初一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與專項(xiàng)練習(xí)親愛的同學(xué)們，初一數(shù)學(xué)是整個(gè)中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，它不僅承接了小學(xué)的知識(shí)，更開啟了抽象思維和邏輯推理能力培養(yǎng)的新篇章。扎實(shí)掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，如同為未來(lái)的數(shù)學(xué)大廈打下堅(jiān)實(shí)的地基。本篇文章將帶領(lǐng)大家系統(tǒng)梳理初一數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，并輔以針對(duì)性的專項(xiàng)練習(xí)，希望能幫助同學(xué)們查漏補(bǔ)缺，鞏固提升。一、有理數(shù)——代數(shù)的入門鑰匙從小學(xué)的算術(shù)數(shù)到初中的有理數(shù)，是我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的第一次重要擴(kuò)展。這部分內(nèi)容概念密集，運(yùn)算規(guī)則也與小學(xué)有所不同，需要我們格外用心。核心知識(shí)點(diǎn)梳理：1.有理數(shù)的概念與分類：有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）的統(tǒng)稱。這里的分?jǐn)?shù)特指能化為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)。我們要理解正數(shù)、負(fù)數(shù)、0在實(shí)際情境中的意義，例如溫度、海拔、盈虧等。2.數(shù)軸：數(shù)軸是理解有理數(shù)的重要工具，它是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線。任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)（這點(diǎn)后續(xù)會(huì)學(xué)到）。數(shù)軸幫助我們直觀地理解數(shù)的大小關(guān)系和絕對(duì)值的幾何意義。3.相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0。在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)（0除外）位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“-”號(hào)（化簡(jiǎn)時(shí)需注意符號(hào)法則）。4.絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。絕對(duì)值具有非負(fù)性，即|a|≥0。正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。絕對(duì)值在比較大小、化簡(jiǎn)、求解方程等方面有廣泛應(yīng)用。5.有理數(shù)的大小比較：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小。利用數(shù)軸比較大小更為直觀，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。6.有理數(shù)的運(yùn)算：這是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)。包括加法、減法、乘法、除法和乘方五種運(yùn)算。*加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。*減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。*乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0。幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。*除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a·(1/b)(b≠0)。兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。*乘方：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在a?中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。乘方運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0。*運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。專項(xiàng)練習(xí)：有理數(shù)1.選擇題：(1)下列各數(shù)中，既是分?jǐn)?shù)又是負(fù)數(shù)的是（）A.-3.1B.-4C.0D.2.8(2)下列說(shuō)法正確的是（）A.一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)B.任何正數(shù)一定大于它的倒數(shù)C.-a一定是負(fù)數(shù)D.零與任何一個(gè)數(shù)相乘，其積一定是零(3)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）(數(shù)軸示意：a在原點(diǎn)左側(cè)，b在原點(diǎn)右側(cè)，且a到原點(diǎn)的距離大于b到原點(diǎn)的距離)A.a+b<0B.a-b<0C.ab>0D.a/b<02.填空題：(1)-5的相反數(shù)是______，絕對(duì)值是______，倒數(shù)是______。(2)比較大?。?3/4______-4/5(填“>”、“<”或“=”)。(3)計(jì)算：(-2)3+(-3)×(-4)=______。3.計(jì)算題：(1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5)(2)(-3/4)×(-8/9)÷(-2/3)(3)-1?-(1-0.5)×1/3×[2-(-3)2]參考答案及提示：1.(1)A(提示：分?jǐn)?shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，負(fù)數(shù)帶有負(fù)號(hào))(2)D(提示：0的絕對(duì)值是0，A錯(cuò)；1的倒數(shù)是1，B錯(cuò)；當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)，C錯(cuò))(3)C(提示：a為負(fù)，b為正，異號(hào)相乘得負(fù)，ab<0)2.(1)5,5,-1/5(提示：相反數(shù)符號(hào)相反，絕對(duì)值是非負(fù)的，倒數(shù)乘積為1)(2)>(提示：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小，|-3/4|=3/4=15/20,|-4/5|=4/5=16/20,15/20<16/20)(3)-8+12=4(提示：先算乘方(-2)3=-8，再算乘法(-3)×(-4)=12，最后相加)3.(1)原式=-12-8-6+5=(-12-8-6)+5=-26+5=-21(提示：減去一個(gè)正數(shù)等于加上它的相反數(shù)，減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上它的正數(shù))(2)原式=(-3/4)×(-8/9)×(-3/2)=(2/3)×(-3/2)=-1(提示：除以一個(gè)數(shù)等于乘以它的倒數(shù)，注意負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù))(3)原式=-1-0.5×1/3×(2-9)=-1-(1/2×1/3)×(-7)=-1-(1/6)×(-7)=-1+7/6=1/6(提示：先算乘方-1?