/2025-2026學年蘇科版數(shù)學九年級上冊2.4圓周角（鞏固練習）【典型例題】【例1】如圖，點A、B、C在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【例2】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BCD的度數(shù)為（）A.50° B.80° C.100° D.130°【例3】如圖，、是的弦，且，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【例4】如圖所示，是半徑為3的上的兩點．若是的中點，則四邊形的周長為______．【例5】如圖，是的直徑，是的弦，的平分線交于點D．若，，求的長．【例6】如圖，為的直徑，點、都在上，且平分，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【舉一反三】【變式1】的外接圓的半徑，則斜邊的長是（）A. B. C. D.【變式2】如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【變式3】如圖，是的外接圓，已知，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【變式4】如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【變式5】如圖，已知AB為半圓的直徑，AD為半圓的弦，C是弧BD的中點．若∠BAD＝40°，求∠ABC的度數(shù)．【變式6】如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過點C作，使得，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，求的長．【鞏固練習】1.如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）A.50° B.80° C.90° D.100°2.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，則⊙O直徑為（）A.6 B.12 C.6 D.63.如圖，AB是⊙O的弦，AB＝10，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45°，若點M、N分別是BC、AB的中點，則MN長的最大值是()A.10 B.5 C.10 D.204.如圖，AB是半圓的直徑，P是AB延長線上的一點，PC切半圓于點C，若∠CAB＝29°，則∠P等于（）A.29° B.30° C.31° D.32°5.如圖，是半圓直徑，半徑于點O，平分交弧于點D，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.已知圓的一條弦把圓周分成兩部分，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________．7.如圖，的直徑與弦的延長線交于點E，若，則__________．8.如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若，則______°9.如圖，為的直徑，點，都在上，且平分，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．10.如圖，已知，交于點B，．（1）求的度數(shù)；（2）求弧的度數(shù)．11.已知：如圖，在中，弦與相交于點，，給出下列信息：①；②是的直徑；③．（1）請在上述條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論．你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號）．判斷此命題是否正確，并說明理由；（2）在（1）的情況下，若，求的直徑．12.【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？【初步思考（1）如圖1，是的弦，，點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則______，；（2）如圖2，是的弦，圓心角，點是上不與、重合的一點，求弦所對的圓周角的度數(shù)為______；（用的代數(shù)式表示）【問題解決】（3）如圖3，已知線段，點在所在直線的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點所組成的圖形①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；【實際應用】（4）如圖4，在邊長為12等邊三角形中，點、D分別是邊、上的動點，連接、，交于點，若始終保持，當點從點運動到點時，的最小值是______．答案解析【典型例題】【例1】如圖，點A、B、C在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【例2】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BCD的度數(shù)為（）A.50° B.80° C.100° D.130°【答案】D【例3】如圖，、是的弦，且，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【例4】如圖所示，是半徑為3的上的兩點．若是的中點，則四邊形的周長為______．【答案】12【例5】如圖，是的直徑，是的弦，的平分線交于點D．若，，求的長．【答案】解：如圖，連接，是直徑，，在中，，，，是直徑，，的平分線交于點，，，，在中，，即．【例6】如圖，為的直徑，點、都在上，且平分，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明：平分，，，；【小問2詳解】解：如圖，過點作于點，為的直徑，，，平分，，，∴，，，由勾股定理得，，，，，，的半徑為12．【舉一反三】【變式1】的外接圓的半徑，則斜邊的長是（）A. B. C. D.【答案】C【變式2】如圖，是的內(nèi)接三角形，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【變式3】如圖，是的外接圓，已知，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【變式4】如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，連接．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【變式5】如圖，已知AB為半圓的直徑，AD為半圓的弦，C是弧BD的中點．若∠BAD＝40°，求∠ABC的度數(shù)．【答案】如圖，設半圓的圓心為O，連接OD，OC，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝40°，∴∠ABD＝90°－40°＝50°，∠BOD＝2∠BAD＝80°，∵C是弧BD的中點，∴∠DOC＝∠BOD＝40°，∴∠DBC＝∠DOC＝20°，∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝50°+20°＝70°．【變式6】如圖，四邊形內(nèi)接于，，，過點C作，使得，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）如圖，連接．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接．∵，∴是的直徑，∴，由（1）可得．∵，∴．∴在中，，在中，．【鞏固練習】1.如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（）A.50° B.80° C.90° D.100°【答案】D2.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，則⊙O直徑為（）A.6 B.12 C.6 D.6【答案】B3.如圖，AB是⊙O的弦，AB＝10，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB＝45°，若點M、N分別是BC、AB的中點，則MN長的最大值是()A.10 B.5 C.10 D.20【答案】A4.如圖，AB是半圓的直徑，P是AB延長線上的一點，PC切半圓于點C，若∠CAB＝29°，則∠P等于（）A.29° B.30° C.31° D.32°【答案】D5.如圖，是半圓直徑，半徑于點O，平分交弧于點D，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論的個數(shù)有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B6.已知圓的一條弦把圓周分成兩部分，則這條弦所對的圓周角的度數(shù)是________．【答案】或7.如圖，的直徑與弦的延長線交于點E，若，則__________．【答案】8.如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點E，連接AC，AD．若，則______°【答案】629.如圖，為的直徑，點，都在上，且平分，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：如圖，作于點，∴，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∴，∴的半徑為．10.如圖，已知，交于點B，．（1）求的度數(shù)；（2）求弧的度數(shù)．【答案】（1）解：連接，如圖，∵，，∴，∴，∴，而，得，∴，而，∴，∴．【小問2詳解】解：由（1）得，，又，∴∴弧的度數(shù)為．11.已知：如圖，在中，弦與相交于點，，給出下列信息：①；②是的直徑；③．（1）請在上述條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論．你選擇的條件是，結(jié)論是（只要填寫序號）．判斷此命題是否正確，并說明理由；（2）在（1）的情況下，若，求的直徑．【答案】（1）解：條件為①②，結(jié)論為③，結(jié)論正確，理由如下：連接，如圖：∵是的直徑；∴，∵∵，∴，又∵，∴；故答案為：①②，③（答案不唯一）．【小問2詳解】解：連接，，如圖：∵是的直徑；∴，∵∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，在中，，，即，∴，∴．12.【問題提出】我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？【初步思考（1）如圖1，是的弦，，點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則______，；（2）如圖2，是的弦，圓心角，點是上不與、重合的一點，求弦所對的圓周角的度數(shù)為______；（用的代數(shù)式表示）【問題解決】（3）如圖3，已知線段，點在所在直線的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點所組成的圖形①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；【實際應用】（4）如圖4，在邊長為12等邊三角形中，點、D分別是邊、上的動點，連接、，交于點，若始終保持，當點從點運動到點時，的最小值是______．【答案】（1），．故答案為：50，13