2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與抽樣分布性質(zhì)案例分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______考生注意：請根據(jù)以下案例要求，回答問題。案例：某城市衛(wèi)生部門關心市民對全市食品安全狀況的滿意度。由于全市居民數(shù)量龐大，對所有居民進行調(diào)查不現(xiàn)實。因此，部門決定采用抽樣調(diào)查的方式了解總體情況。假設該市共有居民500,000戶，分布在不同類型的社區(qū)（如市中心區(qū)、普通住宅區(qū)、工業(yè)區(qū)等）。為了提高抽樣效率，考慮采用分層抽樣方法。工作人員將全市社區(qū)按地理位置和居民密度劃分為三個層：A層（市中心區(qū)）、B層（普通住宅區(qū)）、C層（工業(yè)區(qū)）。各層社區(qū)數(shù)量及推算的居民戶比例如下：*A層：100個社區(qū)，約10%的全市總戶數(shù)。*B層：300個社區(qū)，約60%的全市總戶數(shù)。*C層：100個社區(qū)，約30%的全市總戶數(shù)。初步考慮，從每個層中隨機抽取40個社區(qū)進行調(diào)查。在抽中的社區(qū)內(nèi)，再采用簡單隨機抽樣的方式，從每社區(qū)隨機抽取15戶居民進行問卷調(diào)查，了解其對本地食品安全狀況的滿意度評分（評分范圍為1到10，分數(shù)越高表示滿意度越高）。假設經(jīng)過抽樣調(diào)查，獲得以下樣本信息（注意：以下數(shù)據(jù)為模擬數(shù)據(jù)，僅用于答題）：*A層抽中社區(qū)的平均滿意度評分為7.5，樣本標準差為1.2。*B層抽中社區(qū)的平均滿意度評分為6.8，樣本標準差為1.0。*C層抽中社區(qū)的平均滿意度評分為7.0，樣本標準差為1.5。*各層樣本量均符合設計要求（每個層40個社區(qū)，每個社區(qū)15戶，共計2400戶）。問題：1.請簡述在本案例中，采用分層抽樣的理由，并說明如何從每個層中抽取40個社區(qū)。2.假設總體戶數(shù)的30%來自C層。請計算每個層應抽取的社區(qū)數(shù)量（采用比例分配法），并說明這種分配方法有何特點。3.計算全市居民戶總體的抽樣平均誤差（以樣本平均滿意度評分表示），假設已知總體戶數(shù)的社區(qū)分布比例與樣本推算比例一致，且各層內(nèi)社區(qū)的平均滿意度評分和標準差與樣本一致。4.如果要求以95%的置信水平估計全市居民戶對食品安全狀況的平均滿意度評分，請計算其置信區(qū)間。5.假設該市另一家市場研究機構聲稱，全市居民戶對食品安全狀況的平均滿意度評分低于7.5。請基于本案例樣本數(shù)據(jù)，進行假設檢驗（α=0.05），以評估該說法的合理性。請寫出完整的檢驗步驟。6.結(jié)合本案例的分析結(jié)果，簡要討論抽樣調(diào)查中可能存在哪些誤差來源，以及如何通過改進抽樣設計來減小這些誤差。試卷答案問題1解析思路：理由：分層抽樣適用于總體單位可按某種特征劃分為不同層級的場合，且各層內(nèi)部單位差異較小、層間差異較大。案例中，城市社區(qū)按地理位置和居民密度劃分為三層，可能意味著不同區(qū)域居民的食品安全關注點或滿意度存在系統(tǒng)性差異，分層有助于提高樣本代表性，減少抽樣誤差。抽取方法：從每個層中抽取40個社區(qū)，應采用簡單隨機抽樣。具體操作可以是：將A層100個社區(qū)編號（1-100），使用隨機數(shù)表或計算機隨機函數(shù)，抽取40個不重復的編號，對應的社區(qū)即為抽樣結(jié)果。對B、C層執(zhí)行同樣的操作。問題2解析思路：計算：總樣本量=40個社區(qū)/層×3層=120個社區(qū)。比例分配法下，各層應抽取社區(qū)數(shù)=總樣本量×各層比例。A層：120×10%=12個；B層：120×60%=72個；C層：120×30%=36個。特點：比例分配法保持了總體中各層所占的比例關系，簡單易行。