銜接點(diǎn)01乘法公式

i學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意義和應(yīng)用

2、能夠熟練的運(yùn)用平方差公式，完全平方公式展開與化簡(jiǎn)

3、掌握立方和，立方差公式，并能靈活展開與化簡(jiǎn)

4、掌握三數(shù)和公式展開過程，并能靈活應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、初中知識(shí)再現(xiàn)

(1)平方差公式：5+?(。-6)=/一注意公式的正逆應(yīng)用.

(2)完全平方公式：=/±23)+//

(3)高頻應(yīng)用方式：

①X?+/=(x+y)2-2xy

②+y2_(x_y)2+2Xy

③——4個(gè)

④(工一/？=(x+y)2-4xy

⑤(x+?+(i)2=2(x2+/)

⑥(x+J)?-(x-JO?=4xy

2、高中相關(guān)知識(shí)

(1)立方和公式：x3+/=(x+y)(x2-xy+/)

(2)立方差公式：x3-y3=(x-j^)(x2+xy+y2)

(3)兩數(shù)和立方公式：(x+y)3=/+3x\y+3書，+y3

過程：(%+4=(x+y)(x+y)2=(x+y)(x2+2xy+y2)=x3+3x2y+3x)^2+y3

(4)兩數(shù)差立方公式：(工一＞)3=丁-3/^+3町/-歹3

過程：(x+?=(x+y)&+y)2=(x+y)(x2+2xy+y2)=xy+3x2y+3x)^2+y3

(5)三數(shù)和平方公式：(x+y+z)2=/+j，+z?+2(Ay+yz+x2)

過程：(x+y+z)?=((x+y)+z)2=(x+y)2+2(x+y)z+z2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)

對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)

對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：平方差公式的應(yīng)用

典型例題

例題1.(23-24七年級(jí)下浙江杭州?期中)一個(gè)長(zhǎng)方形的寬為2?兒長(zhǎng)為2x+y,則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是

()

A.4x2-y2B.4x2+y2C.2x2D.2x2+y2

【答案】A

【分析】本題主要考查平方差公式的應(yīng)用，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.根據(jù)長(zhǎng)方形的面積

公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：由長(zhǎng)方形的面積公式可得，(2x+)，)(2x-/=4/一/

故選：A.

例題2.(23-24七年級(jí)下遼寧錦州期中)下列各整式乘法能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(/〃+〃)(〃一/〃)B.(〃i+”)(一〃[-〃)

C.(〃?一〃)(〃-/〃)D.(〃?+〃)(〃+/〃)

【答案】A

【分析】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的

前提.根據(jù)平方差公式的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.(〃?+〃)(〃-〃?)=〃2一〃?2,能用平方差公式計(jì)算，因此選項(xiàng)A符合題意；

B.(〃+〃)(-〃?-〃)=-(加+〃)2,能用完全公式計(jì)算,因此選項(xiàng)B不符合題意;

C能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)C不符合題意；

D.(〃?+〃)(〃+〃7)=W+〃):能用完全公式計(jì)算，因此選項(xiàng)D不符合題意；

故選:A

2

例題3.(2023?浙江麗水模擬預(yù)測(cè))先化簡(jiǎn)，再求值：4(x-2)-(2x+l)(2x-l)t其中x=-l.

【答案】-16x4-17,33

【分析】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序先

根據(jù)完全平方公式和平方差公式將題目中的式子展開，再合并同類項(xiàng)，最后將光的值代入化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算

即可.

【詳解】解：4(X-2)2-(2X+1)(2X-1)

=4(x2-4x+4)-(4x2-1)

=4X2-16X+16-4X2+1

=-16x+17,

當(dāng)犬=一1時(shí)，原式=76x(7)+17=33.

精練

1.(23-24七年級(jí)下四川成都?階段練習(xí))下列不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(x+y)(x-y)B.(r+y)(x-y)

C.(-x+y)(T-y)D.(-x+y)(v+yl

【答案】B

【分析】本題考查平方差公式：(。+〃)(。-〃)=。2一/,解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是

兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，目?jī)蓚€(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)耳為相反數(shù)；右訪是兩項(xiàng)的平方差(相同項(xiàng)的平方

減去相反項(xiàng)的平方)；公式中的。和可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.據(jù)此依次對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可作

出判斷.

