第05講統(tǒng)計(jì)與概率14種常見考法歸類

1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義，掌握兩種簡(jiǎn)單的抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法；了解分層隨

機(jī)油樣，掌握各層樣本量比例分配的方法.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)

計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題.

2.理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化

描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.

3.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨

勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

4.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度

參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

5.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.

6.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

7.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、

交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.

8.理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率.

9.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.

10.結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率.

11.在具體情境中，結(jié)合古典概型，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，能計(jì)算兩個(gè)相互獨(dú)立

事件的概率.

［函基礎(chǔ)知識(shí)］I

，iiiiiiiiiiiiniiiiaiiiiMiiuiiNiiiiiiii——

1.隨機(jī)抽樣

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

①定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N（N為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取〃（1W"VN）

個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，

我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未

進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；

②常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

（2）分層隨機(jī)抽樣

①定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于

一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一

起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，

如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配；

②分層隨機(jī)抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層隨機(jī)

抽樣.

2.常用統(tǒng)計(jì)圖表

（1）頻率分布直方圖

③各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.

（2）頻率分布表的畫法

第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；

第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

（3）條形圖、折線圖及扇形圖

①條形圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸（橫軸上的數(shù)字）表示樣本數(shù)據(jù)類型，用縱軸上的單

位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)每個(gè)樣本（或某個(gè)范圍內(nèi)的樣本）的數(shù)量多少畫出長(zhǎng)短不同的等

寬矩形，然后把這些矩形按照一定的順序排列起來(lái)，這樣一種表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為條

形圖；

②折線圖：建立直角坐標(biāo)系，用橫軸上的數(shù)字表示樣本值，用縱軸上的單位長(zhǎng)度表示一定

的數(shù)量，根據(jù)樣本值和數(shù)量的多少描出相應(yīng)各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接，得到一條折線,

用這種折線表示出樣本數(shù)據(jù)的情況，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為折線圖；

③扇形圖：用一個(gè)圓表示總體，圓中各扇形分別代表總體中的不同部分，每個(gè)扇形的大小

反映所表示的那部分占總體的百分比的大小，這樣的一種表示和分析數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)圖稱為扇形

圖.

3.總體百分位數(shù)的估計(jì)

（1）百分位數(shù)

\定義意義

百

一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中反映該組數(shù)中小

分

至少有〃％的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100—P）%的于或等于該百分位數(shù)

位

數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值的分布特點(diǎn)

數(shù)

（2）求一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)的步驟

第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)：

第2步：計(jì)算i=〃Xp%；

第3步：若i不是整數(shù)，而大于，的比鄰整數(shù)為則第〃百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，?是

整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（Z+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

4.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

（1）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)

數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

提醒（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；（2）眾教體現(xiàn)

了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，一組數(shù)據(jù)可能有〃個(gè)眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾

數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多信息，對(duì)樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.

5.總體離散程度的估計(jì)

（1）假設(shè)一組數(shù)據(jù)加，工2,X3,…，丸的平均數(shù)為貝IJ：

①標(biāo)準(zhǔn)差

S=R[g-?2+（小次產(chǎn)+…+（&-±）2]；

②方差

s2=-[（xi-x）2+（X2-x）2H----F（X/,-x）2].

n

（2）分層隨機(jī)抽樣的均值與方差

分層隨機(jī)抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為日，樣本方差為出

以分兩層抽樣的情況為例.假設(shè)第一層有〃2個(gè)數(shù)據(jù)分別為加，X2,平均數(shù)為a方

差為登;第二層有幾個(gè)數(shù)據(jù)，分別為），””，…，刈，平均數(shù)為％方差為一.則元=三2Ws3=

叫=1

-m1n1n

-E（x，一牙）2,y=-XJV,sl=-X（＞v-y）2.

mi=lni=lni=l

①則記=」l_±+/_區(qū)

m+nm+n

②—{〃z[s：+（x-\v）2]+〃[s/+（y—iv）2]}.

m+n1&'

6.隨機(jī)事件

（1）事件的相關(guān)概念

,、」必奴事件]在條件「一定發(fā)生、

乎.1{不可能事件送零（一定不發(fā)生）

k隨機(jī)事件令笨（可能發(fā)生也可能不發(fā)生）

（2）概率和頻率

①在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)〃4為

事件4出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件4出現(xiàn)的比例%（A）=中為事件4出現(xiàn)的頻率；

②對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率力（A）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率〃（A）,因

此可以用頻率力，（A）來(lái)估計(jì)概率P（A）.

