材料力學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)知識(shí)筆記引言材料力學(xué)作為工科領(lǐng)域的基石學(xué)科，旨在探究構(gòu)件在外力作用下的內(nèi)力、變形與強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問(wèn)題。其核心目標(biāo)在于確保工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械零件在正常工作條件下能夠安全可靠地運(yùn)行，同時(shí)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的經(jīng)濟(jì)性與合理性。這份筆記旨在梳理材料力學(xué)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，為深入理解和應(yīng)用這門(mén)學(xué)科提供助力。學(xué)習(xí)者需在掌握基本概念與原理的基礎(chǔ)上，注重理論聯(lián)系實(shí)際，培養(yǎng)分析和解決工程問(wèn)題的能力。一、基本概念與假設(shè)1.1材料力學(xué)的研究對(duì)象材料力學(xué)主要研究桿件，即長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于橫截面尺寸的構(gòu)件。對(duì)于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，通常也會(huì)簡(jiǎn)化為桿件系統(tǒng)進(jìn)行分析。1.2基本假設(shè)材料力學(xué)的研究建立在幾個(gè)關(guān)鍵假設(shè)之上，這些假設(shè)是對(duì)實(shí)際情況的合理簡(jiǎn)化，也是理論推導(dǎo)的前提：*連續(xù)性假設(shè)：假定材料是連續(xù)分布的，忽略其微觀(guān)不連續(xù)性。這使得我們可以用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述應(yīng)力、應(yīng)變等物理量。*均勻性假設(shè)：假定材料在宏觀(guān)上具有均勻的性質(zhì)，各處的力學(xué)性能相同。*各向同性假設(shè)：假定材料的力學(xué)性能在各個(gè)方向上相同。對(duì)于各向異性材料，則需采用更復(fù)雜的分析方法。*小變形假設(shè)：假定構(gòu)件在外力作用下的變形較小，不影響外力的作用方式和平衡方程的建立。因此，在計(jì)算平衡時(shí)，可以使用構(gòu)件變形前的幾何尺寸。1.3內(nèi)力、應(yīng)力與應(yīng)變*內(nèi)力：構(gòu)件在外力作用下，內(nèi)部各部分之間產(chǎn)生的相互作用力。通過(guò)截面法可以求解指定截面上的內(nèi)力（軸力、剪力、彎矩、扭矩）。截面法的核心在于“截開(kāi)、代替、平衡”。*應(yīng)力：描述物體內(nèi)部一點(diǎn)處受力狀態(tài)的物理量，是內(nèi)力的集度。應(yīng)力分為正應(yīng)力（σ）和切應(yīng)力（τ）。應(yīng)力的單位通常為帕斯卡（Pa）。理解應(yīng)力的概念是材料力學(xué)的入門(mén)關(guān)鍵，它不同于外力，是構(gòu)件發(fā)生破壞或產(chǎn)生過(guò)大變形的直接原因。*應(yīng)變：描述物體在外力作用下變形程度的物理量，分為正應(yīng)變（ε）和切應(yīng)變（γ）。正應(yīng)變是長(zhǎng)度的相對(duì)變化，切應(yīng)變是角度的變化量。應(yīng)變是無(wú)量綱量。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是材料力學(xué)研究的核心內(nèi)容之一。二、軸向拉伸與壓縮2.1軸力與軸力圖軸向拉壓是最基本的變形形式。構(gòu)件在外力作用下，其橫截面上將產(chǎn)生軸力（N）。軸力圖是表示軸力沿桿軸線(xiàn)變化規(guī)律的圖形，繪制軸力圖是求解拉壓?jiǎn)栴}的第一步，也是后續(xù)強(qiáng)度計(jì)算的基礎(chǔ)。繪制時(shí)需注意正負(fù)號(hào)規(guī)定（通常以拉力為正）。2.2橫截面上的應(yīng)力在軸向拉壓時(shí)，根據(jù)平面假設(shè)，橫截面上的正應(yīng)力均勻分布，計(jì)算公式為σ=N/A。其中，A為橫截面面積。這一公式是材料力學(xué)中最基本的應(yīng)力計(jì)算公式之一，其推導(dǎo)過(guò)程中平面假設(shè)的引入至關(guān)重要。2.3變形計(jì)算與胡克定律*絕對(duì)變形：ΔL=(N*L)/(E*A)。