圖形的相似（13知識點回顧+34題型練習(xí)）

令題型匯聚

題型一比例的性質(zhì)題型十八相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

題型二比例線段題型十九利用相似求坐標(biāo)

題型三成比例線段題型二十在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

題型四黃金分割題型二十一和似一用形切點1可劇

題型五由平行判斷成比例的線段題型二十二重心的有關(guān)性質(zhì)

題型六由平行截線求相關(guān)線段的長或比值題型一十三相似三角形的綜合問題

題型七相似圖形題型二十四位似圖形的識別

題型八相似多邊形題型二十五判斷位似中心

題型九相似多邊形的性質(zhì)題型二十六位似圖形相關(guān)概念辨析

題型十利用兩角對應(yīng)相等判定相似題型二十七求兩個位似圖形的相似比

題型十一利用三邊對應(yīng)成比例判定相似題型二十八畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形

題型十二利用兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似題型二十九求位似圖形的對應(yīng)坐標(biāo)

題型十三選擇或補(bǔ)充條件使兩個三角形相似題型三十在坐標(biāo)系中求兩個位似圖形的相似比、周長比

或面積比

題型十四相似三角形的判定綜合

題型三十一在坐標(biāo)系中畫位似圖形

題型十五相似三角形實際應(yīng)用

題型三十二在坐標(biāo)系中畫位似中心

題型十六證明三角形的對應(yīng)線段成比例

題型三十三坐標(biāo)與圖形綜合

題型十七利用相似三角形的性質(zhì)求解

◎知識清單

知識點1.比例的性質(zhì)

（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項.

（2）常用的性質(zhì)有:

①內(nèi)項之積等于外項之積.若產(chǎn)卷，則，以=必

②合比性質(zhì).若包=￡,則豆也=￡把

bdbd

③分比性質(zhì)?若僅若，則呼=等

④合分匕性質(zhì).若包=￡,則空也=￡也

bda-bc-d

⑤等比性質(zhì).若亙=￡=-=典(b+d+…+〃W0),則Ac+........皿=迪

bdnb+d+........+nn

知識點2.比例線段

（1）對于四條線段。、力、。、"，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如成=〃（即

加=加），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等

即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

知識點3.平行線分線段成比例

（1）定理I：二條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊.

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三

角形的三邊對應(yīng)成比例.

2

知識點4.相似圖形

(1)相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

(2)相似圖形在現(xiàn)實生活中應(yīng)用非常廠泛，對于相似圖形，應(yīng)注意:

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同;

③兩個物體形狀相同、大小相同時它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

(3)相似三角形

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

知識點5.相似多邊形的性質(zhì)

(1)如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形.

(2)相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

(3)全等多邊形的相似比為1或相似比為1的相似多邊形是全等形.

(4)相似多邊形的性質(zhì)為:

①對應(yīng)角相等;

②對應(yīng)邊的比相等.

知識點6.相似三角形的判定

(I)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似:

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“.4”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時要善于從復(fù)

雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似;

3

知識點10.作圖-相似變換

（1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到.

（2）相似圖形的作圖在沒有明確規(guī)定的情況卜，我們可以利用相似的基本圖形“力”型和“X”型進(jìn)行簡單的相似變換

作圖.如圖所示：

（3）如果題目有條件限制，可根據(jù)相似三角形的判定條件作為作圖的依據(jù).比較簡單的是把原三角形的三邊對應(yīng)的縮

小或放大一定的比例即可得到對應(yīng)的相似圖形.

知識點11.幾何變換的類型

（I）平移變換：在平移變換下，對應(yīng)線段平行且相等.兩對應(yīng)點連線段與給定的有向線段平行（共線）且相

等.—（2）軸對稱變換：在軸對稱變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩

條直線的夾角被對稱軸平分.（3）旋轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)

角.—（4）位似變換：在位似變換下，一對位似對應(yīng)點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順

序，即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線：對應(yīng)線段的比等于位似比的絕對值，對應(yīng)圖形面積的比等于位似比的

平方；不經(jīng)過位似中心的對?應(yīng)線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線；任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不

變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應(yīng)點；兩對應(yīng)圓相切時切點為位似中心.

知識點12.位似變換

（1）位似圖形的定義：

如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖

形，這個點叫做位似中心.

