判定

三個角都相等的三角形是等邊三角形；

有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.

知識點3:線段垂直平分線

1.定義

垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.

2.性質(zhì)

線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等

3.判定

到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

知識點4：直角三角形

1.定義

有一個角是直角的三角形叫作直角三角形

(1)直角三角形兩銳角互余.

(2)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半;

(3)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定

(1)兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

知識點5:勾股定理及逆定理

1.勾股定理：

直角三角形的兩條直角邊〃、b的平方和等于斜邊。的平方，即：a-+b2=c；

2.勾股定理的逆定理

22

如果三角形的三條邊a、b、。有關(guān)系：a+b^cf那么這個三角形是直角三角形.

直擊中考勝券在握

1.等腰三角形的一個角是40?，則它的頂角是()

A.40°B.70°C.100°D.40°或100°

【答案】D

【分析】

分這個角為頂角和底角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得答案.

【詳解】

當(dāng)40。角為頂角時，則頂角為40。,

故選:D.

【點睛】

考查等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用.

2.若等邊三角形的一條高為石，則其邊長為（）

A.2B.1C.3D.4

【答案】A

【分析】

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及勾股定理求解.

【詳解】

如圖，

22

團在直角三角形48。中，根據(jù)勾股定理，得482=4。2+8。2,

解得A8=2,

故選A.

【點睛】

此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理.解答此類題目時，要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后熟練運用

性質(zhì)及定理解題.

段BF是回CDE的中位線，則BF=^CD.

【詳解】

解：團在Rt0ABe中，0ACB=9O°,AC=8,BC=6,

又KD為中線，

團CD=；AB=5.

團F為DE中點，BE=BC,即點B是EC的中點，

團BF是（3CDE的中位線，則BF=/CD=2.5.

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，此題的突破口是推知線段CD的

長度和線段BF是EJCDC的中位線.

【答案】A

【分析】

連接。F,EF,過點F作FMMC,FMMB,結(jié)合直角三角形斜邊中線等了斜邊的一半求得點4D,F,E四點

共圓，WFE=90°,然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得八E的長度，從而求解.

【詳解】

解：連接OF，EF,過點F作FM2/3C,FM^AB

MG=DG=EG

又弘G=FG

團點人D,F,E四點共圓，且OE是圓的直徑

回回DFE=90°

團在月通48。中，48=47=5,點尸是8c的中點,

團四邊形A/4MF是正方形

5

[3APJ=AM=FN=-

2

物NF即MFE

^ME=DN=ANAD=^

\ME=AM+ME=3

故選：A.

【點睛】

本題考查直徑所對的圓周角是90。，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)

性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵.

7.（2021?棗莊中考）如圖，三角形紙片ABC,AB=AC,EBAC=90°,點E為AB中點，沿過點E的直線折疊，

3

使點B與點A重合，折痕現(xiàn)交于點F,已知EF=：,則BC的長是（）

【分析】

【詳解】

故選B.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰直隹三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運用，求出團AFB=90。是解題的關(guān)鍵.

【答案】D

【分析】

【詳解】

以點4為坐標(biāo)原點，48所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0),8(6,0),C(0,8),

又RP(2,1)滿足AB邊上中線所在直線表達式和AC邊上中線所在直線表達式，

故選D.

【點睛】

本題主要考查三角形中線的交點，兩點間的距離公式，建立合適的坐標(biāo)系，把幾何問題化為代數(shù)問題，是

解題的關(guān)鍵.

B

【答案】B

【分析】

利用勾股定理求出A8,再減去8c可得4C的長.

【詳解】

解：由圖可知：

故選B.

【點睛】

木題考查了二次根式的加減，勾股定理與網(wǎng)格問題，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出線段48的長.

【答案】D

【分析】

根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補法可得團ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

1117

0SQABC=3X3--X1X2--X1X3--X2X3=-.

7

同；AJBD=—,

22

(3V13?BD=7.

故選:D.