*胡克定律：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即σ=E*ε。其中，E為彈性模量，是表征材料抵抗彈性變形能力的物理量，由材料本身性質(zhì)決定。*泊松比：在軸向拉伸時(shí)，橫向會(huì)產(chǎn)生收縮；軸向壓縮時(shí)，橫向會(huì)產(chǎn)生膨脹。橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的比值的絕對(duì)值稱(chēng)為泊松比（μ）。2.4材料的力學(xué)性能材料在受力過(guò)程中表現(xiàn)出的力學(xué)行為，如彈性、塑性、強(qiáng)度、韌性等，需通過(guò)試驗(yàn)（如拉伸試驗(yàn)）來(lái)確定。*強(qiáng)度指標(biāo)：屈服極限（σ_s或σ_0.2）和強(qiáng)度極限（σ_b）是衡量材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)，是建立強(qiáng)度條件的依據(jù)。理解材料從彈性變形到塑性變形，直至斷裂的全過(guò)程，對(duì)于正確進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)至關(guān)重要。2.5強(qiáng)度條件與安全系數(shù)強(qiáng)度條件是確保構(gòu)件安全工作的基本準(zhǔn)則：σ_max≤[σ]。其中，[σ]為許用應(yīng)力，由材料的極限應(yīng)力除以安全系數(shù)得到。安全系數(shù)的選取需要綜合考慮荷載估計(jì)的準(zhǔn)確性、材料性能的離散性、構(gòu)件的重要性以及工作條件等多種因素，具有一定的工程經(jīng)驗(yàn)性。三、剪切與擠壓3.1剪切的概念與實(shí)用計(jì)算剪切變形的特點(diǎn)是構(gòu)件沿某一截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。工程中通常采用實(shí)用計(jì)算法來(lái)計(jì)算切應(yīng)力：τ=Q/A_s。其中，Q為剪力，A_s為剪切面面積。這種計(jì)算方法基于簡(jiǎn)化假設(shè)，其結(jié)果主要用于連接構(gòu)件的強(qiáng)度校核。3.2擠壓強(qiáng)度計(jì)算在連接件與被連接件的接觸面上，會(huì)產(chǎn)生擠壓應(yīng)力。擠壓強(qiáng)度條件為：σ_bbs=F/A_bbs≤[σ_bbs]。其中，A_bbs為擠壓面面積，其計(jì)算需根據(jù)實(shí)際接觸情況確定（如螺栓連接中，擠壓面面積通常取直徑乘以厚度）。剪切與擠壓往往同時(shí)存在，需分別進(jìn)行校核。四、彎曲內(nèi)力4.1平面彎曲的概念當(dāng)梁的橫截面具有對(duì)稱(chēng)軸，且外力（或外力偶）作用于該對(duì)稱(chēng)軸與梁軸線(xiàn)所構(gòu)成的平面內(nèi)時(shí)，梁的變形將表現(xiàn)為橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，即平面彎曲。這是彎曲問(wèn)題中最基本的情況。4.2剪力與彎矩梁彎曲時(shí)，橫截面上一般存在兩種內(nèi)力：剪力（Q）和彎矩（M）。其大小可通過(guò)截面法，利用平衡條件求解。剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，需結(jié)合變形趨勢(shì)來(lái)理解和記憶（例如，使微段梁產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正；使微段梁產(chǎn)生下凸變形的彎矩為正）。4.3剪力圖與彎矩圖剪力圖和彎矩圖是表示剪力和彎矩沿梁軸線(xiàn)變化規(guī)律的圖形。繪制剪力圖和彎矩圖是彎曲問(wèn)題中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要熟練掌握。除了利用截面法逐點(diǎn)計(jì)算繪制外，還應(yīng)掌握利用荷載、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系（dQ/dx=q(x)，dM/dx=Q(x)）來(lái)快速繪制或校核圖形的形狀和特征點(diǎn)，這能極大提高繪圖效率和準(zhǔn)確性。五、彎曲應(yīng)力5.1純彎曲時(shí)的正應(yīng)力通過(guò)觀(guān)察純彎曲梁的變形現(xiàn)象，引入平面假設(shè)和縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力的假設(shè)，進(jìn)而推導(dǎo)出純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：σ=(M*y)/I_z。