當各層內(nèi)單元差異不大，或抽樣比例較小時，其效率接近最優(yōu)分配。問題3解析思路：計算：首先計算各層樣本平均數(shù)的加權平均，作為總體樣本平均數(shù)的無偏估計。估計的總體樣本平均滿意度評分=(7.5×12+6.8×72+7.0×36)/120=(90+489.6+252)/120=831.6/120≈6.930。然后計算抽樣平均誤差。需要各層方差σ2或標準差σ。使用樣本標準差s作為估計。層間方差估計為0（因未給層間差異信息，按層內(nèi)估計）?？偝闃悠骄`差σ?=sqrt[Σ((N?/N)2*σ?2/n?)]。N?/N為層權，n?為層內(nèi)樣本量。σ?=sqrt[((100/500000)2*1.22/40)+((300/500000)2*1.02/40)+((100/500000)2*1.52/15)]σ?=sqrt[(1/500000)2*1.44/40+(3/500000)2*1.0/40+(1/500000)2*2.25/15]σ?=sqrt[(1.44/(5000002*40))+(3.0/(5000002*40))+(2.25/(5000002*15))]σ?=sqrt[(1.44+3.0+0.15)/(5000002*40)]//注意：此處計算假設層內(nèi)方差代表層內(nèi)差異，層間差異為0，且N/N=1簡化計算過程，實際復雜情況需更多信息。σ?=sqrt[4.59/(5000002*40)]≈sqrt[4.59/100,000,000,000]≈sqrt[4.59e-11]≈6.77e-6（注：此計算結(jié)果因假設和簡化而極小，通常在分層抽樣誤差計算中，若層內(nèi)方差未知，會用樣本方差加權平均代替，且N/N=1，形式為sqrt[Σ(s?2/n?)*(N?/N)]，但此處未給出總樣本量n，且未說明如何處理層間差異，故按最簡形式示意。實際教學應明確計算方法或給出完整參數(shù)。）問題4解析思路：計算：置信水平95%對應Zα/2≈1.96。置信區(qū)間=估計值±Zα/2*抽樣平均誤差。置信區(qū)間≈6.930±1.96*6.77e-6置信區(qū)間≈(6.930-0.0000133)到(6.930+0.0000133)置信區(qū)間≈(6.9299867,6.9300133)由于評分是離散值，通常取包含中間值的區(qū)間或根據(jù)評分精度四舍五入，但按計算結(jié)果：(6.9299867,6.9300133)。問題5解析思路：檢驗步驟：1.建立假設：H?：μ≤7.5；H?：μ>7.5（單尾檢驗，檢驗聲稱“低于”的反面）。2.選擇檢驗統(tǒng)計量：因總體標準差未知，樣本量較大（假設n=2400足夠大，或各層樣本量總和足夠大），可用t檢驗或Z檢驗。此處用Z檢驗。Z=(樣本平均數(shù)-總體假設平均數(shù))/(抽樣平均誤差)。樣本平均數(shù)=6.930，假設μ?=7.5，抽樣平均誤差σ?≈6.77e-6（如問題3計算）。Z=(6.930-7.5)/6.77e-6=-0.570/6.77e-6≈-83850.7。3.確定拒絕域：α=0.05，單尾檢驗，Z臨界值Z?.05≈1.645。拒絕域為Z>1.645。4.做出決策：計算得到的Z≈-83850.7，未落入拒絕域。5.結(jié)論：在α=0.05的顯著性水平下，沒有足夠的統(tǒng)計證據(jù)拒絕原假設H?。即，樣本數(shù)據(jù)不支持“全市居民戶對食品安全狀況的平均滿意度評分低于7.5”的說法。問題6解析思路：誤差來源：1.抽樣誤差：由于只調(diào)查樣本而非全部居民，樣本結(jié)果與總體真實結(jié)果之間必然存在的隨機誤差。包括隨機抽樣誤差和分層設計未能完全消除的誤差。2.非抽樣誤差：包括測量誤差（問卷設計不合理、居民理解偏差、回答不實等）、抽樣框誤差（抽樣框不完整、包含非目標單位等）、無回答誤差（部分選中的居民未參與調(diào)查）。改進方法：1.提高樣本代表性：確保抽樣過程嚴格隨機，覆蓋總體所有層級和區(qū)域，可考慮增加樣本量。2.