五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題19排列組合與二項(xiàng)式定理5種常見(jiàn)考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1排列與組合（5年5考）考點(diǎn)01有限制條件的排列問(wèn)題2025·上海2024·全國(guó)甲卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·上海2023·全國(guó)甲卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷1.有限制條件的排列是高頻熱點(diǎn)近5年多次考查“有限制條件的排列問(wèn)題”，題目常通過(guò)“相鄰/不相鄰”“特殊元素優(yōu)先”“位置限制”等經(jīng)典模型設(shè)置，側(cè)重邏輯推理和分類討論思想的應(yīng)用。2,.組合問(wèn)題則多與實(shí)際場(chǎng)景結(jié)合（如分配問(wèn)題、選組問(wèn)題），強(qiáng)調(diào)對(duì)“無(wú)序性”本質(zhì)的理解。3.二項(xiàng)式定理特定項(xiàng)與系數(shù)計(jì)算是絕對(duì)重點(diǎn),近5年“求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)”（如常數(shù)項(xiàng)、指定次數(shù)項(xiàng)）考查頻率最高，核心是利用通項(xiàng)公式求解，需注意符號(hào)、系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。4.“系數(shù)和”問(wèn)題（如賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和）也頻繁出現(xiàn)，側(cè)重對(duì)賦值法的靈活應(yīng)用。5.系數(shù)最值問(wèn)題偶有出現(xiàn)，注重邏輯分析,雖然考查次數(shù)較少，但系數(shù)最值問(wèn)題常涉及不等式求解或單調(diào)性分析，需結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的增減性規(guī)律（中間項(xiàng)最大），體現(xiàn)對(duì)知識(shí)深度的要求?？键c(diǎn)02組合問(wèn)題2024·天津2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)甲卷2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·上海2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)乙卷2021·上海知識(shí)2二項(xiàng)式定理（5年5考）考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京2023·天津2023·上海2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·天津2022·上海2021·北京2021·天津考點(diǎn)04二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)和2025·北京2024·上海2022·北京2022·浙江2021·浙江考點(diǎn)05項(xiàng)的系數(shù)最值問(wèn)題2024·全國(guó)甲卷2021·上?？键c(diǎn)01有限制條件的排列問(wèn)題1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場(chǎng)一次，出場(chǎng)次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場(chǎng)，且甲或乙最后出場(chǎng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳析】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，出場(chǎng)次序共有24種，其中符合題意的出場(chǎng)次序共有8種，故所求概率；解法二：當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙第一個(gè)出場(chǎng)，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙排第二位或第三位出場(chǎng)，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲最后出場(chǎng)共種方法，同理乙最后出場(chǎng)共種方法，于是共種出場(chǎng)順序符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，所求概率為.故選：C2．（2025·上海·高考真題）4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有種．【答案】288〖祥解〗先選家長(zhǎng)作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.【詳析】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有種排法；再排對(duì)中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：2883．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B〖祥解〗利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B4．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C〖祥解〗利用古典概型的概率公式可求概率.【詳析】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.5．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.6．（2024·上海·高考真題）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】329〖祥解〗三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.【詳析】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．故答案為：329．7．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B〖祥解〗利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.【詳析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.8．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．【答案】〖祥解〗根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳析】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：9．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．【答案】24112〖祥解〗由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳析】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.考點(diǎn)02組合問(wèn)題10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D〖祥解〗利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.11．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.12．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.13．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C〖祥解〗先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【『點(diǎn)石成金』】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.14．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C〖祥解〗相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳析】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.15．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．【答案】〖祥解〗結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳析】解法一：列舉法給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為,從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲參加“整地做畦”的概率為：；乙選活動(dòng)有6種可能性：，其中再選擇有3種可能性：，故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為故答案為：；16．（2022·上?！じ呖颊骖}）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為；【答案】〖祥解〗由題意，利用古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．【詳析】解：從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的方法共有種，而所有的抽取方法共有種，故每一類都被抽到的概率為＝＝，故答案為：．17．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64〖祥解〗分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.18．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．【答案】.〖祥解〗根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．19．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3〖祥解〗根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：20．（2021·上?！