其中，I_z為截面對(duì)中性軸z的慣性矩，是衡量截面幾何性質(zhì)對(duì)彎曲正應(yīng)力分布影響的重要參數(shù)。中性軸通過(guò)截面形心，且垂直于彎矩作用平面。該公式的推導(dǎo)過(guò)程邏輯性強(qiáng)，涉及幾何、物理和靜力學(xué)三方面的關(guān)系，是材料力學(xué)中的經(jīng)典推導(dǎo)之一。5.2慣性矩與抗彎截面系數(shù)*慣性矩：I_z=∫_Ay2dA。其大小與截面形狀和尺寸有關(guān)，是截面的一個(gè)重要幾何性質(zhì)。常見(jiàn)截面（如矩形、圓形、工字形）的慣性矩計(jì)算公式需要熟記或能快速查閱。*抗彎截面系數(shù)：W_z=I_z/y_max。彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件可表示為σ_max=M_max/W_z≤[σ]。5.3橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力與切應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有彎矩也有剪力，因此既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力。正應(yīng)力仍可近似采用純彎曲時(shí)的公式計(jì)算。切應(yīng)力的計(jì)算公式相對(duì)復(fù)雜，其分布規(guī)律因截面形狀而異（如矩形截面τ=(3Q)/(2A)(1-y2/(h/2)2)）。一般情況下，正應(yīng)力是控制梁強(qiáng)度的主要因素，但在某些特定情況下（如短梁、薄壁截面梁），切應(yīng)力的影響不容忽視。5.4彎曲強(qiáng)度條件的應(yīng)用梁的彎曲強(qiáng)度條件為σ_max≤[σ]和τ_max≤[τ]。應(yīng)用時(shí)需綜合考慮正應(yīng)力和切應(yīng)力，找出危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)。對(duì)于變截面梁，需注意最大彎矩所在截面和截面最小處的應(yīng)力比較。六、彎曲變形6.1撓度與轉(zhuǎn)角彎曲變形的基本度量是撓度（w）和轉(zhuǎn)角（θ）。撓度是橫截面形心在垂直于梁軸線(xiàn)方向的線(xiàn)位移；轉(zhuǎn)角是橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移。二者之間存在微分關(guān)系：θ=dw/dx。6.2撓曲線(xiàn)近似微分方程在小變形和材料服從胡克定律的前提下，撓曲線(xiàn)近似微分方程為：d2w/dx2=M(x)/(E*I)。這是求解梁彎曲變形的基本方程，其建立過(guò)程中忽略了剪力對(duì)變形的影響。6.3求解彎曲變形的方法*積分法：通過(guò)對(duì)撓曲線(xiàn)微分方程進(jìn)行積分，并利用邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)，從而得到撓度方程和轉(zhuǎn)角方程。積分法是求解彎曲變形的基本方法，但計(jì)算過(guò)程可能較為繁瑣。*疊加法：在小變形條件下，多個(gè)荷載共同作用產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角，等于各荷載單獨(dú)作用所產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。疊加法的應(yīng)用需要熟悉簡(jiǎn)單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，具有方便快捷的優(yōu)點(diǎn)。6.4剛度條件梁的剛度條件為：w_max≤[w]，θ_max≤[θ]。其中，[w]和[θ]為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角。剛度計(jì)算的目的是保證構(gòu)件在使用過(guò)程中不產(chǎn)生過(guò)大的變形，以滿(mǎn)足正常使用要求。七、組合變形7.1組合變形的概念構(gòu)件在外力作用下，同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上基本變形（如拉伸與彎曲組合、彎曲與扭轉(zhuǎn)組合等）的情況，稱(chēng)為組合變形。7.2組合變形強(qiáng)度計(jì)算的基本思路處理組合變形問(wèn)題的關(guān)鍵在于將其分解為若干基本變形，分別計(jì)算各基本變形在構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處產(chǎn)生的應(yīng)力，然后根據(jù)疊加原理將這些應(yīng)力進(jìn)行疊加，最后按強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件。