7.事件的關(guān)系和運(yùn)算

（1）兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算

事件的關(guān)系和運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致8發(fā)生AQB

相等關(guān)系B3A且A3BA=B

并事件（和事件）A與8至少有一個(gè)發(fā)生AU8或A+8

交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生AC8或

互斥事件4與4不能同時(shí)發(fā)生AD8=0。

Ar\B=0,

互為對(duì)立事件4與B有且僅有一個(gè)發(fā)生

AUB=。

(2)概率的幾個(gè)基本性質(zhì)

①概率的取值范圍：0<P(A)<1;

②必然事件的概率?(。)=1；

③不可能事件的概率P(0)=0.

(3)互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件4互斥，那么夕(AU/?)=P(A)+P(B)；

(4)對(duì)立事件的概率：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)=1-P(A)或P(4)=1

-P(B).

8.古典概型

(1)古典概型的特征

|有限性一|樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)

等可能性一I每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)，的可能性相等

(2)古典概型的概率公式

p_事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)

rW-有限樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)?

9.相互獨(dú)立事件

(1)事件相互獨(dú)立：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)事件4,8是存發(fā)生互不影響，則稱事件4與事件B相互

獨(dú)立，當(dāng)對(duì)于〃個(gè)事件4,4,…，A〃，如果其中任意一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響,

則稱〃個(gè)事件4,A2,…，4相互獨(dú)立；

(2)獨(dú)立事件的概率公式

①若事件A,4相互獨(dú)立，貝！P(AB)=P(A)P(B)；

②若事件4,4，…，4相互獨(dú)立，則一(44…4〃)=尸(4若P(42)…P(4).

提醒P(AB)=P(A)P(B)只有在事件A,8相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，

［函解題策略］

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：(1)被抽取的樣本總體的個(gè)體數(shù)有限；(2)逐個(gè)拍取；(3)

是不放回抽取；(4)是等可艷抽取.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用抽簽法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于個(gè)體

數(shù)較多的情況).

3.分層隨機(jī)抽樣問(wèn)題的類型及解題思路

(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算；

(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣就是按比例抽樣，

列比例式進(jìn)行計(jì)算；

4.頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論

(1)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1；

(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總數(shù).

5.頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形底邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；

(2)平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；

(3)中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

6.平均數(shù)、方差的公式推廣

若數(shù)據(jù)XI，X2，…，%的平均數(shù)為無(wú)，方差為『，那么〃?X|+。，〃⑻+小〃兇+〃，…，用的平均數(shù)

是nix+〃，方差為/足”.

7.總體百分位數(shù)的估計(jì)需要注意的三個(gè)問(wèn)題

(1)總體百分位數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)是樣本百分位數(shù)的計(jì)算，因此計(jì)算準(zhǔn)確是關(guān)鍵；

(2)由于樣本量比較少，因此對(duì)總體的估計(jì)可能存在誤差，因此對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)一般是估計(jì)值

而非精確值.

(3)確定要求的〃％分位數(shù)所在分組［A,8),由頻率分布表或頻率分布直方圖可知，樣本中小于A

的頻率為〃，小于B的頻率為力，所以〃％分位數(shù)=4+組距X臂.

8.求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法

(1)眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最

多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則

認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)，按照從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)

就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)，按照從小到大(或從大到小)的順序排列，位于中間位置

的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：利用完=乙￡為求解.

ni=i

9.標(biāo)準(zhǔn)差、方差的應(yīng)用

(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的情況.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離

散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征.

10.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差的步驟

(1)確定土，y,Si，sii

(2)確定石;

(3)應(yīng)用公式s2=」_[s：+(x—ZJ)2]H―[s?+(y—(J)2]>計(jì)算.P

事件關(guān)系判斷的策略

(1)判斷事件的互斥、對(duì)立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事

件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同

時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生：對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)

生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生；

(2)判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試臉可能出現(xiàn)

的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.

12.用頻率估計(jì)概率

(1)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率

來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.

(2)利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試臉，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一

個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.

13.古典概型的概率求解步驟

(1)求出所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃；

(2)求出事件4包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)〃八

(3)代入公式0(A)=%求解.

n

14.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題；

(2)樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)

個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)直觀、方便，但畫樹狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；

15.互斥事件概率的兩種求法

(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概.率；

(2)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，

可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想..常用此方法求“至少”“至多”型事件的概

率.