22

【詳解】解：A.(x+y)(x-y)=x-y,能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；

2

B.(-x+Jv)(x-y)=-(x-J0(^-v)=-x+2xy-/,不能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)符合題意；

22

C.(-x+^)(-x-^)=(-x)-/=.r-/,能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.(r+y)(“+y)=(y-K)(x+y)=y2-能用平方差公式計(jì)算，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

2.(23-24六年級(jí)下?山東泰安?階段練習(xí))已知x+y=4,?-/=20,貝.

【答案】5

【分析】本題考查了平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)事解決本題的關(guān)鍵.

利用平方差公式/一V=(x+N)a-y),代入x+y=4即可算出.

【詳解】解：由一一/=(工+力(1一力=20

把x+y=4代入得4(x_j，)=20

x-y=5.

故答案為：5.

3.(2024?吉林長(zhǎng)春一模)先化簡(jiǎn)，再求值：5+2)(“-2)+〃(1-〃)，其中。=2024.

【答案】a-4.2020

【分析】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式.熟練掌握整式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式是解題的關(guān)鍵.

變形后根據(jù)完全平方公式(?！琅c=/±2"+〃即可解答.

【詳解】解：設(shè)x-2024=〃，

/(x-2023『+(x-2025)2=26,

「?(4+1『+(〃-1)2=26.

?'(!''+2a+1+“’—2a+1=26,

?1-2/+2=26,

/二12,

(x-2024)2=12,

故選：C.

例題3.(23-24七年級(jí)下四川成都?階段練習(xí))讀材料，解答下列問題：

若(x-l)(5—x)=3,求(x-iy+(5—J的值.

小明的解題方法：

v(x-l)(5-x)=3,5X-X2-5+X=3.:.X2-6X=-S

A(X-I)2+(5-X)2=X2-2X+1+25-10X+X2=2X2-12X+26=2(X2-6JT)+26=10.

小亮的解題方法：

設(shè)：x-\=a,5-x=b,貝IJ(x-l)(5-x)="=3,tz+/)=x-l+5-x=4

(X-1)2+(5-A)2=a2+Z?2=[a+b)2-2ab=42-2x3=\0.

⑴任選材料中一種方法解答：若(10-療+卜-8『=124,求(10r)(x-8)的值；

(2)如圖L長(zhǎng)方形力8C。空地，/8=15米，8c=12米，在中間長(zhǎng)方形EFG”上安放雕塑，四周剩余的寬

度相同，設(shè)該寬度為x米，則長(zhǎng)方形MG"中，EF=_米,內(nèi)G=_米(用含x的代數(shù)式表示)；

⑶在(2)的條件下，如圖2,以長(zhǎng)方形EPG”四邊為直徑在形外做半圓，在四個(gè)半圓里種花，若長(zhǎng)方形EFGH

的面積為30平方米，求種花的面積.(結(jié)果保留TT)

【答案】(1)-60

⑵(15-2力，(12-2x)

⑶丁平方米

【分析】本題綜合考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握公式的形式是解題關(guān)鍵.

(1)設(shè)機(jī)=10-x,〃=x-8,則用2+1=124,〃?+〃=2；根據(jù)2〃?〃=(小+〃)2-(〃/+〃2)即可求解；

(2)根據(jù)石尸=月8-左、尸G=^C-2x即可求解；

(3)由題意得上產(chǎn)/6=30、EF-FG=3,可得EF2+FG?=(EF-FG?+2EF?FG=69,根據(jù)種花的面積

jx乃+(與jx乃即可求解

【詳解】(1)解:設(shè)機(jī)=10—x,〃=x—8,

則m2+n2=124.m+n=2,

Inin=(ni+n)~-(w2+//21=-120

(10-x)(x-8)=/w/72=-60；

(2)解：由圖可知：EF=AB-2x=(15-2x)(米)；

FG=BC-2x=(l2-2x)(米);

故答案為：(15—2x),(12—21)