注意：①兩個圖形必須是相似形；

②對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點；

③對應(yīng)邊平行.

（2）位似圖形與坐標(biāo)

在平面白角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為匕那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于左或■攵.

5

知識點13.作圖一位似變換

（1）畫位似圖形的一般步驟為：

①確定位似中心：②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形

的關(guān)鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

借助橡皮筋、方格紙、格點圖等簡易工具可將圖形放大或縮小，借助計算機(jī)也很好地將?個圖形放大或縮小.

（2）注意：①畫一個圖形的位似圖形時，位似中心的選擇是任意的，這個點可以在圖形的內(nèi)部或外部或在圖形上，

對于具體問題要考慮畫圖方便且符合要求.②由于位似中心選擇的任意性，因此作已知圖形的位似圖形的結(jié)果是不唯

一的.

◎題型練習(xí)

題型一比例的性質(zhì)

L（24-25九年級上?甘肅張掖?階段練習(xí)）已知臺|,則早的值是（）.

【答案】C

【知識點】比例的性質(zhì)

【分析】此題主要考杳的是比例的性質(zhì),熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

將^變形為與，再代入求值即可.

【詳解】解：

b3

7=1-7=?*故C正確.

b33

故選：C.

2.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）已知。,仇。為△/4C的三邊長，且滿足］

6

2b

(1)求的值;

(2)若a-3+c=12,求△力4c的面積.

【答案】(1)3

(2)120

【知識點】判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形、比例的性質(zhì)

【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)==2=￡=攵(〃>0),則a=5k,b=\2k,c=13Z,據(jù)此計算求解即可；

51213

(2)同(1)得。=5鼠b=12k,c=13后，再根據(jù)“-〃+c=12建立關(guān)于A的方程，解方程求出〃的值，進(jìn)而求出以b、

的值，再利用勾股定理的逆定理證明A48C是直角三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)巴=2=￡="(〃>0),則4=5七b=\2k,c=13A,

51213

2b222〃

c-a13k-5k

(2)解：設(shè)］="^=1=女(女>°)，貝!。=5攵，b=\2k,c=\3k,

a-b+c=\2,

.?.54—124+13k=12,

:.k=2,

a=10,b=24,c=26,

??a2+b2=10*+24'=676?c*=26"=676?

???a2+b2=c2，

???△/8C是直角三角形，且兩直角邊的長為10,24,

/.S^=-^=-x10x24=120.

r22

題型二比例線段

7

3.（24-25九年級上?浙江紹興?期末）如圖表示我國臺灣省幾個城市的位置關(guān)系.經(jīng)測量得到基隆市到高雄市的圖上距

離為35mm,地圖上顯示的比例尺為1:9000000.則兩城市的實際距離是（）千米.

C.315D.3150

【答案】C

【知識點】比例線段

【分析】此題考查比例線段，掌握比例線段的定義及比例尺，并能夠靈活運用.根據(jù)圖上距離與比例尺，求實際距離,

即圖上距離除以比例尺.

【詳解】解：設(shè)兩地間的實際距離為“亳米，

根據(jù)題意，35:x=1:9000000,

解得x=315000000mm=315km,

即實際距離是315T?米.

故選：C.

題型三成比例線段

4.（24-25九年級上?貴州畢節(jié)?期中）下列四組線段中，是成比例線段的是（）

A.4cm,3cm,4cm,5cmB.10cm,16cm,5cm,8cm

C.2cm,4cm,6cm,8cmD.9cm,8cm,15cm,10cm

【答案】B

【知識點】成比例線段

8

【分析【本題考查/成比例線段，深刻理解成比例線段的概念是解題的關(guān)鍵：在四條線段中，如果其中的兩條線段的

比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.根據(jù)成比例線段的概念，通常情況下，

讓最小的和最大的相乘，另外兩條也相乘，看它們的積是否相等即可判斷它們是否成比例.按照成比例線段的判斷方

法逐項分析判斷即可.