16.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的策略

(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；

(2)厘清事件之間的關(guān)系(兩個(gè)事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式;

（3）根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算：

（4）當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條

件的事件的概率.

!Q考點(diǎn)剖析i

----------------------IIMIUIMiaillllllMIIIMIIIIIllBIIMIII

考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例I.【多選】（2022秋?高一單元測(cè)試）對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，下列說(shuō)法正確的是（）

A.它要求被抽取樣本的總體的個(gè)體數(shù)有限

B.它是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，在實(shí)踐中操作起來(lái)也比較方便

C.它是一種有放回的抽樣

D.它是一種等可能抽樣，在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，從而保證了這種抽樣方法的公

平性

【答案】ABD

【分析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求樣本的總體個(gè)數(shù)有項(xiàng)，這樣才能保證樣本能夠很好地代表總體，所以A

正確；

對(duì)于B：由于總體數(shù)量是有限的，所以為了讓數(shù)據(jù)具有代表性需要從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，以便在抽取實(shí)

踐中進(jìn)行操作，所以B正確；

對(duì)于C：在抽樣過(guò)程中，為了保證抽取的公平性，樣本數(shù)據(jù)是一種不放回的抽樣，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：在隨機(jī)抽樣的出發(fā)點(diǎn)是使每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽中，這是基于對(duì)樣本數(shù)據(jù)代表性的考慮，

所以D正確.

故選:ABD.

【答案】《7

33

【分析】根據(jù)笫二次抽取時(shí)余下的每個(gè)個(gè)體被抽取到的概率為（求得〃，可得答案.

7

故答'案為:—.

變式2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列抽樣中適合用抽簽法的是（）

A.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

B,從某廠生產(chǎn)的兩箱（每箱15件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

C.從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱（每箱50件）產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

D.從某廠生產(chǎn)的3000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)

【答案】B

【分析】由抽簽法適用于總體和樣本容量少即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AD：由于總體的個(gè)體數(shù)較多，不適合抽簽法，故選項(xiàng)AD錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：由于甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量可能差別較大，也不適合抽簽法，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：總體容量和樣本容量都較小，適合抽簽法，故選項(xiàng)B正確.

故選：B.

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

【答案】01

【分析】根據(jù)規(guī)則選出13個(gè)編號(hào)，再去掉不在編號(hào)范圍內(nèi)的編號(hào)以及重復(fù)的編號(hào)可得答案.

故選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01.

故答案為：01.

變式1.（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）欲利用隨機(jī)數(shù)表從00,01,02,L,59這些編號(hào)中抽取一個(gè)容量

為6的樣本，抽取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表的第1行第11列開始向右讀取，每次讀取兩位，直到取足樣本，

則第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào)為.

63016378591695556719981950717512867358

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【答案】5（）

【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的讀取規(guī)則，讀取第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào).

【詳解】從隨機(jī)數(shù)表的第I行第II列開始向右讀取，每次讀取兩位編號(hào)有：16,95,55,67......不大

于59的有16,55,19,19（重復(fù)劃掉），50,……，第4個(gè)被抽取的樣本的編號(hào)為50.

故答案為：50.

變式2.【多選】（2022秋?高一單元測(cè)試）已知下表為隨機(jī)數(shù)表的一部分，將其按每5個(gè)數(shù)字編為一組：

080151772745318223742111578253

772147740243236002104552164237

291486625236936872037662113990

685141422546427567889629778822

已知甲班有60位同學(xué)，編號(hào)為01?60號(hào)，現(xiàn)在利用上面隨機(jī)數(shù)表的某一個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，以簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方

法在甲班中抽取4位同學(xué)，由于樣本容量小于99,所以只用隨機(jī)數(shù)表中每組數(shù)字的后兩位，得到下列四組

數(shù)據(jù)，則抽到的4位同學(xué)的編號(hào)可能是（）

A.15,27,18,53B.27,02,25,52

C.14,25,27,22D.15,27,18,74

【答案】ABC

【分析】結(jié)合隨機(jī)數(shù)表法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】A中所得編號(hào)為第一行中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故A有可能；

B中所得編號(hào)為第二列中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故B有可能；

C中所得編號(hào)為第四行中四組數(shù)字的后兩位數(shù)字，故C有可能；

D中編號(hào)74大于甲班6（）位同學(xué)的最大編號(hào)60,不滿足題意.