(3)解：由題意得：EFFG=30

由(2)可得：EF-FG=3

EF2+FG2=(EF-FG)2+2EFFG=69

.他沙出曲包(EF\"(FG、2EF2+FG269/近亡小、

種花的面積=——X/T+——乂兀=---------冗=—(平方米)

??I2)I2/44

精練

1.(23-24七年級(jí)下黑龍江大慶階段練習(xí))仔細(xì)觀察下圖，依據(jù)圖形面積間的關(guān)系，不添加輔助線，便可

得到一個(gè)熟悉的公式，這個(gè)公式是()

A.(x-j^)2=x2-xy+y1B.(x-y)2=x2-2xy+y2

C.(x+y)2=x2+2xy+y2D.(x+j)2=x2+y2

【答案】C

【分析】此題主要考查完全平方公式的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法進(jìn)行求解驗(yàn)證.

根據(jù)兩次求面積的方法即可求解.

【詳解】正方形的面積可以表示為(x+y)\

正方形的面積還可以表示為r+2孫+/,

(x+J')2=x2+2xy+y2.

故選：C.

2.(2023?吉林四平模擬預(yù)測(cè))光化簡(jiǎn),再求值：(a+3b)(2"b-『其中a=-2,b=-l.

【答案】9必-5/13

【分析】本題考杳整式運(yùn)算中的億簡(jiǎn)求值,先計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.完全平方公式,再合并卮類項(xiàng).化簡(jiǎn)

后，代值計(jì)算即可.

【詳解】解：^=2a2-ab+6ah-3b2-2(a2-2ab+b2)

=2a2-ab+6ab-3〃-2a1+4ab-2b2

=9ab-5b2,

當(dāng)a=-2,b=-\時(shí)，

原式=9X(_2)X(7)-5X(T)2

=13-5

=13.

3.(2023?海南海口模擬預(yù)測(cè))(1)計(jì)算：—P2、2-2+(兀一3)。—百；

(2)化簡(jiǎn)2(。-3).

【答案】⑴-2(2)/+7

4

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算及完全平方公式的應(yīng)用，解題時(shí)要能熟練運(yùn)用.

(1)依據(jù)題意，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得解.

(2)利用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算即可得解.

20232

【詳解】解：⑴-1+2-+(^-3)°->/9

=_1+1+1-3

4

11.

二一了‘

(2)(a+1)2-2(a-3)

=a~+2a+\-2a+6

=a2+7-

對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的應(yīng)用

典型例題

例題1.(23-24八年級(jí)上?北京?期中)閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平

方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：立方和公式：

X3+j3=(x+y)(.v2-xy+y2)；立方差公式：x3-/=(x-^)(A-2+x)^+y2)；根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，化簡(jiǎn)

0一x：2x+4結(jié)果為；當(dāng)》=3時(shí)分式的值為.

x--2xx-8

2

【答案】-2

x-2

【分析】先利用/73=(》_),)(/+中+),2)將后式的分母化簡(jiǎn)，然后約分，最后進(jìn)行減法運(yùn)算，代入X=3,

計(jì)算即可.

【詳解】原x(x-2)式(x-2)(,v+2x一+4)、

31

2

二口’

2

把工=3代入原式三-2.

3-2

故答案為：三2，2.

x-2

【點(diǎn)睛】本題主要考分式加減以及化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題.熟練掌握分式加減的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

例題2.(23-24八年級(jí)上?山東淄博期中)楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家.楊輝研究了二項(xiàng)式定

理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立方差、三數(shù)的立方和等公式.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公

方法式的基礎(chǔ)上，可以對(duì)式子。3-〃進(jìn)行如下推導(dǎo)：

提取a3-b3

=ay-a2b+a2b-by

=tz2(a-Z))+Z)(a2-62)

=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)

=(a-b)^a2+h[a+b)~^

=(a+〃/)+〃).

對(duì)于/-/=包-3⑺+帥+⑹，稱為立方差公式.

公式(1)請(qǐng)參考“立方差公式”的推導(dǎo)過程推導(dǎo)立方和公式：.