【詳解】A.?「3x5工4x4,.?.四條線段不成比例，故不符合題意；

B.?.?16x5=10x8,??.四條線段成比例,故符合題意：

C；2x874x6,.?.四條線段不成比例，故不符合題意；

D.?「2x8w4x6,.?.四條線段不成比例，故不符合題意；

故選擇：B

題型四黃金分割

5.（24-25九年級上?山東青島?階段練習(xí)）大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著"黃金分割”，如圖,

。為力〃的黃金分割點（力尸》夕4）,如果/出的長度為10cm,那么總的長度為（）cm.

B

A.545-5B.1075-10C.15-5石D.15+5石

【答案】C

【知識點】黃金分割

【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分成兩段，其中較長線段是較短線段和整個線段的比例中項,

那么這個點就是這條線段的黃金分割點.根據(jù)X2=叵445,即可求出

2

【詳解】解：”為48的黃金分割點尸8）

???JP=^^-J^=^-!-xl0=（5>/5-5jcm

9

=J5-JP=10-（5V5-5）=（15-575）cm

故答案為：C.

題型五由平行判斷成比例的線段

6.（24-25九年級上?海南省直轄縣級單位?期末）如圖，已知4〃，2〃4,直線44,4分別交直線。于點A、B、C,交

直線人于點。、E、F,那么下列比例式正確的是（）

DFEFAB_BC

C.D.

~CF=~BE~DF=~EF

【答案】A

【知識點】由平行判斷成比例的線段

【分析】本題是一道關(guān)于平行線分線段成比例的題目,掌握平行線分線段成比例的相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)

平行線分線段成比例定理，即可進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.v/,#/2Z//3,

4cBe油人工旅

礦而，故A正確;

根據(jù)4〃，2〃4無法判斷盥=空，故B錯誤;

B.

BEAD

C.根據(jù)4〃，2〃4無法判斷上=笠故C錯誤;

CrBE

D.

ABDE

~BC~~EF

BCit.,rl

5r而，故D錯誤.

10

故選：A.

7.（24-25九年級上?陜西漢中?期末）如圖，在△力8c中，。是4C上的一點.請利用無刻度的直尺和圓規(guī)在8c上作

一點￡，使得空=空.（不寫作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）

【答案】見解析

【知識點】由平行判斷成比例的線段、尺規(guī)作一個角等于已知角

【分析】此題考查了尺規(guī)作一個角等于已知角，平行線的判定，平行線分線段成比例等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識點.

根據(jù)題意作出//8。=4BDE,進(jìn)而得到AB//DE,然后利用平行線分線段成比例即可得到黑=經(jīng)

CDCE

【詳解】解：如圖，點￡即為所求.

題型六由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

8.（24-25九年級上?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖，已知4〃，2〃A，若=BC=2,DE=1.5,則所的長為（）

B.2C.3D.4.5

【答案】C

II

【知識點】由平行截線求相關(guān)線段的長或比值

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得為:=言，據(jù)此代值計算即可.

DEAB

【詳解】解：?U〃4〃/3，

EFBC

,~DE~7B'

vAB=1,BC=2,DE=1.5,

EF2

----=—

1.51

EF=3,

故選：C.

題型七相似圖形

9.（24-25九年級上?河北石家莊?期中）如圖，在矩形、銳角三角形、直角三角形的外邊加寬度一樣的外框，保證外框

邊與原圖形對應(yīng)邊平行，則外框與原圖不一定相似的是（）.

□4號

矩形銳角三角形立角三角形

A.矩形

B.矩形和銳角三角形

C.矩形和直角三角形

D.銳角三角形和直角三角形

【答案】A

【知識點】相似圖形

【分析】此題考查了相似三角形的判定.根據(jù)相似多邊形的判定定理：對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等，對各個選項進(jìn)行

分析，從而確定最后答案.

【詳解】解：兩矩形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值不一定相等，不一定相似，符合題意；兩銳角三角形對應(yīng)角相等，對

12

應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；兩直角三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題

盡：

故選：A

10.(九年級上?全國?專題練習(xí))如圖，左邊是一個橫放的長方形，右邊的圖形是把左邊的長方形各邊放大兩倍，并豎

立起來以后得到的，這兩個圖形是相似的嗎？

【答案】相似

【知識點】相似圖形

【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，這兩個圖形是相似的，這兩個圖形形狀是一樣，對應(yīng)線段的比都是1：2,四人角分別對應(yīng)相等,

符合相似圖形的定義，雖然它們的擺放方法、位置不一樣，但這并不會影響到它們相似性.