故選:ABC.

考點(diǎn)二：分層隨機(jī)抽樣

（2023?高一單元測(cè)試）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣之間的共同點(diǎn)是（)

A.都是從總體中逐個(gè)抽取

B.將總體分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取

C.抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的

D.將總體分成幾層，然后分層按照比例抽取

【答案】C

【分析】根據(jù)兩種抽樣方法的特點(diǎn)可知：抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同，即可找到答案.

【詳解】選項(xiàng)A,只有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)隨機(jī)抽取，故A錯(cuò)誤.

選項(xiàng)B,只有分層抽樣是將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取，故B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣之間的共同點(diǎn)是抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相同，故C正確.

選項(xiàng)D,只有分層抽樣是將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取，故D錯(cuò)誤.

故選:C

變式1.【多選】（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的轎車，

產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，公司質(zhì)監(jiān)部門用按比例分配的分層隨

機(jī)拄樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則()

A.在每一種型號(hào)的轎車中可采用抽簽法抽取

B.抽樣比為上

C.三種型號(hào)的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛

D.這三種型號(hào)的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

【答案】BCD

【分析】根據(jù)三種隨機(jī)抽樣方法的特點(diǎn)可判斷ABD；然后根據(jù)分層抽樣計(jì)算可判斷C.

【洋解】因每一種型號(hào)的轎車數(shù)量較多，不適合用抽簽法，故A錯(cuò)誤；

在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，三種型號(hào)的轎車應(yīng)依次抽取6輛、30輛、1()輛，故C正確：

在按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一輛被抽到的概率是相等的，故D正確.

故選：BCD

A.1500家商店是總體

B.樣本容量為60

C.大、中、小型商店分別抽取4、20、36家

D.被抽取的60家商店的零售額情況是所抽取的一個(gè)樣本

【答案】BCD

【詳解】A.1500家商店的每日零售額是總體，故錯(cuò)誤：

B.從中隨機(jī)抽取60家商店，則樣本容量為60,故正確：

D.被抽取的60家商店的零出額情況是所抽取的一個(gè)樣本，故正確，

故選：BCD

【答案】11

【分析】根據(jù)分層抽樣的概念及計(jì)算方法，列出方程，即可求解.

故答案為：11.

變式4.(2023春?北京順義?高?牛欄山?中校考階段練習(xí))當(dāng)前，國(guó)家正分批修建經(jīng)濟(jì)適用房以解決低收

入家庭住房緊張的問(wèn)題.已知甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)現(xiàn)分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶.若第一批

經(jīng)濟(jì)適用房中有90套住房用于解決這三個(gè)社區(qū)中90戶低收入家庭的住房問(wèn)題，先采用分層隨機(jī)抽樣的方

法決定各社區(qū)戶數(shù)，則應(yīng)從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)為.

【答案】3()

【分析】先求得每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為5,進(jìn)而取得從乙社區(qū)中抽取低收入家庭的戶數(shù)，得到答案.

故答案為：30.

變式5.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高?統(tǒng)考期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數(shù)學(xué)生都在家進(jìn)行網(wǎng)上上課，某

校高一，高二，高三共有學(xué)生6000名，為了了解同學(xué)們對(duì)某授課軟件的意見，計(jì)劃采用分層抽樣的方法從

這6000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數(shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)

偶數(shù)，則該校高二年級(jí)的人數(shù)為（）

A.1000B.1500C.200（）D.1（）00

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，結(jié)合樣本容量進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)閺母咭?、高二、高三抽取的人?shù)恰好是從小到大排列的連續(xù)偶數(shù)，

設(shè)我校高二年級(jí)的人數(shù)為x,

故選:C

變式6.（2023春?河北邯鄲?高一大名縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)共有學(xué)

生3500人，其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多300,現(xiàn)在按擊的比

例分配分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為.

【答案】8

【分析】設(shè)出高一年級(jí)的人數(shù)，根據(jù)三個(gè)年級(jí)人數(shù)之間的關(guān)系，寫出高二和高三的人數(shù)，根據(jù)學(xué)校共有的

人數(shù)，得到關(guān)于高一人數(shù)的方程，解得高一人數(shù)，用人數(shù)乘以抽取的比例，得到結(jié)果.