【點睛】

本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

C.4石D.10

【答案】A

【分析】

過A作AH國BC于H,根據(jù)已知條件得到AE=CE,求得DE=：BC,求得DF=：AH,根據(jù)三角形的面積公式得

到DE?DF=2,得到AB?AC=8,求得AB=2（負(fù)值舍去），根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過A作AH13BC于H,

團D是AB的中點,

@AD=BD,

0DE0BC,

0AE=CE,

（?1DE=-BC,

2

0DF0BC,

團DF回AH,DF0DE,

0BF=HF,

@DF=-AH,

2

釀DFE的面積為1,

0-DE*DF=l,

2

團DE?DF=2,

回BC?AH=2DE?2DF=4x2=8,

0AB*AC=8,

0AB=CE,

0AB-AE-CE--AC,

2

0AB*2AB=8,

0AB=2（負(fù)值舍去），

0AC=4,

故選:A.

【點睛】

本題考查了三角形中位線定理，三角形的面積的計算，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，正碓的識別圖形

是解題的關(guān)鍵.

【答案】A

【分析】

【詳解】

解：過點A作AF(3BC,

0AB=AC,

團BF=；BC=2,

團D是邊3C的兩個“分割”點,

0CE=BCBE=4(262)=62逐，

0DE=CDCE=4V58,

故選:A.

【點睛】

本題考查了“分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求出DE和AF

的長是解題的關(guān)鍵。

13.如圖，在la48c中，0C=9O°,4D平分（SCAB,DEW18于&若CD=3,BD=5f則8￡的長為

c

D

【答案】4

【分析】

根據(jù)角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，得DE=DC=4,再由勾股定理求得8￡的長即可.

【詳解】

解：平分團CA8,

又RDEI248,。68&

0D￡=DC=3,

團8。=5,

故答案為4.

【點睛】

角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等.比較簡單，屬于基礎(chǔ)題.

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解決問題;

【詳解】

團0Z8C是直角三角形，CD是斜邊中線,

^CD=-AB

2t

□CD=2,

朋B=4,

故答案為4.

【點睛】

本題考查直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

【答案】540

【分析】

首先根據(jù)等腰二角形的性質(zhì)得出抽=幽￡尸，再根據(jù)二角形的外角和定理得出加的"=團"￡,求;I叫的度數(shù),

最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出而8的度數(shù)即可.

【詳解】

0Ac=EF,

00A=MEF,

^+^AEF=^CFE=72°,

團酎=36°,

00C=9O°,EW+0B+0C=18O°,

00B=18O°l?W0C=54<>.

故答案為：54。.

【點睛】

本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【答案】1

【分析】

【詳解】

解：連接AP，如下圖:

故答案是：1.

【點睛】

【分^5】

【詳解】

￡1為AO的中點,

故答案為：1.

【點睛】

18.如圖在RtMBC中，8是斜邊48上的高，若4C=石，DB=4,則AD的長為

【答案】1

【分析】

根據(jù)射影定理列式計算即可.

【詳解】

由射影定理得，AC2=AD^AB,

則（后）2=ADX（4D+4）,

解得，ADi=l,ADi=~5（舍去），

故答案為：1.

【點睛】

本題考查的是相似三角形一一射影定理，需要牢記射影定理公式可以幫助快速解決題目.

根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化8M,M/V的值，從而找出其最小值，進而

根據(jù)勾股定理求出CN,即可求出答案.

【詳解】

解：連接CN,與4D交于點M,連接8M.（根據(jù)兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），A。是8C邊

上的中線即C和B關(guān)于4。對稱，則8M+MN=C/V,則CN就是8M+MN的最小值.

【點睛】

本題考查的是軸對稱最短路線問題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)等知識點的綜合運用.

【答案】9或10或18

【分析】

根據(jù)點N分別為跖和C尸上的動點，以M,N,。為頂點的三角形是等邊三角形，先右腦海中生成

運動的動態(tài)圖，通過從滿足條件的特殊的情況入手，然后再適當(dāng)左右擺動圖形，尋找其它可能存在的解.

【詳解】

（2）當(dāng)M,N分別與DF,DB的中點重合時，由（1）且根據(jù)三角形的中位線

???邊長在9到6&之間只能取9或10,

綜上所述：該等邊三角形的邊長可以為9或10或18.

故答案是：9或10或18.

【點睛】

本題考查了正多邊形中動點產(chǎn)生等邊三角形問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)等邊三角形的邊只能取整數(shù)為依據(jù),

進行分類討論，難點在于陰部部分等邊三角形向左右適當(dāng)擺動時如何取邊長的整數(shù)值.

