高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省遵義市播州區(qū)2024-2025學年高二上學期期末適應性考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線的準線方程是，拋物線的準線方程是x=-1，故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】故選：B.3.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，因為是減函數(shù)，，由在上是增函數(shù)，所以，所以．故選：A.4.如圖，已知電路中3個開關閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若燈亮，則需、閉合，閉合與否都可，故燈亮的概率為.故選：B.5.已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，下列結(jié)論正確是（）A.，，則 B.，，，則C.，，則 D.，，，則【答案】C【解析】對A：由，，則或、異面，故A錯誤；對B：若，，，則或、異面，故B錯誤；對C：若，，則，故C正確；對D：若，，，則或、異面或、相交，故D錯誤.故選：C.6.若角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.7.設集合，集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（）A.12 B.18 C.22 D.24【答案】C【解析】集合中元素個數(shù)共有個，若，則有，則可能，共1種；或，或，共2種；或，或，共2種；故集合中滿足的元素的個數(shù)為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，有8個以正方體頂點為球心且半徑相等的部分球體，有1個以正方體體心為球心的球體，與均相切，則該9部分的體積和的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設球體的半徑為，半徑為，所以，即得，可得，所以，開口向下，對稱軸為，所以，該9部分的體積和為，所以.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，下列區(qū)間中存在函數(shù)零點的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，可得，由函數(shù)零點存在性定理可得存在函數(shù)零點的區(qū)間是，，可得，，可得，，可得，由函數(shù)零點存在性定理可得存在函數(shù)零點的區(qū)間是.故選：AD.10.已知是圓上的動點，點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為6 B.的最大值為8C.的最小值為 D.的最大值為5【答案】CD【解析】對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：的幾何意義為過點O0,0與的直線的斜率，設過點的直線為，則有，解得，故的最小值為，故C正確；對D：，故的最大值為5，故D正確.故選：CD.11.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關于對稱B.曲線剛好經(jīng)過2個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.若點在曲線上，則D.曲線與直線有且只有一個交點【答案】ABC【解析】因為曲線的方程為，當，時，曲線的方程為，當，時，曲線的方程為，是焦點在軸上的等軸雙曲線右支的一部分.當，時，曲線的方程為，是焦點在軸上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線的圖象如圖：設點Mx,y為曲線上的點，則點Mx,y關于對稱的點為，代入方程成立，所以曲線關于對稱，A正確；顯然曲線上有點2個整點，除此之外任意兩個整數(shù)的平方差都不可能等于1，B正確；由上可知直線為曲線中雙曲線部分的漸近線，設曲線中圓的部分切線為，即，則，解得或（舍），即，曲線位于直線與之間，所以若點在曲線上，則,所以，即，C正確；由于直線在下方，所以與曲線無交點，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以.13.若雙曲線，滿足，則的離心率為__________.【答案】【解析】.14.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】令，則，即，令，則，則，令，則，又定義域為，故為偶函數(shù)，設對任意，且，則，則，故，即，故在上單調(diào)遞增，，即，則有，解得且，故其解集.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（單位：個），產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，，，，頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)；（2）從產(chǎn)品數(shù)量在和的工人中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行座談，則這3名工人在同一組的概率是多少.解：（1）由題可得，前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設75%分位數(shù)為x，則有，解得，∴樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為28.（2）由圖可得在內(nèi)的工人為人，在內(nèi)的工人為人，故在內(nèi)抽取4人，記為A，B，C，D；在內(nèi)抽取2人，記為X，Y，則從這6人中抽取3人的樣本空間有20個樣本點：，，且20個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，其中3人在同一組的樣本點有共4個，設3人在同一組的概率為P，則有.綜上，3名工人在同一組的概率為.16.已知圓經(jīng)過點和原點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程：（2）過點作圓的切線，求切線方程.解：（1）由題意知，設，則，解得，所以，半徑為，故圓的標準方程為.（2）如圖所示，點在圓外，則過點的圓的切線方程有兩條.當切線的斜率存在時，設切線方程為，即，設圓心到直線的距離為，而圓的半徑為r=1，則，解得，所以切線方程為；當切線的斜率不存在時，則與圓相切.綜上，切線方程為x=2或.17.已知銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）由，則有，即，由為銳角三角形，故、，故，則有，即，即；（2）由正弦定理可得，由為銳角三角形，故，解得，故，則，則.18.如圖，已知等腰梯形中，，，，是的中點，，將梯形沿著翻折成，使.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（1）證明：等腰梯形中，，是的中點，所以，所以四邊形為菱形，所以，即，又，所以，，所以，即，，平面，所以平面.（2）解：由（1）知平面，且，以為原點，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，所以，，設面的法向量為，則，取，則，則，設面的法向量為，則，取，則，則，設平面與平面夾角為，則，所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.19.已知橢圓，點為橢圓短軸的上端點，為橢圓上異于點的任一點，若點到點距離的最大值僅在點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知.