【詳解】若設(shè)高一學(xué)生人數(shù)為元?jiǎng)t高二學(xué)生人數(shù)為x+300,高三學(xué)生人數(shù)為2%,所以有x+x+300+2x

故答案為：8

、］例4.（2022春.廣東江門.高一江門市第一中學(xué)?？计谥校└咭荒嘲嗉?jí)有男生35人，女生15人，用

分層抽樣的方法從全班學(xué)生中抽取一個(gè)容量為10的樣本，抽出的男生平均體重為70kg,抽出的女生平均體

重為50kg,估計(jì)該班的平均體重足（）

A.54kgB.60kgC.64kgD.65kg

【答案】C

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，再求平均數(shù)即可.

【解答】根據(jù)分層抽樣的定義可得抽取男生7人，女生3人，

故選：C.

變式1.（2023春?江西南昌?高一南昌巾外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）某學(xué)校高一年級(jí)有300名男生，200名

女生，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查數(shù)學(xué)考試成績(jī)，抽取總樣本量為50,男生平均成績(jī)?yōu)?20分，女生平

均戊績(jī)?yōu)?10分，那么可以推測(cè)高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為（）

A.110分B.115分C.116分D.120分

【答案】C

【分析】根據(jù)分層抽樣求出應(yīng)抽取男生和女生的人數(shù)，求出平均數(shù)即可.

故選:C

變式2.（2023春?寧夏?高一六盤山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校有男教師160人，女教師140人，為了調(diào)

查教師的運(yùn)動(dòng)量的平均值（通過(guò)微信步數(shù)），按性別比例分配進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，得出男

教師平均微信步數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則該校教師平均微信步數(shù)為（）

A.12500B.10680

C.8600D.10550

【答案】B

【分析】根據(jù)分層抽樣平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算該校教師平均微信步數(shù)

【詳解】因?yàn)榉謱与S機(jī)抽樣是按比例分配，所以根據(jù)公式得該校教師平均微信步數(shù)為

故選:B

考點(diǎn)三：扇形（餅狀）圖

例5.【多選】（2023春?陜西西安?高一西安市黃河中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）對(duì)某地區(qū)2023年的學(xué)生

人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.在初中生中，九年級(jí)學(xué)生人數(shù)最多，八年級(jí)學(xué)生人數(shù)最

少，七年級(jí)學(xué)生人數(shù)約為1.2萬(wàn)，則（）

A.該地區(qū)2023年的學(xué)生人數(shù)約為15萬(wàn)

B.該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍還多

C.該地區(qū)2023年小學(xué)生的人數(shù)比初中生、高中生和大學(xué)生的人數(shù)之和還多

【答案】AB

【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖表中的數(shù)據(jù)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

該地區(qū)2023年高中生的人數(shù)比八年級(jí)學(xué)生人數(shù)的2倍還多，所以B正確：

該地區(qū)2023年小學(xué)生的人數(shù)少于初中生、高中生和大學(xué)生的人數(shù)之和，所以C不正確；

故選:AB.

變式1.（2022春.貴州黔東南.高一統(tǒng)考期末）獨(dú)角獸企業(yè)被視為新經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)重要風(fēng)向標(biāo)，2021年中

國(guó)獨(dú)角獸企業(yè)行業(yè)分布廣泛，覆布圖（圖中的數(shù)字表示各行業(yè)獨(dú)角獸企業(yè)的數(shù)量），其中“北上廣''三地的獨(dú)

角獸企業(yè)數(shù)量的總占比為70%.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.房產(chǎn)居家和消費(fèi)行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的總占比不足10%

B.人工智能，汽車交通以及智能硬件行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量的總占比超過(guò)50%

C.“北上廣”三地的獨(dú)角獸企業(yè)共有170家

D.電子商務(wù)行'業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量最多

【答案】D

【分析】根據(jù)給出的圖中信息依次分析選項(xiàng)即可.

觀察圖表可知電子商務(wù)行業(yè)的獨(dú)角獸企業(yè)數(shù)量最多，故D止確.

故選:D.

變式2.（2022春?云南昆明?高一統(tǒng)考期末）南丁格爾玫瑰圖是由近代護(hù)理學(xué)和護(hù)士教育創(chuàng)始人南丁格爾

跖He18201910）設(shè)計(jì)的，圖中每個(gè)扇形圓心角都是相等的，半徑長(zhǎng)短表示數(shù)量大小.某機(jī)

構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近幾年中國(guó)知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量（單位：億人次），并繪制成南丁格爾玫瑰圖如下，根據(jù)此圖，下

列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加

B.2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多

C.2022年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量超過(guò)2015年知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的10倍

D.2016年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量的逐年增加量逐年遞增

【答案】D

【分析】利用題中所給的南丁格爾玫瑰圖逐一考查所給選項(xiàng)，即可■得解.