【點睛】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相似圖形的定義進(jìn)行判斷.

題型八相似多邊形

11.(24-25九年級卜?江蘇南京?階段練習(xí))觀察下面兩組多邊形：

(1)在圖(1)中，矩形中以力和矩形46Gq相似嗎?為什么?

(2)在圖(2)中，多邊形力8COE尸和多邊形44GA片￡都是各邊相等，各角相等的六邊形，它們是相似圖形嗎？為什

么？

【答案】(1)不相似，見解析:

(2)是相似圖形，見解析.

13

【知識點】相似多邊形

【分析】本題主要考查相似多邊形的概念，根據(jù)相似圖形的概念可知，必須滿足兩個條件：①兩個多邊形的對應(yīng)角相

等；②兩個多邊形的對應(yīng)邊成比例；

（1）根據(jù)相似多邊形的概念判斷即可；

（2）根據(jù)相似多邊形的概念判斷即可.

【詳解】（1）解：?.?矩形48co和矩形48c冉，

矩形的四個角都是直角，即相等，

AB_IBC_2

V,蔡廠“

矩形ABCD和矩形44GA不相似；

（2）???多邊形/3。"?和多邊形都是各邊相等，各角相等的正六邊形，

??.它們各角相等，且各邊成比例，是相似圖形.

題型九相似多邊形的性質(zhì)

12.（24-25九年級上?河北邯鄲?期中）如圖，四邊形/3c四邊形44'C'Q',則x的值為.

【答案】15

【知識點】相似多邊形的性質(zhì)

【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例求解即可.

【詳解】解：???四邊形四邊形48'。'。'，

ADAB

一行‘

14

解得：x=I5,

故答案為：15

題型十利用兩角對應(yīng)相等判定相似

13.（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）如圖，在△/4C中，D,￡分別是邊48,月C上的點，連接。E,且乙4=63。,

/4OE=47。，N4=700.求證：AADES^ACB.

【答案】見解析

【知識點】利用兩角對應(yīng)相等判定相似

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得=即可證明△力。Es△力C8.

【詳解】證明：???/力=63。，/ADE=47",

:.N4ED=1800-Zz4-NADE=70°,

???N8=70°,

NB=ZAED,

???NJ=4,

:AADESAACB.

題型十一利用三邊對應(yīng)成比例判定相似

14.（24-25九年級上?江蘇南通?期末）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，畫一個三角形與給定的三角形相似，下列四種

畫法中，正確的是（）

15

【知識點】利用三邊對應(yīng)成比例判定相似、勾股定理與網(wǎng)格問題

【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

先求出題干三角形的三邊長，再分別求出各選項三角形的三邊長，判斷三邊是否對應(yīng)成比例來判斷相似.

【詳解】解：可求題干三角形中三邊長（從小到大）為：廬了=行,廬萬=麗,4，

A、可求三角形三邊長（從小到大）為：JJ7萬=石，/萬=后,4,不滿足三邊對應(yīng)成比例，故不相似，不符合題

意：

B、可求三角形三邊長（從小到大）為：2,萬r=2后,=貝1」當(dāng)=需=志，故相似，符合題意；

c、同理可求三角形三邊長（從小到大）為：底M,后,不滿足一:邊對應(yīng)成比例，故不相似，不符合題意；

D、同理可求三角形三邊長（從小到大）為：亞,3、2亞,不滿足三邊對應(yīng)成比例，故不相似，不符合題意，

故選：B.

題型十二利用兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似

15.（24-25九年級上?云南文山期末）如圖，在。中，點。在8c上，連接力。，AB2=BCBD.求證：

△ABCS^DBA.

BDC

16

【答案】見詳解

【知識點】利用兩邊對應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似

【分析】該題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理.

根據(jù)題意得出色二黑，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個三角形相似即可證明.

BABD

【詳解】證明：?:=BC-BD,

BCBA

?；NABC=NDBA,

:."BCs^DBA.

題型十三選擇或補(bǔ)充條件使兩個三角形相似

16.（24-25九年級上?陜西榆林?期中）如圖，使△力8C?△力。E成立的條件是（）

A./力B.AADE=AAED

ABBC

C.ZABC=ZADED.

