2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策主成分分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.在主成分分析中，每個(gè)主成分的方差是（）。A.原始變量的方差之和B.原始變量的協(xié)方差之和C.基于原始變量線性組合的新變量的方差D.總方差的一部分2.主成分分析的主要目的是（）。A.提高模型的擬合優(yōu)度B.降低數(shù)據(jù)的維度，同時(shí)保留大部分信息C.檢驗(yàn)變量之間的相關(guān)性D.對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分類3.計(jì)算主成分分析所需的數(shù)據(jù)通常是（）。A.分類數(shù)據(jù)B.標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)C.有序數(shù)據(jù)D.非數(shù)值型數(shù)據(jù)4.假設(shè)從三個(gè)原始變量X1,X2中提取了兩個(gè)主成分F1和F2，F(xiàn)1的方差貢獻(xiàn)率為60%，F(xiàn)2的方差貢獻(xiàn)率為30%，則F1和F2共解釋了原始變量總方差的（）。A.30%B.60%C.90%D.無法確定5.確定主成分個(gè)數(shù)時(shí)，常用的標(biāo)準(zhǔn)是（）。A.主成分的方差貢獻(xiàn)率是否超過50%B.主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到一個(gè)預(yù)設(shè)的水平（如85%或90%）C.主成分的特征值是否大于1D.主成分的方向是否與原始變量方向一致6.主成分得分是（）。A.原始變量的線性組合B.主成分變量的線性組合C.特征向量D.特征值7.主成分分析中，若某兩個(gè)原始變量在初始相關(guān)系數(shù)矩陣中的相關(guān)系數(shù)較高，則它們在第一個(gè)主成分上的載荷值通常會（）。A.都接近于0B.都接近于1C.一個(gè)大一個(gè)很小D.都接近于-18.主成分分析是基于原始變量之間的（）關(guān)系進(jìn)行分析的。A.相關(guān)性B.獨(dú)立性C.偏差D.方差9.已知原始變量X1和X2的標(biāo)準(zhǔn)化值分別為x1和x2，它們在第一個(gè)主成分上的載荷分別為l1和l2，則第一個(gè)主成分F1可以表示為（）。A.F1=x1+x2B.F1=l1*x1+l2*x2C.F1=(x1+x2)/2D.F1=sqrt(l1*x1+l2*x2)10.若提取的主成分個(gè)數(shù)與原始變量個(gè)數(shù)相同，則主成分分析相當(dāng)于（）。A.對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重新排序B.對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行線性變換C.沒有進(jìn)行任何降維D.對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化二、計(jì)算題（每小題10分，共30分。請寫出詳細(xì)的計(jì)算步驟。）1.已知三個(gè)變量X1,X2,X3的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)如下（僅列出相關(guān)系數(shù)矩陣，非原始數(shù)據(jù)）：||X1|X2|X3||-----|------|------|------||X1|1.0|0.8|-0.6||X2|0.8|1.0|0.7||X3|-0.6|0.7|1.0|要求：(1)計(jì)算特征值及對應(yīng)的單位特征向量。(2)確定主成分的方向。(3)若只保留一個(gè)主成分，計(jì)算該主成分的方差貢獻(xiàn)率，并說明該主成分主要反映了原始變量之間的哪種關(guān)系。2.假設(shè)通過計(jì)算得到三個(gè)主成分F1,F2,F3的方差貢獻(xiàn)率分別為55%,25%,20%，且第一個(gè)主成分F1的方向（單位特征向量）為(0.5,0.5,0.667)T。已知原始變量X1,X2,X3的標(biāo)準(zhǔn)化值分別為x1=1,x2=0.5,x3=-0.8。要求：計(jì)算主成分得分F1。3.某研究涉及4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化變量X1,X2,X3,X4，提取了兩個(gè)主成分F1和F2。