【詳解】對(duì)于A,由圖可知，2015年至2022年，知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)最逐年增加，故A正確;

可知知識(shí)付費(fèi)用戶數(shù)量逐年增加量2018年最多，故B正確，D錯(cuò)誤；

故選：D

A.獲得A等級(jí)的人數(shù)減少了

B.獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1.5倍

C.獲得。等級(jí)的人數(shù)減少了一半

D.獲得E等級(jí)的人數(shù)相同

【答案】B

根據(jù)圖表得出兩年各個(gè)等級(jí)的人數(shù)如下圖所示：

年份\DCDE

由圖可知A、C、D選項(xiàng)錯(cuò)，B選項(xiàng)對(duì).

故選:B.

考點(diǎn)四：條形圖與折線圖

例6.（2022春?吉林長(zhǎng)春?高?長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生在線學(xué)習(xí)情況，

統(tǒng)計(jì)了2021年2月18日-27日（共10天）他們?cè)诰€學(xué)習(xí)人數(shù)及其增長(zhǎng)比例數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的條形

圖與折線圖的組合圖.

根據(jù)組合圖判斷，下列結(jié)論正確的是（）

A.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差大于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的方差

B.前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差大于后5天的在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差

C.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例在逐日增大

D.這10天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加

【答案】D

【分析】對(duì)于A,由條形圖可得前5天學(xué)習(xí)人數(shù)的方差小，由此得以判斷；對(duì)于B,大約估算前5天與后5

天在線學(xué)習(xí)人數(shù)增長(zhǎng)比例的極差,從而得以判斷：對(duì)于C?觀察到23Fl到24日在線學(xué)習(xí)人數(shù)的的增K比例

在下降，由此得以判斷；對(duì)于D,易得學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加，從而得以判斷.

【詳解】對(duì)于A,由條形圖可得，前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的變化幅度明顯比后5天的小，故方差也小，故A

錯(cuò)誤；

所以前5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差小于后5天在線學(xué)習(xí)人數(shù)的增長(zhǎng)比例的極差，故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,由折線圖可以看到，23日到24日的在線學(xué)習(xí)人數(shù)增長(zhǎng)比例在下降，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由條形圖可得，這1（）天學(xué)生在線學(xué)習(xí)人數(shù)在逐日增加，故D正確.

故選：D.

變式I.（2023春?江西吉安?高一江西省泰和中學(xué)?？计谀┠臣彝?020年收入的各種用途占二匕統(tǒng)計(jì)如圖1

所示，2021年收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖2所示.已知2021年的“旅行”費(fèi)用比2020年增加了500元，

則該家庭2021年的“衣食住”費(fèi)用二匕2020年增加了（）

A百分比

ffli

圖2

A.200（）元B.2500元C.3000元D.3500元

【答案】C

【詳解】設(shè)該家庭2020年的收入為x元,2021年的收入為y元.

故選:C

變式2.（2022秋?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末）網(wǎng)上一家電子產(chǎn)品店，今年1-4月的電子產(chǎn)品銷售總額如圖1,

其中某?款平板電腦的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比如圖2.

根據(jù)圖中信息，有以下四個(gè)結(jié)論，推斷不合理的是（）

A.從1月到4月，電子產(chǎn)品銷電總額為290萬(wàn)元

B.該款平板電腦4月份的銷售額比3月份有所下降

C.今年1-4月中，該款平板電腦售額最低的是3月

D.該款平板電腦2至4月的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與I月份相比都下降了

【答案】B

【分析】結(jié)合圖1、圖2即可計(jì)算出該款平板電腦1-4月份的鐺售額，即可出答案.

所以今年1-4月中，該款平板電腦出額最低的是3月10.8萬(wàn)元，C正確；

由圖2可知該款平板電腦2至4月的銷售額占當(dāng)月電子產(chǎn)品銷售總額的百分比與1月份相比都下降了，D

正確.

故選：B.