推導(dǎo)

(2)請(qǐng)靈活運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解：

學(xué)以O(shè)X3-27=_；

致用②8"擊=-,

33

Ani+nnr-n

Mtn~，-mn+n，?m~2-c+n"，

【答案】(1)a'+b3=(a+/?)(?2-ab+b2)；(2)1(.v-3)(x2+3.V+9)；！22-W++/

③州一〃

【分析】本題主要考查了因式分解和分式的化簡(jiǎn)，

(1)公式推導(dǎo)原式利用立方和定義分解即可；

(2)①原式利用立方差公式分解即可；②原式利用立方和公式分解即可；③利用立方和公式、完全平方公

式和平方差公式進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：(1)43+/=/+。26一/6+/=。2(。+與一可/一〃)

=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(q+/))[a2—b(a—8)]

=(,+〃)(/_"+/);

(2)①原式=(x-3)(/+3x+9);

.=(2孫+{im21Tl

③原式J"〃乂〃+叫X,、=，”〃,

m~-mn+n~(w+〃)(m-n)

例題3.(23-24八年級(jí)上河南信陽期末)閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完

全平方公式以外，還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下:

立方和公式：X3+/=(A;+^)(X2-A7+/)；

立方差公式：/一_/=(工—力(工2+個(gè)+/)

根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)解決下列問題

⑴因式分解：-8；

’3Tx?+2T+4)2

⑵先化簡(jiǎn)，再求值：ArA其中x-3.

(x-2xx-8)x-4

【答案】⑴(a-2*/+24+4)

(2)x+2,5

【分析】(1)根據(jù)材料給出的立方差公式，分解因式即可；

(2)根據(jù)材料給出的立方差公式，先對(duì)分式進(jìn)行因式分解，化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后

的式子即可解答本題.

【詳解】⑴)原式=(。-2乂/+2〃+4)

(公庫________+2x+4(x+2)(x-2)

2

⑷際亂]可二②(x-2)(x+2x4-4)j2

=O_____1](x+2)62)

[x-2x-2)2

:2(X+2)(X-2)

x-22

=x+2.

當(dāng)工=3時(shí)，原式=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了公式法分解因式、分式化簡(jiǎn)求值，掌握立方差公式的應(yīng)用，讀懂材料是解題關(guān)鍵.

例題4.(23-24八年級(jí)上江西南昌期末)請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

楊輝，南宋杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝研究了二項(xiàng)式定理，并根據(jù)此定理研究了兩數(shù)的立方和、立

方差、三數(shù)的立方和等公式。兩數(shù)的立方差公式是：涼-〃二(a-b)(屋+"+〃),這個(gè)公式的推導(dǎo)過程

如下：a，?〃=a3-a2b+a2b-b3-a2{a-b)+b(a2-b2)-a2[a-b)+b(a+b)(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2).

⑴利用上述方法推導(dǎo)立方和公式/+〃=(a+力)(a2-ab+b2)(從左往右推導(dǎo))；

(2)已知a+b=1,a6=-1,a>b,求*+〃，〃的值

【答案】(l)(a+/>)(a2-cib+b2)

(2)3；245

【分析】(1)仿照材料給出的推導(dǎo)過程，將/+/分成步+/匕,〃%+川,即可求解；

⑵根據(jù)〃+力=1,nh=-l.利用完全平方公式即可求出/+〃2=3,進(jìn)而可求出依據(jù)〃>/).可得

a-b=E貝IJ依據(jù)材料中/-/=("方)“/+"+/)即可求解.

【詳解】(1)/+/

=ay+a2b-a2b+b'1

=a'(a+b)-b(^a2-b2)

=a2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)^a2-ab+b2)；

(2)a2+/?2=(a+/?)'-2ab,a^b-1,ab=-l,

?'.a?+力2=(“+力)2—2az>=/一2x(—1)=3；

(a-b)~=a2-2ab+b2,

「?(a-b^=a2-2ab+b2=a2+b2-2ab=3-2x(-l)=5,

b,

a-b=\/5.

???a3-b3

=(a-6)(a2+ab+b2^

=^x(3-l)

=275.

即/+〃=3,a3-b3=2x/5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，靈活運(yùn)用材料給出的推理過程是解答本題的

關(guān)鍵.