已知F1和F2的方向（單位特征向量）分別為：F1=(0.4,0.5,0.5,0.6)TF2=(0.6,-0.4,0.4,-0.4)T要求：(1)比較這兩個(gè)主成分的主要差異。(2)如果需要用這兩個(gè)主成分代表原始變量，請簡要說明每個(gè)主成分可能蘊(yùn)含的原始變量組合信息。三、應(yīng)用題（每小題15分，共30分。請結(jié)合問題背景和分析要求進(jìn)行回答。）1.某公司希望評估其下屬的五個(gè)分公司（A,B,C,D,E）在三個(gè)方面的表現(xiàn)：員工滿意度（X1）、產(chǎn)品質(zhì)量（X2）和創(chuàng)新能力（X3）。收集了相關(guān)數(shù)據(jù)，并進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理。通過計(jì)算得到相關(guān)系數(shù)矩陣，其特征值分別為：λ1=2.8,λ2=1.1,λ3=0.05,λ4=0.03,λ5=0.02（單位：方差）。要求：(1)判斷是否適合進(jìn)行主成分分析，并說明理由。(2)若決定進(jìn)行主成分分析，應(yīng)提取幾個(gè)主成分？請說明依據(jù)。(3)簡要解釋提取的主成分可能代表的公司綜合評價(jià)維度。2.某研究者收集了10個(gè)樣本，測量了每個(gè)樣本在三個(gè)變量上的數(shù)據(jù)：身高（X1）、體重（X2）和體脂率（X3）。研究者希望通過主成分分析來簡化這三個(gè)變量的信息。要求：(1)簡述主成分分析在這個(gè)問題上的應(yīng)用價(jià)值。(2)假設(shè)計(jì)算后提取了一個(gè)主成分F1，其方差貢獻(xiàn)率為75%，且方向（單位特征向量）為(0.6,0.7,0.3)T。請解釋這個(gè)主成分F1的主要含義，并說明它主要綜合了哪些原始變量的信息。---試卷答案一、選擇題1.C*解析：主成分是原始變量的線性組合，其方差衡量了這個(gè)線性組合所解釋的信息量或方差大小。2.B*解析：主成分分析的核心目的在于降維，通過提取少數(shù)幾個(gè)能夠代表大部分原始數(shù)據(jù)變異性的主成分，簡化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，去除冗余信息。3.B*解析：為了消除不同變量量綱的影響，以及確保主成分的方差貢獻(xiàn)率能準(zhǔn)確反映信息量，主成分分析通常需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。4.C*解析：累計(jì)方差貢獻(xiàn)率=F1貢獻(xiàn)率+F2貢獻(xiàn)率=60%+30%=90%。5.B*解析：選擇主成分個(gè)數(shù)的關(guān)鍵在于確定能夠保留足夠多原始信息（方差）的主成分?jǐn)?shù)量，通常依據(jù)累計(jì)方差貢獻(xiàn)率達(dá)到某個(gè)閾值（如85%或90%）來決定。6.B*解析：主成分得分是原始數(shù)據(jù)投影到主成分方向上的坐標(biāo)值，即通過將原始變量的標(biāo)準(zhǔn)化值與其對應(yīng)主成分的方向（載荷）相乘后得到。7.C*解析：如果兩個(gè)原始變量高度相關(guān)，它們的變化趨勢一致，因此在主成分分析中會同時(shí)貢獻(xiàn)較大的方差給同一個(gè)主成分，導(dǎo)致該主成分在這兩個(gè)變量上的載荷值都比較大（同向）或都比較?。ǚ聪?，取決于相關(guān)系數(shù)正負(fù)）。8.A*解析：主成分分析通過構(gòu)造新的正交變量（主成分），使得新變量之間不相關(guān)，并且按方差大小排序，本質(zhì)上是在原始變量相關(guān)性的基礎(chǔ)上進(jìn)行降維。9.B*解析：主成分是原始變量的線性組合，其組合系數(shù)就是主成分的方向向量（載荷），即F1=l1*x1+l2*x2+...+ln*xn。10.C*解析：如果提取的主成分個(gè)數(shù)與原始變量個(gè)數(shù)相同，且沒有進(jìn)行任何特殊處理（如旋轉(zhuǎn)），那么主成分僅僅是原始變量的線性變換（旋轉(zhuǎn)或比例縮放），本質(zhì)上沒有降維，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)未改變。二、計(jì)算題1.(1)特征值：λ1=2.2,λ2=0.8,λ3=0.0(特征值之和為3，確保矩陣正規(guī)性，實(shí)際計(jì)算應(yīng)基于完整相關(guān)陣)。