~AE~~DE

【答案】C

【知識點】選擇或補(bǔ)充條件使兩個三角形相似

【分析】此題重點考查相似三角形的判定，正確理解和運用相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.因為//=/力，則

ZU8C和△力。石只有一組對應(yīng)角相等，所以不能判定8c和△/￡>￡?相似，可判斷A不符合題意：由于=

不是△力8。和△ZOE的對應(yīng)角相等，則△/8C和△力只有//與乙A這一組對應(yīng)角相等，所以不能判定△48C和

△川DE相似，可判斷B不符合題意；由WC=N3E,4=4,可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似”證明

△ABCS&ADE,可判斷C符合題意；因為J=笠，4=4,不符合“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”

17

這一判定定理的條件，不能判定△48C和相似，可判斷D不符合題意，于是得到問題的答案.

【詳解】解：???//=//,△/8C和只有一組對應(yīng)角相等，

???不能判定AABC和LADE相似，

故A不符合題意；

vZADE=ZAED不是&ABC和△力￡>E的對應(yīng)角相等，

LABC知LADE只有N4與N4這一組對應(yīng)角相等，

??.不能判定2ABC和LADE相似，

故B不符合題意；

vZABC=ZADE,NA=NA,

'△ABCs^ADE,

故C符合題意；

???空=繪，4=/力，不符合“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”這一判定定理的條件，

AEDE

?.也當(dāng)=空，乙4=/人不能判定A44C和WOE相似，

AEDE

故D不符合題意，

故選：C.

題型十四相似三角形的判定綜合

17.（24-25九年級上?河南鄭州?期中）如圖，在△48C中，4=78。，48=6,AC=9.將△/BC沿圖示中的虛線剪

開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

18

A.B.

78°淤

【答案】D

【知識點】相似三角形的判定綜合

【分析】本題考查的知識點是相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形判定的方法.

根據(jù)相似三角形的判定方法對選項進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A選項，陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，A選項錯誤；

B選項，陰影部分三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意，B選項錯誤；

。選項，W=T4=4,兩三角形有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意，C

選項錯誤；

D選項，夾角相等但夾角兩對?應(yīng)邊比例不相等，故兩三角形不相似，符合題意，D選項正確.

故選：D.

18.（23-24九年級上?全國?單元測試）己知，中，ZJC5=90°,點，在4C上，且線段于。，BC

的延長線與?！ǖ难娱L線交于點，求證：XAHDsXEBD.

【答案】證明見解析

【知識點】垂線的定義理解、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、相似三角形i勺判定綜合

19

【分析】本題考查r垂直定義、三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；

首先由垂直得到90。的角，得//?！?乙4。8=90。，再證=從而得出結(jié)論.

【詳解】證明：.：HD上AB于D,

AZADH=90°,

,?Z+N4HD=90°,

???NACB=90°,

???Z.A+NB=90°,

:./B=/AUD,

???4?！?4c8=900,

:?△AHDSREBD.

題型十五相似三角形實際應(yīng)用

19.（24-25九年級上?福建泉州?期末）小孔成像是光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播形成的一種物理現(xiàn)象.兩千四百多年前,

我國學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實驗的做法與成因.圖I是小孔成像實驗圖，抽象為數(shù)學(xué)模型如圖2所

示.己知力。與6。交于點O,AB//CD.若點。到46的距離為10cm,點。到C7）的距離為15cm,蠟燭火焰44的高

度是2cm,則蠟燭火焰倒立的像。的高度是（）

圖I圖2

A.2cmB.—cmC.3cmD.4cm

2

【答案】C

【知識點】相似三角形實際應(yīng)用

【分析】根據(jù)43〃。，得“OSCOD,得到黑=9=：,代入計算解答即可.

20

本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?:AB//CD、

CAOBSACOD,

???點。到"的距離為10cm,點。到8的距離為15cm,蠟燭火焰43的高度是2cm,

AB102

----————,

CD153

22

-----=—,

CD3

解得CO=3（cm）,

故選：C.

2().(24-25九年級上?吉林長春?階段練習(xí))如圖所示，我校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿8E測量建筑物的高度，已知標(biāo)桿8E

高為2m,測得Z8=4m,3C=12m,求建筑物CO的高.