【分析】

由折疊的性質(zhì)得出8￡=4E,AF=FC,由外CWC=15。，得出MFE=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得出回)F=MFE=30。，

證出M8E是等邊三角形，得出團8A￡=60。，求出AE=8￡=2,證出加4F=90°,利用勾股定理求出4F,即CF,可

得BC.

【詳解】

解：團把三角形紙片折疊，使點8、點C都與點A重合，折痕分別為。E,FG,

(38E=AE,AF=FC,0E4C=0C=15°,

0(3ZFE=3O\)LAE=EF,

配l￡4F=MFE=30°,

雕1ZEB=6O0,

回酩8￡是等邊三角形，蜘ED=(3BED=30°,

釀BAE=60°,

0Df=^,

oo

^BF=BE+EF=4t(3B4F=60+30=90°,

【點睛】

此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折

疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵.

22.(2021?四川涼山中考)如圖，等邊三角形48C的邊長為4,/的半徑為6，。為4B邊上一動點，過

點P作C的切線PQ,切點為Q,則PQ的最小值為.

【答案】3

【分析】

連接OC和PC,利用切線的性質(zhì)得到CQ13PQ,可得當(dāng)CP最小時，PQ最小，此時CP04B,再求出CP,利用

勾股定理求出PQ即可.

【詳解】

解：連接QC和PC，

0PQ和圓C相切，

0CQ0PQ,即團CPQ始終為直角三角形，CQ為定值,

13當(dāng)CP最小時,PQ最小，

釀Z8C是等邊三角形，

(3當(dāng)CP048時，CP最小，此時CPQ4B,

04B=BC=AC=4,

MP=8P=2,

團圓C的半徑CQ=JJ,

故答案為：3.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注

意得到當(dāng)PCI28時，線段PQ最短是關(guān)鍵.

【答案】2百.

【分析】

【詳解】

c

團點P的運動軌跡是以。為圓心，0八為半徑的弧

連接C。交回。于P,當(dāng)點P運動到P時，CP取到最小值

故答案為：）3

【點睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識.關(guān)鍵是學(xué)會

添加輔助線，該題綜合性較強.

24.如圖，在酎8c中，AB=ACt（34=36°,B。是蜘8c的平分線.問在直線BC上是否存在點P,使團CDP

是以CD為一腰的等腰三角形._（用”存在〃或“不存在〃填空）.如果存在，請直接寫出相應(yīng)的I3CPD的度

數(shù);如果不存在，請說明理由._

【答案】存在72?；?6。或54°

【分析】

使比DP為等腰三角形，則可能是CD=CP,DP=CD,因為MCB=128DC,所以不可能PC=PD.

【詳解】

解：存在3個點P,使得（3CDP是等腰三角形.

AA

當(dāng)以用COP為頂角，CO為一腰時，0CPD=72°；

當(dāng)以用DCP為頂角，8為一腰時，存在兩點P,

一點在線段8c延長線上，此時回CPD=36。；

故答案為:存在;72?；?6?；?4。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理;由已知條件利用相關(guān)的性

質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.

【分析】

先求得EIEBA=40。，從而得到EB=",利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明AO=8D.

【詳解】

證明：團8E平分MBC,04BC=8O°,

00E84=-[?WBC=4O%

2

004=40°,

^EB=EA,

0￡D04B,

MD=8D.

【點睛】

本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題.

D

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）通過兩角和等于90。，然后通過等量代換即可證明；

（2）通過平移的性質(zhì)，證明二角形全等，得到對應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明.

【詳解】

（2）連接AE.

【點睛】

本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正

確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).

27.（2021?四川模擬）如圖，在SA8C中，AB=ACf。是8c邊上的中點，連結(jié)AD,8￡平分跌8c交4C于

點E,過點E作E用8c交48于點F.

（1）若回C=36。，求加4。的度數(shù).

（2）求證：FB=FE.

A

【答案】(1)54。，(2)見解析

【分析】

(工)利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明蜘。8=90。，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出M8C即可解決問題.

(2)利用角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明團FBE=I3FE8即可.

【詳解】

解：(1)M8=4C,

物C=M8C,

0BC=3G0,

團m8c=36°,

團。為8c的中點，

MD08C,

^BAD=90°-MBC=90°-36°=54°.

(2