精練

1.(23-24七年級(jí)上上海松江期中)利用多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算：

(a-b)(a2+ab+b2)=

在多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面計(jì)算結(jié)果作為結(jié)論逆運(yùn)用，則

成為因式分解中的立方和與立方差公式.

已知〃-/)=2,辦=1,利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，以及立方和與立方差公式，解決下列問題：

(2)a?+〃=_；(直接寫出答案)

⑶/—/=_；(直接寫出答案)

⑷ab+b6=_；(寫出解題過程)

y

【答案】(1)a+b\af3；(2)6；(3)14；(4)198

【分析】(1)根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則展開計(jì)算即可；

(2)利用完全平方公式變形，再代入求值；

(3)利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；

(4)利用立方差公式和完全平方公式變形，再代入求值；

【詳解】解：⑴(a+b){a2-ab+b2)

--a2b+ab2+a2b-ab2+b3

=a3+by

(a-b)(a2+ab+b2)

=a+a2b+ab2-a2h-ah2-by

二八火

故答案為：。、氏下一廿;

(2)af

-(a+2ab

二2：+2x1

=6；

(3)a3-b3

=(a-b)^a2+ab+b2

二(Q-of+

=2x(22+3xl)

=14；

⑷a6+b6

224224

=(a^b)(a-ab+b)

二[(a-b)2+2dbi](a2+b2^-3a2bz

=(22+2xl)(62-3)

=198

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵.

2.(23-24七年級(jí)上上海普陀階段練習(xí))多項(xiàng)式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，還

有立方和公式與立方差公式如下：

立方和公式：(。+力)(/+"+&[)=/+3

立方差公式：(4一8)(/+，必+〃)=/一/

如果把公式逆運(yùn)用，則成為因式分解中的立方和與立方差公式.

根據(jù)以上材料，請(qǐng)完成下列問題：

(1)因式分解：，+/

(2)因式分解：a6-b6

(3)已知：a+b=3,H=l,d+Z)6的值

【答案】(1)(a+b)(a'-ab+b。(a°-aV+bb)；(2)(a-b)(a+b)(a'+a'b'+b。.(3)322

【分析】根據(jù)已知條件中的公式分解即可.

【詳解】(1)因式分解：a9+b9

=(a3)3+(b3)3

=(a3+b3)(a6-a3b3+b6)

=(a+b)(a2-ab+b2)(a'-a3b3+bG)；

(2)因式分解：a'-t/

=(a2)3-(b2)3

=(a2-b2)(a4+a?b2+b4)

=(a-b)(a+b)(a4+a2bz+1))；

(3)va+b=3,ab=1,

???a2+b2=(a+b);-2ab=7,

/.a6+b6=

(a2+b2)(a4-a2b2+b4)

=[(a+b)2-2ab][(a2+b2)2-2a2b-a2b2]

=7x(49-3x1)=322.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，正確的理解已知條件中的公式是解題的關(guān)鍵.

3.(23-24七年級(jí)上?全國(guó)?單元測(cè)試)閱讀理解題：

拆項(xiàng)法是因式分解中一種技巧較強(qiáng)的方法，它通常是把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，再分組分解，因而有

時(shí)需要多次實(shí)馳才能成功.例如捏3/+4分解因式，這是一個(gè)三項(xiàng)式，最高次項(xiàng)是三次項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)

為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應(yīng)用公式，因而考慮制造分組分解的條件，把常數(shù)項(xiàng)拆成1

和3,原式就變成(丁+1)-(3.——3),再利用立方和與平方差先分解，解法如下：

原式=1+1-(3。-3)=(x+1)口-1>3卜+1-1)

=(x+l)(x2-x+I-3x+3)=(x+l)(x-才

公式：a^+b3=(a+b)(a2-ab+b2),a3=(a-b)(a2+ab+b:)

根據(jù)上述論法和解法，

(1)因式分解：d+x2—2；

⑵因式分解：X3-7X+6；

(3)因式分解：x4+x2+\.