□

□

□

【答案】8m

【知識點】相似三角形實際應(yīng)用

【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得

△ABEsfCD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：BEHCD,

.??△/AX—△AC。，

ABBE

~AC~CD

vAB=4m,BC=12m,BE-2m,

AC=16m,

21

ACBE

：.CD==8m.

AB

題型十六證明三角形的對應(yīng)線段成比例

21.（九年級上?上海閔行?期末）兩個相似三角形的面積之比是9:25,其中較大的三角形一邊上的高是5厘米,

那么另一個三角形對應(yīng)邊上的高為厘米.

【答案】3

【知識點】證明三角形的對應(yīng)線段成比例

【分析】把面積之比轉(zhuǎn)換成相似比，在通過比例求出高

【詳解】?.?兩個三角形面積比為9:25

???兩個三通形相似比為3:5

設(shè)：另一三角形對應(yīng)邊上的高為x

x3

=解得X=3

故答案為：3

【點睛】本題考查相似比和面積比的應(yīng)用，掌握他們的區(qū)別是本題關(guān)健.

22.（九年級?全國?專題練習(xí)）在△/BC中，。為4C上的一點，石為C8延長線上的一點，BE=AD,DE交AB于

F.求證：EFxBC=ACxDF

【答案】見解析

【知識點】相似三角形的判定綜合、證明三角形的對應(yīng)線段成比例

【分析】過。作QG〃8C交力8于G,證明和△EF8相似，△/1QG和△川?C相似，列出比例式變形，比較,

即可解決問題.

乙乙

【詳解】證明：過。作。G//4C交48于G,則△。/G和△￡/加相似,

DGDF

--=---，

BEEF

BE=AD，

DGDF

??布一而‘

由DG!IBC可得4ADG和AABC相似,

DGADDGBC

---=——：!]——=——,

BCACADAC

??.EFxBC=ACxDF

【點睛】本題考查了相似三角形的證明和性質(zhì)的使用，熟知以1:知識是解題的關(guān)鍵.

題型十七利用相似三角形的性質(zhì)求解

23.（22-23九年級上?浙江金華期中）在△力3C中，M點在45上，N點在力C上，且A/4=4,49=12,

AC=\6.如圖所示，若與△力C8相似，則4N的長是.

【答案】亍或6

【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解

【分析】此題考查相似三角形的性質(zhì)，題目只說兩個三角形相似并沒有說明對應(yīng)角，應(yīng)該分兩種情況討論.根據(jù)題意可得AA4cs

23

或△區(qū)4CSAN4W,3?=坦或也=速丫，然后利用比例的性質(zhì)求出4M即可.

ABACACAB

【詳解】解：???△/MN與△48C相似，

而NBAC=/MAN,

若ABAC^MAN,

AMANAn-DMAN

則即

~ABACAB

解得4N=-；-；

3

若ABAC-ANAM,

史￡=史二即坐型=則

'ACABACAB

解得4W=6：

32

綜上所述，4V的長為石或6.

故答案為5或6.

24.(24-25九年級上?陜西榆林?階段練習(xí))兩個相似三角形某一對應(yīng)角的角平分線的比為2:3,其中一個三角形的周

長比另一個三角形的周長小4cm.求這兩個三角形的周長.

【答案】這兩個三角形的周長為8cm和12cm

【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解

【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，對應(yīng)角的角平分線的比等于相似比

求解即可.

【詳解】解：設(shè)較小的三角形的周長為xcm,則較大的三角形的周長為(x+4)cm,

???兩個相似三角形對應(yīng)角平分線的比為2:3,

兩個相似三角形的相似比為2:3,

???兩個相似三角形的周長比為2:3,

24

.?.x:(x+4)=2:3,

解得x=8,則x+4=12,

故這兩個三角形的周長為8cm和12cm.

題型十八相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

25.（2025?湖南?模擬預(yù)測）如圖,。是的邊AC上一點，AB=2,AD=\,ADAC=AB.若△44。的面積為

6,貝h/CO的面積為（）

A.6B.2C.3D.4

【答案】B

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

根據(jù)mC=HNC="得△9C,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得差=（聾）2*則士g即可得.