=-1,(-3)2=9，再算括號(hào)內(nèi)2-9=-7，然后算乘法，最后算加減)二、整式的加減——從數(shù)到式的過(guò)渡學(xué)習(xí)了有理數(shù)，我們就從具體的“數(shù)”邁入了抽象的“式”的世界。整式的加減是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的必備知識(shí)。核心知識(shí)點(diǎn)梳理：1.整式的有關(guān)概念：*單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。*多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。*整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。2.同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)有兩條：一是字母相同，二是相同字母的指數(shù)也分別相同，二者缺一不可。3.合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。合并同類項(xiàng)的法則是：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。合并同類項(xiàng)的實(shí)質(zhì)是逆用乘法分配律。4.去括號(hào)法則：*如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；*如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。去括號(hào)是進(jìn)行整式加減運(yùn)算的重要步驟，要特別注意括號(hào)前面是負(fù)號(hào)的情況。5.整式的加減：整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)。一般步驟是：(1)如果有括號(hào)，先去括號(hào)；(2)找出同類項(xiàng)；(3)合并同類項(xiàng)。專項(xiàng)練習(xí)：整式的加減1.選擇題：(1)下列各式中，是單項(xiàng)式的是（）A.a+bB.x2-2yC.3/mD.-5xy2(2)多項(xiàng)式3x2y-4xy+2x-1的次數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A.3,-1B.2,-1C.3,1D.2,1(3)下列各組單項(xiàng)式中，不是同類項(xiàng)的是（）A.2x2y與-1/2x2yB.-3ab與baC.1與-1D.2x3與3x22.填空題：(1)單項(xiàng)式-3πx2y/5的系數(shù)是______，次數(shù)是______。(2)若3x?y2與-2x3y?是同類項(xiàng)，則m+n=______。(3)化簡(jiǎn)：3a2b-[2ab2-2(ab-3/2a2b)+ab]+3ab2=______。3.解答題：(1)先化簡(jiǎn)，再求值：5(3a2b-ab2)-3(ab2+5a2b)，其中a=1/2，b=-1。(2)已知A=x2+2xy+y2，B=x2-2xy+y2，求：①A+B；②A-B。參考答案及提示：1.(1)D(提示：A、B是多項(xiàng)式，C分母中含有字母，不是整式，更不是單項(xiàng)式)(2)A(提示：最高次項(xiàng)是3x2y，次數(shù)為2+1=3，常數(shù)項(xiàng)是-1)(3)D(提示：同類項(xiàng)要求字母相同且相同字母的指數(shù)也相同，D中x的指數(shù)不同)2.(1)-3π/5,3(提示：π是常數(shù)，系數(shù)包括前面的符號(hào)和數(shù)字因數(shù)，次數(shù)是所有字母指數(shù)的和：2+1=3)(2)5(提示：同類項(xiàng)相同字母的指數(shù)相等，所以m=3,n=2,m+n=5)(3)原式=3a2b-[2ab2-2ab+3a2b+ab]+3ab2=3a2b-[2ab2-ab+3a2b]+3ab2=3a2b-2ab2+ab-3a2b+3ab2=(3a2b-3a2b)+(-2ab2+3ab2)+ab=0+ab2+ab=ab2+ab(提示：去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)；然后合并同類項(xiàng))3.(1)原式=15a2b-5ab2-3ab2-15a2b=(15a2b-15a2b)+(-5ab2-3ab2)=-8ab2當(dāng)a=1/2，b=-1時(shí)，原式=-8×(1/2)×(-1)2=-8×(1/2)×1=-4(提示：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后代入求值)(2)①A+B=(x2+2xy+y2)+(x2-2xy+y2)=x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=2x2+2y2②A-B=(x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)=x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=4xy(提示：去括號(hào)時(shí)，注意B前面是減號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào))三、一元一次方程——解決實(shí)際問(wèn)題的利器方程是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，一元一次方程是最簡(jiǎn)單也是最基礎(chǔ)的方程。它不僅能幫助我們解決許多實(shí)際問(wèn)題，更能培養(yǎng)我們的邏輯思維和建模能力。核心知識(shí)點(diǎn)梳理：1.方程的有關(guān)概念：*方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。*一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。其標(biāo)準(zhǔn)形式是ax+b=0(a≠0)。*方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，也叫做方程的根。2.等式的性質(zhì)：*性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。等式的性質(zhì)是解方程的依據(jù)。3.解一元一次方程的一般步驟：*去分母：在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)，分子是多項(xiàng)式時(shí)要加括號(hào)。*去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，注意括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)。*移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（記住移項(xiàng)要變號(hào)）。*合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。*系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。（注意：具體解方程時(shí)，步驟要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用，不一定非要嚴(yán)格按照這五步進(jìn)行。）4.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：*審：審題，理解題意，找出題目中的相等關(guān)系。*設(shè)：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題目需要選擇直接設(shè)元或間接設(shè)元。*列：根據(jù)找出的相等關(guān)系列出方程。*解：解所列的方程。*驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義。*