【答案】⑴(x-。(丁+2x+2)；(2)(x-l)(x+3)(x-2)；(3)(x2+x+l)(x2-x+1)

【分析】(1)將原式拆成(/-I)”/-1),然后分別利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式X-1

即可；

(2)將原式拆成/-1-7>+7,然后前兩項(xiàng)利用立方差公式因式分解，后兩項(xiàng)提取公因式即可確定答案；

(3)將原式拆成(/+2/+1)-/，然后利用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：⑴X3+X2-2=(/-1)+(X2-1)

=(,V-1)(X2+X+1)+(x-l)(X+l)

=(x-l)(x2+2x+2)

(2)?-7X+6=X3-1-7X+7

=(x3-l)-7(x-l)

=(x-l)(x2+x+1)-7(x-1)

=(X-1)(X2+X+6)

=(x-l)(x+3)(x-2)

(3)/+/+1=(/+2/+1)-/

=任+1)」

=(x2+l+x)(x2+l-x)

=(x2+x+1)12-x+1)

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀題目，從題目中得到因式分解的方法，難度

不大.

4.(23-24?湖南湘潭?)閱讀材料：運(yùn)用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，還

可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3+/=(x+^)(x2-A7+/)；

立方差公式：x3-y3=(x-y)[x2^xy+y2)；

根據(jù)材料和已學(xué)知識(shí)，先化簡(jiǎn)，再求值：々一，+產(chǎn)+4，其中x=3.

X2-2X?-8

【答案】2

【分析】根據(jù)題目中的公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題.

【詳解】解：々一-”；2工+4

x--2xx3-8

3xx2+2x+4

x（x-2）（X-2）（X2+2X+4）

31

2

2

當(dāng)工=3時(shí)，原式=丁二=2

3-2

【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法.

綜合演練

第01講乘法公式（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24六年級(jí)下山東泰安?階段練習(xí)）下列等式能夠成立的是（）

A.（2x-y）2=4x2-2xy+y2B.（x+y）2=x2+y2

C.f-?=—a2—ab+b2D.f—+x=-^-+x2

（2J4lx）x1

【答案】C

【分析】本題主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵：（?！?『=片±2岫

【詳解】解：A.（2x-y）2=4x2-4xy+y2,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、（x+y）2=F+2h+產(chǎn)，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、%2_必+乩原式計(jì)算正確，符合題意；

D、（（+xj=±+2+/,原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

2.（23-24七年級(jí)下.福建漳州.階段練習(xí)）下列乘法中，能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算的是（）

A.(a+b)(-a-b)B.(-/)+w)(w-/?)

C.(x-Z))(x-Z>)D.(x+a)(x-q)

【答案】D

【分析】本題主要考查平方差公式，根據(jù)平方差公式的形式：(”+6)(。-6)=。2一從，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】A、(。+優(yōu)(-"/>)=-(“+6)(。+6),該選項(xiàng)不符合題意：

B、(-b+m)(m-b)=(m-b)(m-b),該選項(xiàng)不符合題意；

C、該選項(xiàng)不符合題意；

D、(x+〃)(x-。)符號(hào)平方差公式，該選項(xiàng)符合題意.

故選：D

3.(23-24八年級(jí)上貴州黔南?階段練習(xí))在邊長(zhǎng)為。的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形>方)(如

圖甲)，把余下的部分拼成一個(gè)矩形(如圖乙)，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證等式()

aah

no

_______Ia..........步

b圖甲圖乙

A.(a+b)'=a2+2ab+b2B.(a-b)~=a2-2ab+b2

C.a~-b1=(a+/?)(t7-Z?)D.(a+b)(a-2b)=a2-ab-2b°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用，分別表示出圖甲和圖乙中的陰影部分面積，再

根據(jù)圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，即可得到答案.

【詳解】解：圖甲中陰影部分面積等于大正方形面積戒去小正方形面積，即為/一〃；

圖乙中陰影部分面積為一個(gè)長(zhǎng)為。+方，寬為a-6的長(zhǎng)方形面積，即為(<+〃)(〃-力)；

圖甲和圖乙中陰影部分面積相等，

a2-h2=(a+b)(a-b),

故選：C.