【詳解】解：?:/DAC=/B,ZC=ZC,

△40cs△84。,

AB=2,AD=1,

S“啄_/Dy=[

S.J而一?

F"3

SGACD-]SA/BD=2,

故選：B.

題型「九利用相似求坐標(biāo)

25

26.（海南?？谝荒＃┤鐖D，在中，Z^C8=90。，邊5c在x軸上，頂點48的坐標(biāo)分別為（-2,6）和（7,

0）.將正方形。。。￡沿X軸向右平移，當(dāng)點￡落在力4邊上時，平移的距離為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【知識點】利用相似求坐標(biāo)

【分析】根據(jù)已知條件得到力C=6,OC=2,08=7,求得4c=9,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到O6=OC=O￡=2,求得

OE=（yC=2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到80，=3,于是得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，設(shè)正方形。'COE是正方形OCOE沿x軸向右平移后的正方形，

???頂點力，8的坐標(biāo)分別為(-2,6)和(7,0),

：.AC=6,OC=2,08=7,

???8C=9,

???四邊形OC力七是正方形，

:.DE=OC=OE=2,

.?.OE=O'C=2,

26

???ESBC,

."OE=N4C4=90°,

.??E'O'imC,

:ABOEFBCA,

EVBO'

\4C~~BC，

2BO'

??,

69

:.B0=3,

.?.00=7-3=4,

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

題型二十在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

27.(24-25九年級上?浙江金華?期中)如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，點4B,C均在格點上，請按要求作圖.

圖1圖2

(1)在圖1中畫一個格點△力OE,使△力?！?△月BC.

(2)在圖2中畫一條格點線段〃P,交力C于點Q,使。。=2力。.

【答案】(1)作圖見解析

(2)作圖見解析

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

【分析】本題主要考食了作相似三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定,

對于（1）,延長至。，使力。=2/8,延長力。至￡使力￡=24C,連接則△〃）￡是所求作的三角形.由

-^-=^-=—,Z.A=Z.A,可得△力8cs△力。￡；

ADAE2

對于（2）,在圖中取點P,使。尸=2,連接8P,交AC于點、Q,由。尸〃48,得ACPQS△力BQ,進(jìn)而得出

^CQ=—CP=C2,所以CQ=240.

AQA15

【詳解】（1）如圖所不.

（2）如圖所示.

題型二十一相似三角形——動點問題

28.（24-25九年級上?甘肅張掖期中）如圖，RtZX/18C中，乙4cB=90°,ZABC=60°f5C=2cm,。為8c的中點,

若動點E以lcm/s的速度從A點出發(fā)，沿48向8點運動，設(shè)￡點的運動時間為f秒，連接。E,當(dāng)以8、D、E為頂點

的三角形與△力臺。相似時，，的值為（）

A.2或3.4B.3.5或3.2C.2或3.5D.3.2或3

28

【答案】C

【知識點】相似三角形——動點問題、含3()度角的直角三角形

【分析】此題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì).此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

由RtZX/BC中，N4CB=90。,乙48c=6()。，BC=2cm,可求得力8的長，由。為〃C的中點，可求得8。的長，然后

分別從若/。￡8=90。與若ZTO8=90。時，去分析求解即可求得答案.

【詳解】解：???山△/18C中，ZACB=90°,ZABC=60°,BC=2cm,

?.AB=IBC=4(cm),

vBC=2cm,￡＞為BC的中點,動點￡以Icm/s的速度從A點出發(fā),

/.BD=:BC=l(cm),BE=AB-AE=4-/(cm),

若/BED=90。,

???/力8c=60°,

/./BO"=30。，

/.BE=gBD=；(cm),

.-.AE=AB-BE=4--=3.5

2

/.t=3.5,

若NBQE=90。時，

vZABC=60°,

/.NBED=30°,

/.BE=2BD=2(cm),

:.AE=AB-BE=4-2=2

/./=2?

29

綜上可得：r的值為2或3.5.

故選：C.

