高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省江門市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市組建了一支72人的宣傳隊，其中男隊員27人，女隊員45人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從全體隊員中抽出一個容量為24的樣本，如果樣本按比例分配，那么女隊員應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.18 B.16 C.15 D.9【答案】C【解析】因為全體隊員中女隊員所占比例為，所以樣本中女隊員應(yīng)抽取的人數(shù)為.故選：C2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，故，故，故選：C.3.已知，且，則（）A. B. C.11 D.【答案】B【解析】因為且，所以，所以，則，所以，故選：B.4.已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷【答案】A【解析】由題，，故，故，故，故兩圓相交.故選：A.5.在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，棱長為2的正方體中，為線段的中點，以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向空建立空間直角坐標(biāo)系，所以所以,所以點到直線的距離為,故選：B.6.某款品牌牛奶生產(chǎn)企業(yè)開展有獎促銷活動：將16盒這種牛奶裝一箱，每箱中都放置2盒能夠中獎的牛奶.若從一箱中隨機(jī)抽出2盒，能中獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)為“從一箱中隨機(jī)抽出2盒，能中獎”，則，故選：B.7.已知點分別是雙曲線的左右焦點，以線段為邊作等邊三角形，線段的中點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)有，其中為半焦距，則設(shè)的中點為，則，且，，故，故，故選：D.8.如圖，在棱長為的正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，且在方向上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，在方向上的投影向量為，又，且，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合形目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.一家水果店的店長為了解本店大澤臍橙的日銷售情況，記錄了過去10天大澤臍橙的日銷售量（單位：kg），結(jié)果如下：下列說法正確的是（）A.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的中位數(shù)為93B.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的平均數(shù)大于98C.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的極差為37D.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的第70百分位數(shù)為104【答案】BC【解析】10個數(shù)由小到大為：，故中位數(shù)為，故A錯誤；平均數(shù)為,故B正確；極差為，故C正確；因為，故第70百分?jǐn)?shù)為，故D錯誤，故選：BC.10.已知拋物線的焦點為F，O為原點，點為拋物線上一動點，則下列說法正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.若，則C.過點的直線與拋物線交于兩點，若是線段的中點，則D.點是直線上一動點，則|PQ|的最小值是【答案】BCD【解析】由拋物線方程為，故焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故A錯誤，若，則，故，故B正確；對于C，因為為線段的中點，故不垂于坐標(biāo)軸，設(shè)，，則可得，故，故，故，故C正確；對于D，設(shè)，直線，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，故D成立故選：BCD.11.已知單位向量兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（）A.若，則B.若，則C.若，則不論取何值，四點都共面D.若，則點到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，，因為，故，所以，因為單位向量兩兩的夾角為，所以，所以，故，故A正確；對于B，，因為單位向量兩兩的夾角為，故即，故B錯誤；對于C，，所以，，，故，故，又共起點，故四點共面，故C正確；對于D，，取，則，因為，故共面，而，，因為單位向量兩兩的夾角為，所以，則，故，同理，故平面，故到平面的距離為故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)據(jù)9，15，13，11，12的方差是_______________.【答案】4【解析】這5個數(shù)的和為，其均值為，故方差為，故答案為：4.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于平面的對稱點為，若，則______________.【答案】【解析】由題設(shè)有，，故，因為，故，故.14.江門市某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)建模比賽，某比賽小組認(rèn)為雞蛋的橫截面可以看成由橢圓與圓的部分圖象組合而成，在平面直角坐標(biāo)系中，利用半圓和半橢圓圍成了一個封閉的圖形模擬雞蛋的橫截面（圖1），點為半橢圓的焦點，過原點的直線交于點，交于點，則|AB|的最大值為_________；點是上一點，點N是半圓與軸的交點（如圖2所示），點，則的最大值為______________.