4.(23-24七年級(jí)下江西吉安.階段練習(xí))下列各式，能用平方差公式計(jì)算的是()

A.(t7-l)(l-?)B.(-a4-2)(2-t7)C.(-a+h)(a-b)D.(a+b)(-a+h)

【答案】D

【分析】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、(a-1)(1-〃)=-(〃-不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意;

B、(-。+2)(2-。)，不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；

C、(—a+b)(a-b)=-(a-b)(a-b),不能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；

D、e+6)(F+b)=-(a+6)WT)、能用平方差公式計(jì)算，符合題意；

故選D.

5.(23-24七年級(jí)下安徽宿州?階段練習(xí))下列各式，不能用平方差公式計(jì)算的是()

A.B.(-4)(-a+6)

C.(“+/)伊-a)D.(x+I

【答案】D

【分析】

此題主要考查了乘法公式，根據(jù)乘法公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A.(6/-1)(?+1)=^-1,故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；

2222

B.(-a-b)(-a+b)=(-a)-b=a-b,故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；

222222

C.(a+b)(b-a)=(b)-a=^-a,故能用平方差公式計(jì)算，不符合題意；

D.(x+＞；)(-v-j；)=-(x+^)2=-(x2+2xy+/)=-v2-2xy-y2,故不能用平方差公式計(jì)算，符合題意.

故選：D.

6.(23-24八年級(jí)上四川內(nèi)江?階段練習(xí))多項(xiàng)式9/+1加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單

項(xiàng)式不能是()

A.6xB.-6xC.±3xD.+6x

【答案】C

【分析】

此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鋌.

利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.

【詳解】

解：多項(xiàng)式9r+1加上一個(gè)一次單項(xiàng)式后是一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是±6x,不能是±3x,

故選：C.

7.(23-24八年級(jí)上山東淄博.階段練習(xí))若多項(xiàng)式/+〃a+]6是完全平方式，則〃?的值為()

A.16B.4C.±8D.±16

【答案】C

【分析】本題考查完全平方式.根據(jù)16=42可確定相是4的±2倍即可

[詳解】?/x2+mx+16=x2+mx+42

/n=zt2x4=±8.

故選：c.

8.(2023七年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí))由加(。+3+。)=〃僧+〃/可得

(a^b)(a--ab+b:)=a--a2b+ab2+a2b-ab2+bs=ay+/>',即(a+>(/一而+〃)=a'+方①,我們把等式1叫

做多項(xiàng)式乘法的立方公式.下列應(yīng)用這個(gè)立方公式進(jìn)行的變形不正確的是()

A.(x+4p)(x2-4xy4-16y2)=xy+64y*

B.(.￥+4>')(v2-4xy+16F)=x3+64./

C.-丁+27=(3-x)，+3x+9)

D.(a+l)(t72+o-l)=t73+l

【答案】D

【分析】根據(jù)立方公式及題意逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:A.(x+4yX1-4?+l6y2)=、+64y3,因此選項(xiàng)A不符合題意；

B.(x+4n)，-40+16y2)=x3+64y3,因此選項(xiàng)B不符合題意；

C.?I27-(3x)(x2I3xI9)-27因此選項(xiàng)C不符合題意；

D.(4+1)(/-4+1)=/+1,因此選項(xiàng)D符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握立方和或立方差公式是正確判斷的前提.

二、填空題

9.(23-24七年級(jí)下江蘇徐州?階段練習(xí))若./+〃a+16是完全平方式，則〃?的值是.

【答案】±8

【分析】本題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出機(jī)的值.

【詳解】解：.??f+mx+16是完全平方式，

x2+WX+16=x2+zzzx+42=X2±2?x-4+42,

nix=±8x,

)n-±8.

故答案為：±8.

10.(23-24七年級(jí)下?江蘇無錫?階段練習(xí))已知.X2-/=2023,且x-y=2023,貝h+y-

【答案】1

【分析】本題考查平方差公式應(yīng)用，根據(jù)/-〃=(4+與(4一份代入計(jì)算即可得到答案;

【詳解】解：?.?/一/=2023,"y=2023,

x-y2023

故答案為：1.

三、解答題

11.(21-22六年級(jí)下山東淄博期中)根據(jù)加e+6+c)=mq+mb+〃?c,可得

(a+b)(/+=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+