單位特征向量（經(jīng)計(jì)算或軟件求解）：α1=(0.577,0.577,-0.577)Tα2=(-0.707,0.707,0.0)Tα3=(0.408,0.408,0.816)T*(注：此處特征值和單位特征向量為根據(jù)給定系數(shù)矩陣推斷或示例值，實(shí)際計(jì)算需嚴(yán)格求解)*(2)主成分的方向即為對應(yīng)的單位特征向量。F1的方向?yàn)棣?=(0.577,0.577,-0.577)TF2的方向?yàn)棣?=(-0.707,0.707,0.0)TF3的方向?yàn)棣?=(0.408,0.408,0.816)T(3)僅保留一個(gè)主成分F1。F1的方差貢獻(xiàn)率=λ1/(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)=2.2/(2.2+0.8+0.0+0.03+0.02)=2.2/3.05≈72.37%。該主成分主要反映了原始變量X1,X2,X3之間相互關(guān)聯(lián)的程度。由于F1的方向向量中X1,X2的載荷為正且相近，X3的載荷為負(fù)，說明F1主要綜合了X1和X2的協(xié)同變動(dòng)信息，同時(shí)在一定程度上也反映了與X3的負(fù)向關(guān)聯(lián)。2.F1得分=0.5*x1+0.5*x2+0.667*x3=0.5*1+0.5*0.5+0.667*(-0.8)=0.5+0.25-0.5336≈0.2164。3.(1)比較：F1在所有四個(gè)變量上的載荷都比較接近且為正，表明F1綜合了X1到X4的信息，且這四個(gè)變量在F1上的貢獻(xiàn)相對均衡。F2的載荷在X1和X3上為正，在X2和X4上為負(fù)，且正負(fù)載荷的絕對值接近，表明F2主要反映了X1與X2、X3與X4之間的相互對立或平衡關(guān)系。(2)F1可能代表了“整體性”或“綜合活動(dòng)水平”的維度，因?yàn)槠漭d荷在四個(gè)變量上都比較均勻，可能意味著F1綜合反映了與這四個(gè)方面相關(guān)的整體狀況。F2可能代表了某種“對比性”或“結(jié)構(gòu)平衡”的維度，例如，高F2得分可能意味著X1和X3相對突出，而X2和X4相對不突出；低F2得分則可能意味著X1和X3相對不突出，而X2和X4相對突出，或者四個(gè)變量趨于平衡。三、應(yīng)用題1.(1)適合。理由：相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值大于0（λ1=2.8,λ2=1.1,λ3=0.05>0），表明原始變量之間存在一定的相關(guān)性，適合進(jìn)行主成分分析來提取共同信息。*(注：此處假設(shè)所有特征值均為正，實(shí)際應(yīng)基于完整相關(guān)陣計(jì)算)*(2)應(yīng)提取兩個(gè)主成分。依據(jù)：前兩個(gè)主成分的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率=λ1+λ2/(總特征值之和)=(2.8+1.1)/(2.8+1.1+0.05+0.03+0.02)=3.9/4.0=97.5%。該值已超過常用的85%或90%閾值，提取前兩個(gè)主成分即可保留絕大部分信息。(3)提取的這兩個(gè)主成分可能代表了公司評價(jià)的兩個(gè)主要維度。第一個(gè)維度（由F1主要反映）可能綜合了員工滿意度、產(chǎn)品質(zhì)量和創(chuàng)新能力，反映了公司的整體綜合表現(xiàn)或軟硬實(shí)力。第二個(gè)維度（由F2可能反映，盡管其方差貢獻(xiàn)率較低，但方向向量可能揭示信息）可能反映了不同分公司在特定方面的相對差異或組合模式，例如，可能區(qū)分了那些員工滿意度高但創(chuàng)新低，或產(chǎn)品質(zhì)量好但滿意度不高的分公司類型。2.(1)應(yīng)用價(jià)值：對于身高、體重、體脂率這三個(gè)高度相關(guān)的變量，主成分分析可以：*降維：將三個(gè)變量合并為較少的主成分（例如一個(gè)），減少后續(xù)分析的復(fù)雜度。*提取關(guān)鍵信息：第一個(gè)主成分（方差貢獻(xiàn)率最大的）能最大程度地保留原始數(shù)據(jù)的主要變異信息，揭示數(shù)據(jù)的核心模式。*消除共線性：如果后續(xù)要進(jìn)行回歸分析等，主成分作為自變量可以避免原始變量間的多重共線性問題。*解釋性：嘗試解釋主成分的物理或生物學(xué)意義，例如，第一