【答案】【解析】因為過原點的直線交于點A，交于點，而點A為半圓上的點，所以點A到原點距離為，因為半橢圓上的點B在左端點時到原點距離最大為半長軸長，所以的最大值為：；因為點N是半圓與軸的交點，所以，因為，，所以，因為半橢圓，所以焦點，發(fā)現(xiàn)為另一個焦點，由橢圓定義可知，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時取等號，故的最大值為.四、解答題，本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線，圓經(jīng)過三點.（1）求直線與圓的方程；（2）求直線被圓所截得的弦長.解：（1）由可得，故兩條直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)，代入可得，故直線的方程為，設(shè)圓，由題設(shè)有：，故，故圓.（2）由（1）得圓，故，且半徑為，而到直線的距離為，故所求弦長為.16.盤，全稱USB閃存驅(qū)動器，它是一種使用USB接口的無需物理驅(qū)動器的微型高容量移動存儲產(chǎn)品，通過USB接口與電腦連接實現(xiàn)即插即用.有一個盒子里裝有形狀一樣，顏色不一樣的盤，其中銀色盤4個，黑色盤3個，從中任取2個盤.（1）求取出的2個盤都是黑色盤的概率；（2）如果是4個銀色盤，個黑色盤，已知取出的2個盤都是銀色的概率為，那么是多少？解：（1）設(shè)為“取出的2個盤都是黑色盤”，則.（2）設(shè)為“取出的2個盤都是銀色盤”，則，解得.17.如圖，在直三棱柱中，是的中點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求直線BC與平面所成角的余弦值.（1）證明：在直三棱柱中，由于，所以可以如圖以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系：又由于是的中點，是的中點，則，所以，由于所以，所以，又因為平面，所以平面；（2）由（1）得：，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，即，設(shè)直線BC與平面所成角為，則，所以.即直線BC與平面所成角的余弦值為.18.已知點是雙曲線的一個焦點，且過點.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）直線與雙曲線相交于A，B兩點，若，求的面積；（3）直線與雙曲線有唯一公共點，過點與直線垂直的直線分別交軸，軸于點，當(dāng)運動時，求點的軌跡方程.解：（1）由題設(shè)有，解得，故漸近線方程為.（2）由（1）可得雙曲線方程為：，由可得，故，故，故，當(dāng)，直線，故到的距離為，故；當(dāng)，直線，故到的距離為，故；故的面積為或.（3）由可得，因為，且直線l'與雙曲線C只有唯一公共點Q,所以，所以，故，又，故，而過點與直線垂直的直線方程為：，令，則，令，則，故，，所以即，故的軌跡方程為：.19.已知橢圓，短軸長為2，離心率為，過點的直線交橢圓于A，B兩點，點為橢圓的右頂點（A，B，D三點不共線）（如圖1）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線與的斜率之積為定值；（3）以橢圓的長軸為旋轉(zhuǎn)軸，將橢圓旋轉(zhuǎn)，得到橢圓（如圖2所示，橢圓在平面內(nèi)，橢圓在平面內(nèi)），橢圓上是否存在定點，使得平面平面恒成立？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）由題設(shè)有，故，故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為不共線，故的斜率不為零，設(shè)，，則，由可得，且，故，即直線與的斜率之積為定值.（3）設(shè)，則，在空間直角坐標(biāo)系中，由（2）可得，故，而，其中，設(shè)平面的法向量為，則由，可得：，取，則，故，同理可求平面的法向量為，若平面平面恒成立，則對任意的實數(shù)恒成立，由（2）的結(jié)論可得，故，而，故或（舍），故存在且坐標(biāo)為.廣東省江門市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（一）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.為了弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某市組建了一支72人的宣傳隊，其中男隊員27人，女隊員45人，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從全體隊員中抽出一個容量為24的樣本，如果樣本按比例分配，那么女隊員應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.18 B.16 C.15 D.9【答案】C【解析】因為全體隊員中女隊員所占比例為，所以樣本中女隊員應(yīng)抽取的人數(shù)為.故選：C2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，故，故，故選：C.3.已知，且，則（）A. B. C.11 D.【答案】B【解析】因為且，所以，所以，則，所以，故選：B.4.已知圓，圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.無法判斷【答案】A【解析】由題，，故，故，故，故兩圓相交.故選：A.5.在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線AE的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題知，棱長為2的正方體中，為線段的中點，以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向空建立空間直角坐標(biāo)系，所以所以,所以點到直線的距離為,故選：B.6.