這一過(guò)程中，正確的外力分析、內(nèi)力分析以及危險(xiǎn)點(diǎn)的確定至關(guān)重要。7.3常見(jiàn)組合變形形式*拉伸（壓縮）與彎曲組合：危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力為軸向拉（壓）應(yīng)力與彎曲正應(yīng)力的代數(shù)和。*彎曲與扭轉(zhuǎn)組合：對(duì)于圓軸，危險(xiǎn)點(diǎn)處通常存在彎曲正應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，需運(yùn)用強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。此時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。7.4強(qiáng)度理論材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的破壞形式是多樣的，強(qiáng)度理論試圖建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的破壞條件與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)下（如單向拉伸）材料強(qiáng)度指標(biāo)之間的聯(lián)系。常用的強(qiáng)度理論包括第一強(qiáng)度理論（最大拉應(yīng)力理論）、第二強(qiáng)度理論（最大伸長(zhǎng)線(xiàn)應(yīng)變理論）、第三強(qiáng)度理論（最大切應(yīng)力理論）和第四強(qiáng)度理論（畸變能密度理論）。對(duì)于塑性材料，通常采用第三或第四強(qiáng)度理論；對(duì)于脆性材料，通常采用第一或第二強(qiáng)度理論。在彎曲與扭轉(zhuǎn)組合變形的強(qiáng)度計(jì)算中，第三和第四強(qiáng)度理論應(yīng)用廣泛。八、壓桿穩(wěn)定8.1穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定是指細(xì)長(zhǎng)桿件在軸向壓力作用下，保持其原有直線(xiàn)平衡形態(tài)的能力。當(dāng)軸向壓力增大到某一臨界值時(shí)，壓桿會(huì)突然從直線(xiàn)平衡形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑螒B(tài)，這種現(xiàn)象稱(chēng)為失穩(wěn)或屈曲。壓桿失穩(wěn)往往是突然發(fā)生的，可能導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)的破壞，其危害性不容忽視。8.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力（歐拉公式）兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式（歐拉公式）：F_cr=(π2*E*I)/(L2)。*長(zhǎng)度系數(shù)（μ）：反映了壓桿兩端約束條件對(duì)臨界力的影響。不同約束條件下的長(zhǎng)度系數(shù)值需要熟記（如兩端固定μ=0.5，一端固定一端鉸支μ=0.7，一端固定一端自由μ=2等）。*慣性半徑（i）：i=√(I/A)。*長(zhǎng)細(xì)比（λ）：λ=(μ*L)/i。長(zhǎng)細(xì)比是綜合反映壓桿長(zhǎng)度、截面形狀和尺寸以及約束條件對(duì)壓桿穩(wěn)定性影響的物理量，是壓桿穩(wěn)定計(jì)算中的核心參數(shù)。8.3臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力σ_cr=F_cr/A=(π2*E)/(λ2)。該公式適用于歐拉公式的適用范圍，即壓桿的臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限（λ≥λ_p）。對(duì)于中長(zhǎng)桿和短粗桿，需采用經(jīng)驗(yàn)公式或試驗(yàn)曲線(xiàn)來(lái)確定其臨界應(yīng)力。將不同長(zhǎng)細(xì)比下壓桿的臨界應(yīng)力與長(zhǎng)細(xì)比的關(guān)系繪制成曲線(xiàn)，即為臨界應(yīng)力總圖。8.4壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件為：σ=F/A≤[σ_st]=σ_cr/(n_st)。其中，[σ_st]為許用穩(wěn)定應(yīng)力