變式3.（2022春?廣西河池.高一統(tǒng)考期末）某保險(xiǎn)公司推出了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；

丙，理財(cái)類保險(xiǎn)：丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn).現(xiàn)對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)

計(jì)圖：

用樣本估計(jì)總體，以下四個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

A.30-41周歲參保人數(shù)最多

B.隨著年齡的增長(zhǎng)，人均參保費(fèi)用越來(lái)越多

C.54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的8%

D.定期壽險(xiǎn)最受參保人青睞

【答案】C

【分析】根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可

【詳解】由扇形圖可知，31~41周歲的參保人數(shù)最多，故選項(xiàng)A正確；

由折線圖可知，隨著年齡的增長(zhǎng)人均參保費(fèi)用越來(lái)越多，故選項(xiàng)B正確；

由扇形圖可知，54周歲以下的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的92%,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.

故選:C

考點(diǎn)五：頻率分布直方圖

7

A.—BD

15-2-I-I

A.55B.50C.1000D.100

【答案】D

故選：D

變式2.（2021秋?高一單元測(cè)試）為落實(shí)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測(cè)試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)

健康水平，某校高二年級(jí)體育組教師在高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名男生，測(cè)試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測(cè)試數(shù)

據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)195cm及以上成績(jī)?yōu)楹细瘢?55cm以上成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖

中的數(shù)據(jù)估計(jì)全校1000名男生中立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目合格的男生有（）

A.660名B.940名C.970名D.800名

【答案】B

【分析】在頻率分布直方圖中，根據(jù)頻率之和為1求出小然后直接計(jì)算合格率即可求解.

故選：B.

頻率/組距上

D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為77

【答案】C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有長(zhǎng)方形的面積和為1，以及極值、頻數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)

進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

對(duì)于C,頻率分布直方圖無(wú)法看出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，故選項(xiàng)C不正確;

故選:C.

變式4.(2022春?天津和平?高一傕華中學(xué)校考期末)某中學(xué)全體學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了400名

學(xué)生進(jìn)行成績(jī)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績(jī)都在5()分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的

,下列說(shuō)法正確的是()

C.估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?3分

D.估計(jì)全校學(xué)生成績(jī)的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分

【答案】D

【分析】利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解.

【詳解】對(duì)于A：根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分到100分之間的頻率和為I,可得

10x(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1,解得f0.03,故A錯(cuò)誤;

故B錯(cuò)誤；

刈于C：估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?5x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分;

故C錯(cuò)誤.

故D正確.

故選：D.

考點(diǎn)六：總體百分位數(shù)的估計(jì)

［V］例8.（2023春?河南?高一校聯(lián)考期末）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56,62,63,63,65,66,68,69,

71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,98,則其25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為（）

A.144B.145C.148D.153

【答案】C

【分析】由百分位數(shù)的定義求解艮］可.

故選：C.

變式1.（2022春?云南?高一統(tǒng)考期末）棉花的纖維長(zhǎng)度是衡量棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)

2（）根棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm）,按從小到大排序結(jié)果如下：

8286113115140143146170

202206233236238255260263

請(qǐng)你估計(jì)這批棉花的第5百分位數(shù)是（）

A.84B.86C.99.5D.115

【答案】A

故選：A

變式2.（2023春?湖南長(zhǎng)沙?高一長(zhǎng)沙市明德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)如下：

56,62,63,63,65,66,68,6%71,74,76,76,77,78,79,79,82,85,87,88,95,98

則其25%分位數(shù)、中位數(shù)與75%分位數(shù)分別為（）

A.65,76,82B,66,74,82C.66,76,79D.66,76,82

【答案】D

【分析】由百分位數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

故選：D.

A.75B.77.5C.78D.78.5

【答案】D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.

故選：D

變式1.（2023春?山西太原?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智.黨和政府一直重視青少

年的健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某

校在3000名學(xué)生中，抽杳了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所

示，則下列結(jié)論正確的是（）

磊

O..06

0..05

0.,04

0..03

0.,02

。556065707580春重,恤

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

【答案】B

【詳解】由頻率分布直方圖可得眾數(shù)為67.5,A錯(cuò)誤;

（2023春?江西南昌?高一?？计谥校樽龊谩凹仔土鞲小眰魅痉揽毓ぷ鳎承?jiān)持每日測(cè)溫報(bào)

告，以下是高三一班，二班各10名同學(xué)的體溫記錄（從低到高）：

高三一班：36.1,36.2,m，36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（單位:℃）,

高三二班：36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,〃，37.1（單位:℃）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意結(jié)合百分位數(shù)的概念分析運(yùn)算.