じ呖颊骖}）某人某天需要運(yùn)動(dòng)總時(shí)長(zhǎng)大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，如下表所示，問(wèn)有幾種運(yùn)動(dòng)方式組合A運(yùn)動(dòng)B運(yùn)動(dòng)C運(yùn)動(dòng)D運(yùn)動(dòng)E運(yùn)動(dòng)7點(diǎn)8點(diǎn)8點(diǎn)9點(diǎn)9點(diǎn)10點(diǎn)10點(diǎn)11點(diǎn)11點(diǎn)12點(diǎn)30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘【答案】〖祥解〗根據(jù)題意，可以判定選擇任意3種及其以上否是符合要求的，只是在選擇兩種的情況下，有些是達(dá)不到要求的，利用組合求得總數(shù)，減去不合要求的種數(shù)即可.【詳析】由題意，至少要選2種運(yùn)動(dòng)，并且選2種運(yùn)動(dòng)的情況中，的組合是不符題意的，∴,故答案為：23.考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)21．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳析】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.22．（2025·上?！じ呖颊骖}）在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗利用通項(xiàng)公式求解可得.【詳析】由通項(xiàng)公式，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.23．（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：24．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．【答案】20〖祥解〗根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.【詳析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.25．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.26．（2022·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是.【答案】15〖祥解〗利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征，即可求解.【詳析】由題意的展開式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.27．（2021·北京·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.【答案】〖祥解〗利用二項(xiàng)展開通項(xiàng)公式即可得解.【詳析】的展開式的通項(xiàng)，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.28．（2021·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】160〖祥解〗求出二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為6即可求出.【詳析】的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.29．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28〖祥解〗可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳析】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-2830．（2022·上海·高考真題）二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則；【答案】10〖祥解〗先寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令得的系數(shù)，令得常數(shù)項(xiàng)，再由已知列出等式，解出即可.【詳析】由題知，當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為；又的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，所以，解得.故答案為：1031．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，則k的最大值為.【答案】49〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得，然后由可得為奇數(shù)，然后可得，即可求出答案.【詳析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，，，若，則為奇數(shù)，此時(shí)，，又為奇數(shù)，的最大值為49.故答案為：49.考點(diǎn)04二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)和32．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B〖祥解〗利用賦值法可求的值.【詳析】令，則，令，則，故，故選：B.33．（2025·北京·高考真題）已知，則；．【答案】〖祥解〗利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳析】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.34．（2022·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則，．【答案】〖祥解〗第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳析】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．35．（2021·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則，.【答案】;.〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.【詳析】，，所以，，所以.故答案為：.36．（2024·上海·高考真題）在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】10〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出冪指數(shù)，再利用二項(xiàng)式定理求出指定項(xiàng)的系數(shù).【詳析】則二項(xiàng)式的展開式各項(xiàng)系數(shù)和為32，得，解得，所以的展開式項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：10考點(diǎn)05項(xiàng)的系數(shù)最值問(wèn)題37．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為．【答案】5〖祥解〗先設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有，進(jìn)而求出即可求解.【詳析】由題展開式通項(xiàng)公式為，且，設(shè)展開式中第項(xiàng)系數(shù)最大，則，，即，又，故，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為.故答案為：5.38．（2021·上海·高考真題）的二項(xiàng)展開式中有且僅有的系數(shù)為最大值，則的系數(shù)為.【答案】〖祥解〗根據(jù)已知條件求出的值，利用二項(xiàng)式定理可求得的系數(shù).【詳析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中有且僅有的系數(shù)為最大值，則，故的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，由可得，故的系數(shù)為.故答案為：.專題19排列組合與二項(xiàng)式定理5種常見(jiàn)考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1排列與組合（5年5考）考點(diǎn)01有限制條件的排列問(wèn)題2025·上海2024·全國(guó)甲卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·上海2023·全國(guó)甲卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷1.有限制條件的排列是高頻熱點(diǎn)近5年多次考查“有限制條件的排列問(wèn)題”，題目常通過(guò)“相鄰/不相鄰”“特殊元素優(yōu)先”“位置限制”等經(jīng)典模型設(shè)置，側(cè)重邏輯推理和分類討論思想的應(yīng)用。2,.組合問(wèn)題則多與實(shí)際場(chǎng)景結(jié)合（如分配問(wèn)題、選組問(wèn)題），強(qiáng)調(diào)對(duì)“無(wú)序性”本質(zhì)的理解。3.二項(xiàng)式定理特定項(xiàng)與系數(shù)計(jì)算是絕對(duì)重點(diǎn),近5年“求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)”（如常數(shù)項(xiàng)、指定次數(shù)項(xiàng)）考查頻率最高，核心是利用通項(xiàng)公式求解，需注意符號(hào)、系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別。4.“系數(shù)和”問(wèn)題（如賦值法求各項(xiàng)系數(shù)和、奇數(shù)項(xiàng)/偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和）也頻繁出現(xiàn)，側(cè)重對(duì)賦值法的靈活應(yīng)用。5.系數(shù)最值問(wèn)題偶有出現(xiàn)，注重邏輯分析,雖然考查次數(shù)較少，但系數(shù)最值問(wèn)題常涉及不等式求解或單調(diào)性分析，需結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的增減性規(guī)律（中間項(xiàng)最大），體現(xiàn)對(duì)知識(shí)深度的要求?？键c(diǎn)02組合問(wèn)題2024·天津2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·全國(guó)甲卷2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·上海2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)乙卷2021·上海知識(shí)2二項(xiàng)式定理（5年5考）考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京2023·天津2023·上海2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·天津2022·上海2021·北京2021·天津考點(diǎn)04二項(xiàng)式展開式項(xiàng)的系數(shù)和2025·北京2024·上海2022·北京2022·浙江2021·浙江考點(diǎn)05項(xiàng)的系數(shù)最值問(wèn)題2024·全國(guó)甲卷2021·上?？