2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽發(fā)散思維試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿(mǎn)分35分）以下每道小題均給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確。設(shè)(x=\sqrt{5}-2)，則代數(shù)式(x^3+4x^2+x-1)的值為（）A.0B.1C.-1D.2對(duì)于任意實(shí)數(shù)(a,b,c,d)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((a,b))與((c,d))之間的運(yùn)算“△”：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)已知(A,B)是兩個(gè)銳角，且滿(mǎn)足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})如圖，點(diǎn)(D,E)分別在△ABC的邊AB,AC上，BE,CD相交于點(diǎn)F。設(shè)四邊形EADF的面積為(S_1)，△BDF的面積為(S_2)，△BCF的面積為(S_3)，△CEF的面積為(S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能確定設(shè)(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）A.4B.5C.6D.7二、填空題（共5小題，每小題7分，滿(mǎn)分35分）兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)(a,b)（其中(a<b<2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一枚骰子的六個(gè)面數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8。同時(shí)擲這兩枚骰子，朝上的面數(shù)字之和為5的概率是________。如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x})（(x>0)）與矩形OABC的邊CB,BA分別交于點(diǎn)E,F，且(AF=BF)，連接EF，則△OEF的面積為_(kāi)_______?！袿的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將⊙O分成的區(qū)域個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿(mǎn)足(a^3+b^3+c^3+d^3+10=100a+10b+c)，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。三、解答題（共4題，第11-13題每題20分，第14題25分，滿(mǎn)分85分）11.綜合探究題（20分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+px+q=0)的兩個(gè)根都大1，且(m+n+p+q=2025)，求(m)的值。解答要求：（1）列出兩個(gè)方程根與系數(shù)的關(guān)系；（2）通過(guò)整數(shù)根性質(zhì)推導(dǎo)參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系；（3）結(jié)合已知條件求解(m)的所有可能值。12.幾何證明題（20分）如圖，點(diǎn)H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙O?和△BCH的外接圓⊙O?相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AD交CH于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。解答要求：（1）連接輔助線BD,BH，證明∠ADB=∠HDB；（2）利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)推導(dǎo)∠HDP=∠HBD；（3）通過(guò)全等或等腰三角形性質(zhì)證明PH=PC。13.實(shí)際應(yīng)用題（20分）某物流公司計(jì)劃用無(wú)人機(jī)在矩形區(qū)域OABC內(nèi)進(jìn)行貨物配送，其中O為原點(diǎn)，OA=8km，OC=6km。無(wú)人機(jī)從O點(diǎn)出發(fā)，沿直線飛行至BC邊上的點(diǎn)E，再沿直線飛行至AB邊上的點(diǎn)F，最后返回O點(diǎn)。已知無(wú)人機(jī)飛行速度為12km/h，且AF=BF，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(8,y)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,6)。（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若無(wú)人機(jī)全程飛行時(shí)間不超過(guò)1.5小時(shí)，求x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求△OEF面積的最大值。14.開(kāi)放探究題（25分）定義：對(duì)于正整數(shù)n，若存在正整數(shù)a,b,c滿(mǎn)足(n=a^2+b^2-c^2)，且(a+b+c\leq20)，則稱(chēng)n為“和諧數(shù)”。（1）判斷10是否為和諧數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）求所有小于50的和諧數(shù)中，能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)集合M={x|x為和諧數(shù)，1≤x≤2025}，集合N={y|y=2k+1,k∈Z}，求M∩N中元素的個(gè)數(shù)。解答要求：（1）對(duì)問(wèn)題（1）需給出具體a,b,c的值或反證過(guò)程；（2）對(duì)問(wèn)題（2）需分類(lèi)討論并列舉所有符合條件的數(shù)；（3）對(duì)問(wèn)題（3）需結(jié)合數(shù)論知識(shí)推導(dǎo)一般規(guī)律，無(wú)需枚舉所有元素。四、附加題（共2題，每題15分，不計(jì)入總分，供拓展思考）數(shù)論拓展題設(shè)p是大于3的質(zhì)數(shù)，且(p\equiv1\mod6)，求證：存在整數(shù)a,b使得(4p=a^2+27b^2)。組合創(chuàng)新題在6×6的方格表中，每個(gè)小方格內(nèi)