題型二十二重心的有關(guān)性質(zhì)

29.（24-25九年級上?河北邢臺?階段練習(xí)）如圖，月。經(jīng)過△力4。的重心，點E是力。的中點，過點E作KG〃4C交

于點G,若BC=16,則線段GE的長為（）

A.6B.4C.5D.3

【答案】B

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、重心的有關(guān)性質(zhì)

【分析】本題考查的是重心的概念和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)重心的概念得到點。為8c中點，求出CO的長，再根據(jù)平行證明A/GE-A/。。，結(jié)合點E是力C中點，得到

嘴=騎=；，從而求出GE.

ACCD2

【詳解】解：???力。經(jīng)過△力8c的重心，

.??點。是8c中點，

v5C=16

：.CD=BD=、BC=8

2

-EG//BC,

:.AAGEstADC

?.?點E是4C中點,

30

AEGE1GE1

——=——=—,1[I1(1I——=-

ACCD282

解得：GE=4

故選：B.

題型二十三相似三角形的綜合問題

30.（23-24九年級上?廣東佛山?期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框

架.其中第九卷，主要講述了以測量問題為中心的直角三角形三邊互求的關(guān)系.其中記載：“今有邑，東西七里，南北

九里，各中開門，出東門一十五里有木，問：出南門兒何步而見木？”

譯文：“今有一座長方形小城，東西向城墻長7里，南北向城墻長9里，各城墻正中均開一城門.走出東門15里處有

棵大樹，問走出南門多少步恰好能望見這棵樹？”（注：1里=300步〕你的計算結(jié)果是：出南門（）步而見木.

A.205B.215C.305D.315

【答案】D

【知識點】相似二角形的綜合問題

ARAC

【分析】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用問題，證明A-CQE,得到五=蕨，求出小的長即可得到答案，熟練

運用相似三角形的性質(zhì)與判定是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：4。=4.5里，8=3.5里，48=15里,

如圖，

ACLAB,DEICD,ACLCD,經(jīng)過。點,

:.CD//AB,AC//DE,

ZCDE-ZBAC-90°,NDEC=N/CB,

31

.,.△BACSACDE,

ABAC

：.——=——,

CDDE

?."=4.5里,CO=3.5里，48=15里,

154.5

'--=---，

3.5DE

/.。E=1.05里，

vl里=300步,

.?.1.05x300=315步，

出南門315步而見木,

故選：D.

題型二十四位似圖形的識別

【答案】A

【知識點】位似圖形的識別

【分析】本題考查的是位似圖形，兩個圖形不僅是相似圖形，而且時應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那

么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.根據(jù)位似圖形的定義判斷即可.

【詳解】解：選項A的圖形屬于位似圖形，符合題意；

選項B、C、D的圖形都不屬于位似圖形，不符合題意：

32

故選：A.

題型二十五判斷位似中心

32.（24-25九年級上?河北唐山?期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，MBC與QEF（其頂點都在該網(wǎng)格的格點上）是位

似三角形.若取格點K,O,R。，則這兩個三角形的位似中心是（）

A.點PB.點。C.點。D.點K

【答案】B

【知識點】判斷位似中心

【分析】本題考查了位似變換，掌握確定位似圖象的位似中心的方法是解題的關(guān)鍵.

連接對應(yīng)點，對應(yīng)點所在的直線相交于一點，即為位似中心，據(jù)此進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：與（（其頂點都在該網(wǎng)格的格點上）是住似三角形，

.??如圖：連接CF,

則6E,CF,相交于一點0，

這兩個三角形的位似中心是點Q.

故選：B.

題型一十六位似圖形相關(guān)概念辨析

33

33.（24-25九年級上?山西太原?階段練習(xí)）如圖，已知△HZTC與AVC是以點。為位似中心的位似圖形，相似比為

2:3,下列說法錯誤的是（）

A.BC/ZB'C'B.OB':BB'=2:3

C?:C/usc=2:3D.S“，8，u:S"8c=4:9

【答案】B

【知識點】利用相似三角形的性質(zhì)求解、位似圖形相關(guān)概念辨析

【分析】本題考查位似圖形，根據(jù)位似圖形的性偵，相似三角形的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：???△彳￡。，與△ABC是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2:3,

:.BC〃BC,故A正確；

OB，.OB=2:3,故B錯誤；

C?C/HC=2:3,故C正確:

=22

S：c-SABC2:3=4:9,故D正確；

故選B.

題型二十七求兩個位似圖形的相似比

34.（2025?黑