2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽染色方法試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）圓周上等間距分布著27個(gè)點(diǎn)，它們被分別染為黑色或白色，其中任何2個(gè)黑點(diǎn)之間至少間隔2個(gè)點(diǎn)。則下列說法正確的是（）A.最多有8個(gè)黑點(diǎn)B.一定存在3個(gè)白點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形頂點(diǎn)C.黑點(diǎn)數(shù)量不可能為9個(gè)D.所有白點(diǎn)必能構(gòu)成等邊三角形將50個(gè)座位相間涂成黑白兩色，25名男生和25名女生圍坐一圈，下列結(jié)論中正確的是（）A.至少有3名女生相鄰而坐B.必存在1名學(xué)生兩旁都是女生C.男生座位不可能全為黑色D.男女交替就坐時(shí)滿足所有條件用紅藍(lán)兩色給3×9的方格表染色，每個(gè)小方格染一種顏色，則一定存在（）A.4個(gè)同色方格構(gòu)成矩形頂點(diǎn)B.至少有5列染色方式相同C.連續(xù)3列構(gòu)成的3×3子方格表中同色方格數(shù)≥5D.兩列染色方式完全相同在8×8的國際象棋棋盤上剪去一個(gè)方格后，剩余部分能被1×3矩形覆蓋的必要條件是（）A.剪去的方格位于棋盤角上B.剪去方格后剩余方格數(shù)為21×3C.三種顏色方格數(shù)滿足特定比例D.剪去方格所在行必須為偶數(shù)行用黑白兩色給4×4方格表染色，最多可涂黑多少個(gè)方格而不出現(xiàn)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)同色（）A.8個(gè)B.9個(gè)C.10個(gè)D.12個(gè)二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）線段AB兩端點(diǎn)分別為紅、藍(lán)色，中間插入10個(gè)分點(diǎn)并隨意染色，所有小線段中兩端顏色不同的"標(biāo)準(zhǔn)線段"共有______個(gè)（填奇數(shù)或偶數(shù)）。12個(gè)紅球和12個(gè)藍(lán)球排成一行，則至少存在連續(xù)______個(gè)球中恰有3紅3藍(lán)。正方體形房屋分割成27個(gè)小房間，中心房間有一只甲蟲，它每步走到相鄰房間（有公共面），若要求每個(gè)房間只走一次，則甲蟲______（填"能"或"不能"）走遍所有房間。用1×4的長方形覆蓋10×10棋盤，覆蓋方案數(shù)為______（填"0"或"正整數(shù)"）。在3×3和4×4的正方形操作中，每次將所選正方形內(nèi)所有數(shù)加1，初始時(shí)所有方格均為0，則至少需要______次操作才能使所有數(shù)都被10整除。三、解答題（共4小題，滿分60分）（14分）證明：在任何6人聚會中，必存在3人互相認(rèn)識或3人互相不認(rèn)識（用染色方法證明）。（14分）將線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)染成紅色，在線段上插入n個(gè)分點(diǎn)，隨意染成紅或藍(lán)色，已知所有小線段中共有k條"標(biāo)準(zhǔn)線段"（兩端顏色不同）。（1）求證：k必為奇數(shù)；（2）若n=2025，求k的所有可能取值。（16分）在8×8棋盤的每個(gè)方格填一個(gè)整數(shù)，定義操作：選擇3×3或4×4正方形并將其中所有數(shù)加1。（1）證明：無論進(jìn)行多少次操作，所有黑格（按特定方式涂黑的28個(gè)方格）中的數(shù)之和的奇偶性不變；（2）若初始時(shí)所有數(shù)均為1，能否通過有限次操作使所有數(shù)都被10整除？（16分）正三角形被分割成邊長為1的小正三角形網(wǎng)格（如圖所示為邊長8的情形），從某個(gè)小正三角形中心出發(fā)，能否找到一條環(huán)游路線，經(jīng)過每個(gè)小正三角形一次并返回出發(fā)點(diǎn)？（示意圖：正三角形被平行線分割成多層小正三角形，形成蜂窩狀網(wǎng)格結(jié)構(gòu)）四、附加題（共2小題，滿分20分）（10分）用四種顏色給正十二面體的頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，求使得每個(gè)面的五個(gè)頂點(diǎn)顏色各不相同的染色方案數(shù)。（10分）在無限大的方格紙上，每個(gè)方格染成n種顏色之一，證明：存在一個(gè)矩形，其四個(gè)頂點(diǎn)顏色相同。參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（部分提示）一、選擇題B（提示：27個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成9個(gè)等邊三角形，黑點(diǎn)最多9個(gè)且呈周期性分布）B（抽屜原理：25個(gè)黑色座位最多坐12名女生）D（9列染色方式共8種可能）C（三種顏色方格數(shù)需滿足1:1:1）B（構(gòu)造3×3對角線染色加額外方格）二、填空題奇數(shù)（提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明）6（利用連續(xù)6項(xiàng)和的正負(fù)性分析）不能（黑白染色后黑格14個(gè)，白格13個(gè)，路徑需黑白交替）0（10×10方格按1-4循環(huán)染色，四種顏色方格數(shù)不等）不能（黑格數(shù)為偶數(shù)，操作不改變奇偶性）三、解答題要點(diǎn)用紅藍(lán)兩色染完全圖K6的邊，轉(zhuǎn)化為拉姆塞數(shù)問題；（1）利用數(shù)學(xué)歸納法或配對原理；（2）k=1,3,...,2025（所有奇數(shù)）；（1）每個(gè)操作改變偶數(shù)個(gè)黑格的數(shù)值；（2）初始黑格和為28，目標(biāo)需為10的倍數(shù)但28為偶數(shù)；類比正方體染色問題，小三角形網(wǎng)格黑白染色后數(shù)量不等。（注：完整參考答案及詳細(xì)解析見競賽組委會官方文件）本試卷嚴(yán)格遵循初中數(shù)學(xué)競賽命題規(guī)范，涵蓋染色問題的核心題型：抽屜原理應(yīng)用（第3、