键c(diǎn)01有限制條件的排列問(wèn)題1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場(chǎng)一次，出場(chǎng)次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個(gè)出場(chǎng)，且甲或乙最后出場(chǎng)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C〖祥解〗解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳析】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，出場(chǎng)次序共有24種，其中符合題意的出場(chǎng)次序共有8種，故所求概率；解法二：當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙第一個(gè)出場(chǎng)，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲最后出場(chǎng)，乙排第二位或第三位出場(chǎng)，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲最后出場(chǎng)共種方法，同理乙最后出場(chǎng)共種方法，于是共種出場(chǎng)順序符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，所求概率為.故選：C2．（2025·上海·高考真題）4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有種．【答案】288〖祥解〗先選家長(zhǎng)作隊(duì)尾和隊(duì)首，再排中間四人即可.【詳析】先選兩位家長(zhǎng)排在首尾有種排法；再排對(duì)中的四人有種排法，故有種排法.故答案為：2883．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B〖祥解〗利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳析】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B4．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C〖祥解〗利用古典概型的概率公式可求概率.【詳析】解：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個(gè)0不相鄰的概率為，故選：C.5．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳析】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.6．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個(gè)不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值．【答案】329〖祥解〗三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.【詳析】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．故答案為：329．7．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B〖祥解〗利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.【詳析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.8．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．【答案】〖祥解〗根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳析】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：9．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．【答案】24112〖祥解〗由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳析】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.考點(diǎn)02組合問(wèn)題10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D〖祥解〗利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.11．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.12．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.13．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C〖祥解〗先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【『點(diǎn)石成金』】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.14．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C〖祥解〗相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳析】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.15．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動(dòng)，期間安排了勞動(dòng)技能比賽，比賽共5個(gè)項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個(gè)項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個(gè)項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．【答案】〖祥解〗結(jié)合列舉法或組合公式和概率公式可求解第一空；采用列舉法或者條件概率公式可求第二空.【詳析】解法一：列舉法給這5個(gè)項(xiàng)目分別編號(hào)為,從五個(gè)活動(dòng)中選三個(gè)的情況有：,共10種情況，其中甲選到有6種可能性：，則甲參加“整地做畦”的概率為：；乙選活動(dòng)有6種可能性：，其中再選擇有3種可能性：，故乙參加的3個(gè)項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為.解法二：設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，則甲選到的概率為；乙選了活動(dòng)，他再選擇活動(dòng)的概率為故答案為：；16．（2022·上海·高考真題）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢則，則每一類都被抽到的概率為；【答案】〖祥解〗由題意，利用古典概型的計(jì)算公式，計(jì)算求得結(jié)果．【詳析】解：從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的方法共有種，而所有的抽取方法共有種，故每一類都被抽到的概率為＝＝，故答案為：．17．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64〖祥解〗分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.18．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．【答案】.〖祥解〗根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳析】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．19．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3〖祥解〗根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：20．（2021·上?！じ呖颊骖}）某人某天需要運(yùn)動(dòng)總時(shí)長(zhǎng)大于等于60分鐘，現(xiàn)有五項(xiàng)運(yùn)動(dòng)可以選擇，如下表所示，問(wèn)有幾種運(yùn)動(dòng)方式組合A運(yùn)動(dòng)B運(yùn)動(dòng)C運(yùn)動(dòng)D運(yùn)動(dòng)E運(yùn)動(dòng)7點(diǎn)8點(diǎn)8點(diǎn)9點(diǎn)9點(diǎn)10點(diǎn)10點(diǎn)11點(diǎn)11點(diǎn)12點(diǎn)30分鐘20分鐘40分鐘30分鐘30分鐘【答案】〖祥解〗根據(jù)題意，可以判定選擇任意3種及其以上否是符合要求的，只是在選擇兩種的情況下，有些是達(dá)不到要求的，利用組合求得總數(shù)，減去不合要求的種數(shù)即可.【詳析】由題意，至少要選2種運(yùn)動(dòng)，并且選2種運(yùn)動(dòng)的情況中，的組合是不符題意的，∴,故答案為：23.考點(diǎn)03求二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)21．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗寫出二項(xiàng)展開式，令，解出然后回代入二項(xiàng)展開式系數(shù)即可得解.【詳析】的二項(xiàng)展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.22．（2025·上?！じ呖颊骖}）在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗利用通項(xiàng)公式求解可得.【詳析】由通項(xiàng)公式，令，得，可得項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.23．（2025·天津·高考真題）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗根據(jù)二項(xiàng)式定理相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，，即展開式中的系數(shù)為.故答案為：24．（2024·天津·高考真題）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．【答案】20〖祥解〗根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.【詳析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：20.25．（2023·天津·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】〖祥解〗由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)