某款品牌牛奶生產(chǎn)企業(yè)開展有獎促銷活動：將16盒這種牛奶裝一箱，每箱中都放置2盒能夠中獎的牛奶.若從一箱中隨機(jī)抽出2盒，能中獎的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)為“從一箱中隨機(jī)抽出2盒，能中獎”，則，故選：B.7.已知點分別是雙曲線的左右焦點，以線段為邊作等邊三角形，線段的中點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)有，其中為半焦距，則設(shè)的中點為，則，且，，故，故，故選：D.8.如圖，在棱長為的正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，且在方向上的投影向量為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，在方向上的投影向量為，又，且，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合形目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.一家水果店的店長為了解本店大澤臍橙的日銷售情況，記錄了過去10天大澤臍橙的日銷售量（單位：kg），結(jié)果如下：下列說法正確的是（）A.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的中位數(shù)為93B.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的平均數(shù)大于98C.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的極差為37D.該水果店過去10天大澤臍橙的日銷售量的第70百分位數(shù)為104【答案】BC【解析】10個數(shù)由小到大為：，故中位數(shù)為，故A錯誤；平均數(shù)為,故B正確；極差為，故C正確；因為，故第70百分?jǐn)?shù)為，故D錯誤，故選：BC.10.已知拋物線的焦點為F，O為原點，點為拋物線上一動點，則下列說法正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.若，則C.過點的直線與拋物線交于兩點，若是線段的中點，則D.點是直線上一動點，則|PQ|的最小值是【答案】BCD【解析】由拋物線方程為，故焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：，故A錯誤，若，則，故，故B正確；對于C，因為為線段的中點，故不垂于坐標(biāo)軸，設(shè)，，則可得，故，故，故，故C正確；對于D，設(shè)，直線，則，當(dāng)且僅當(dāng)且時等號成立，故D成立故選：BCD.11.已知單位向量兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（）A.若，則B.若，則C.若，則不論取何值，四點都共面D.若，則點到平面的距離為【答案】ACD【解析】對于A，，因為，故，所以，因為單位向量兩兩的夾角為，所以，所以，故，故A正確；對于B，，因為單位向量兩兩的夾角為，故即，故B錯誤；對于C，，所以，，，故，故，又共起點，故四點共面，故C正確；對于D，，取，則，因為，故共面，而，，因為單位向量兩兩的夾角為，所以，則，故，同理，故平面，故到平面的距離為故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數(shù)據(jù)9，15，13，11，12的方差是_______________.【答案】4【解析】這5個數(shù)的和為，其均值為，故方差為，故答案為：4.13.在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于平面的對稱點為，若，則______________.【答案】【解析】由題設(shè)有，，故，因為，故，故.14.江門市某學(xué)校舉行數(shù)學(xué)建模比賽，某比賽小組認(rèn)為雞蛋的橫截面可以看成由橢圓與圓的部分圖象組合而成，在平面直角坐標(biāo)系中，利用半圓和半橢圓圍成了一個封閉的圖形模擬雞蛋的橫截面（圖1），點為半橢圓的焦點，過原點的直線交于點，交于點，則|AB|的最大值為_________；點是上一點，點N是半圓與軸的交點（如圖2所示），點，則的最大值為______________.【答案】【解析】因為過原點的直線交于點A，交于點，而點A為半圓上的點，所以點A到原點距離為，因為半橢圓上的點B在左端點時到原點距離最大為半長軸長，所以的最大值為：；因為點N是半圓與軸的交點，所以，因為，，所以，因為半橢圓，所以焦點，發(fā)現(xiàn)為另一個焦點，由橢圓定義可知，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時取等號，故的最大值為.四、解答題，本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線，圓經(jīng)過三點.（1）求直線與圓的方程；（2）求直線被圓所截得的弦長.解：（1）由可得，故兩條直線的交點坐標(biāo)為，設(shè)，代入可得，故直線的方程為，設(shè)圓，由題設(shè)有：，故，故圓.（2）由（1）得圓，故，且半徑為，而到直線的距離為，故所求弦長為.16.盤，全稱USB閃存驅(qū)動器，它是一種使用USB接口的無需物理驅(qū)動器的微型高容量移動存儲產(chǎn)品，通過USB接口與電腦連接實現(xiàn)即插即用.有一個盒子里裝有形狀一樣，顏色不一樣的盤，其中銀色盤4個，黑色盤3個，從中任取2個盤.（1）求取出的2個盤都是黑色盤的概率；（2）如果是4個銀色盤，個黑色盤，已知取出的2個盤都是銀色的概率為，那么是多少？解：（1）設(shè)為“取出的2個盤都是黑色盤”，則.（2）設(shè)為“取出的2個盤都是銀色盤”，則，解得.17.如圖，在直三棱柱中，是的中點，是的中點.（1）證明：平面；（2）求直線BC與平面所成角的余弦值.（1）證明：在直三棱柱中，由于，所以可以如圖以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系：又由于是的中點，是的中點，則