故選：C.

1616

A.—,5B.5,5C.—，6D.5?6

53

【答案】C

【分析】先求出“的值，再根據(jù)定義分別求解.

故選：C.

變式2.（2023秋?山東東營(yíng)?高一統(tǒng)考期末）十名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是：15,17,14,

10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其中位數(shù)為m眾數(shù)為從第一四分位數(shù)為c,則a,b,。大小關(guān)系為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)的定義求解.

【詳解】對(duì)生產(chǎn)件數(shù)由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,

故選:B.

考點(diǎn)七：總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

例II.（2023春?四川廣元?高一廣元中學(xué)?？计谥校┠嘲嘤心猩?0名，女生30名.一次數(shù)學(xué)考試

（所有學(xué)生均參加了考試），男生數(shù)學(xué)成績(jī)平均為92,女生數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為97,則該班數(shù)學(xué)成績(jī)平均分

為（）

A.94B.94.5C.95D.95.5

【答案】C

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)該班數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為

故選：C.

變式I.（2023秋?廣西桂林?高一統(tǒng)考期末）《數(shù)術(shù)記遺》記述了積算（即籌算）、珠算、計(jì)數(shù)等共14種

算法.某研究學(xué)習(xí)小組共7人，他們搜集整理這14種算法的相關(guān)資料所花費(fèi)的時(shí)間分別為83,84,80,69,

82,81,81（單位:min）.則這組時(shí)間數(shù)據(jù)的（）

A.極差為14B,方差為22C.平均數(shù)為80D.中位數(shù)為80

【答案】C

【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差公式計(jì)算即可判斷A、B、C選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)定義即可判斷D選項(xiàng).

樣本由大到小排列：69,80,81,81,82,83,84,中位數(shù)為81,D錯(cuò)誤.

故選:C.

（2022.高一單元測(cè)試）某滑冰館統(tǒng)計(jì)了2021年II月1日到3（）日某小區(qū)居民在該滑冰館的

鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說(shuō)法正確的是（）

頻率

B.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰餌的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16

C.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值大于14

D.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過(guò)15天的概率為0.456

【答案】C

【分析】由頻率分布直方圖比較各區(qū)間的頻率大小，由此確定各區(qū)間的頻數(shù)大小，由此判斷A,再計(jì)算樣

本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)，判斷B,C,再求鍛煉天數(shù)超過(guò)15天的頻率，由此估計(jì)概率，判斷D.

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:C.

變式I.（2023?高一單元測(cè)試）某校舉辦了迎新年知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)選取了100人的成績(jī)整理后畫出的頻率

分布直方圖如下，則根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論不正確的是（）

A.該校約有一半學(xué)生成績(jī)高于70分B.該校不及格人數(shù)比例估計(jì)為25%

C.估計(jì)該校學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為70分D.估計(jì)該校學(xué)生的平均成績(jī)超過(guò)了70分

【答案】D

由選項(xiàng)A的計(jì)算知C正確;

故選:D.

⑴求〃、b的值；

(2)求被調(diào)查的市民的滿意程度的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);

⑵平均數(shù)為74.9,眾數(shù)為75,中位數(shù)為75.14

(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義即可求解；

(3)按照分層抽樣的定義抽取即可.

-頻率/組距

m....................................—I

0.010--1—

0.005.........—I

°.40506070809012)0質(zhì)謂指標(biāo)值

(1)求出直方圖中加的值：

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，中位數(shù)精確到0.01)；

(3)現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的

方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，其中一等品和二等品分別有多少個(gè).

⑵平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33

(3)一等品有3個(gè)和二等品有2個(gè).

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和中位數(shù)計(jì)算公式即可求解；

(3)由分層抽樣規(guī)則求解即可.

所以可以估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口用的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為71,中位數(shù)為73.33.

(3)由頻率分布直方圖可知：103個(gè)口罩中一等品有60個(gè)，二等品有40個(gè)，

所以抽取的5個(gè)口罩中一等品有3個(gè)和二等品有2個(gè).

（2023秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一鐵路一中校考期末）某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生

和20名女生隨機(jī)詢問(wèn)了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，五名男生的成績(jī)分別為86,94,

88,92,90,五名女生的成績(jī)分別為88,93,93,88