（1）若離心率，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關于原點的對稱點，也異于點，直線、分別與軸交于、兩點，試問以線段為直徑的圓是否過定點，并說明理由.解：（1）由題意可得A0,3，因為，所以橢圓方程為，設，則，二次函數(shù)開口向下，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取最大值，此時為橢圓的短軸的另一個端點，所以橢圓是“圓橢圓”；（2）因為橢圓方程為，A0,3，設，則，因為，所以，由題意得，當且僅當時，函數(shù)值達到最大值，則有，綜上有的取值范圍為.（3）由（2）可得，則橢圓方程為，設，則直線：，直線：，所以，若為直徑的圓過定點，由對稱性知在軸上，設，則，又，所以，又因為，解得，所以得定點.貴州省遵義市播州區(qū)2024-2025學年高二上學期期末適應性考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.拋物線的準線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】拋物線的準線方程是，拋物線的準線方程是x=-1，故選：D.2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】故選：B.3.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，因為是減函數(shù)，，由在上是增函數(shù)，所以，所以．故選：A.4.如圖，已知電路中3個開關閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若燈亮，則需、閉合，閉合與否都可，故燈亮的概率為.故選：B.5.已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，下列結(jié)論正確是（）A.，，則 B.，，，則C.，，則 D.，，，則【答案】C【解析】對A：由，，則或、異面，故A錯誤；對B：若，，，則或、異面，故B錯誤；對C：若，，則，故C正確；對D：若，，，則或、異面或、相交，故D錯誤.故選：C.6.若角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.7.設集合，集合，那么集合中滿足的元素的個數(shù)為（）A.12 B.18 C.22 D.24【答案】C【解析】集合中元素個數(shù)共有個，若，則有，則可能，共1種；或，或，共2種；或，或，共2種；故集合中滿足的元素的個數(shù)為.故選：C.8.如圖，在棱長為2的正方體中，有8個以正方體頂點為球心且半徑相等的部分球體，有1個以正方體體心為球心的球體，與均相切，則該9部分的體積和的范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設球體的半徑為，半徑為，所以，即得，可得，所以，開口向下，對稱軸為，所以，該9部分的體積和為，所以.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，下列區(qū)間中存在函數(shù)零點的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】，，可得，由函數(shù)零點存在性定理可得存在函數(shù)零點的區(qū)間是，，可得，，可得，，可得，由函數(shù)零點存在性定理可得存在函數(shù)零點的區(qū)間是.故選：AD.10.已知是圓上的動點，點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為6 B.的最大值為8C.的最小值為 D.的最大值為5【答案】CD【解析】對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：的幾何意義為過點O0,0與的直線的斜率，設過點的直線為，則有，解得，故的最小值為，故C正確；對D：，故的最大值為5，故D正確.故選：CD.11.已知曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關于對稱B.曲線剛好經(jīng)過2個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）C.若點在曲線上，則D.曲線與直線有且只有一個交點【答案】ABC【解析】因為曲線的方程為，當，時，曲線的方程為，當，時，曲線的方程為，是焦點在軸上的等軸雙曲線右支的一部分.當，時，曲線的方程為，是焦點在軸上的等軸雙曲線上支的一部分.作出曲線的圖象如圖：設點Mx,y為曲線上的點，則點Mx,y關于對稱的點為，代入方程成立，所以曲線關于對稱，A正確；顯然曲線上有點2個整點，除此之外任意兩個整數(shù)的平方差都不可能等于1，B正確；由上可知直線為曲線中雙曲線部分的漸近線，設曲線中圓的部分切線為，即，則，解得或（舍），即，曲線位于直線與之間，所以若點在曲線上，則,所以，即，C正確；由于直線在下方，所以與曲線無交點，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以.13.若雙曲線，滿足，則的離心率為__________.【答案】【解析】.14.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】令，則，即，令，則，則，令，則，又定義域為，故為偶函數(shù)，設對任意，且，則，則，故，即，故在上單調(diào)遞增，，即，則有，解得且，故其解集.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為了調(diào)查某廠2000名工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（單位：個），產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為，，，，，頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)；（2）從產(chǎn)品數(shù)量在和的工人中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取3人進行座談，則這3名工人在同一組的概率是多少.解：（1）由題可得，前三組頻率之和為，前四組頻率之和為，則樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設75%分位數(shù)為x，則有，解得，∴樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為28.（2）由圖可得在內(nèi)的工人為人，在內(nèi)的工人為人，故在內(nèi)抽取4人，記為A，B，C，D；在內(nèi)抽取2人，記為X，Y，則從這6人中抽取3人的樣本空間有20個樣本點：，，且20個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，其中3人在同一組的樣本點有共4個，設3人在同一組的概率為P，則有.綜上，3名工人在同一組的概率為.16.已知圓經(jīng)過點和原點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程：（2）過點作圓的切線，求切線方程.解：（1）由題意知，設，則，解得，所以，半徑為，故圓的標準方程為.（2）如圖所示，點在圓外，則過點的圓的切線方程有兩條.當切線的斜率存在時，設切線方程為，即，設圓心到直線的距離為，而圓的半徑為r=1，則，解得，所以切線方程為；當切線的斜率不存在時，則與圓相切.綜上，切線方程為x=2或.17.已知銳角三角形中，角，，所對的邊分別為，，，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）由，則有，即，由為銳角三角形，故、，故，則有，即，即；（2）由正弦定理可得，由為銳角三角形，故，解