高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市平江縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線,滿足，所以，則.所以準(zhǔn)線方程是.故選A.2.已知向量，向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：C.3.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈男甭?，結(jié)合選項(xiàng)可知直線的一個(gè)方向向量為．故選：．4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.12或3 B.1或 C.12 D.【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，則，化為，解得或，則或，故選：A.5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故選：B.6.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M在上，且，N為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】由已知可得，解得或.故選：C.8.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】構(gòu)造，則在上顯然遞增，由得，即，，，令，則，由得，遞增，由得，遞減，，．故選：B．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A.B.C.當(dāng)或6時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)取得最大值，且，即數(shù)列有最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD.10.已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（

）A.曲線C可以是圓 B.若，則曲線C為橢圓C.曲線C可以表示拋物線 D.若曲線C為雙曲線，則或【答案】AD【解析】對(duì)于A，若曲線C是圓，則，解得，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，曲線C是圓，不是橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線C有兩條對(duì)稱軸，不可能為拋物線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線C為雙曲線，則，解得或，D正確.故選：AD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點(diǎn)到直線的距離為C.存在點(diǎn)，使得平面D.動(dòng)點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)【答案】AD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.對(duì)于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，所以，又，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由選項(xiàng)A知，，，由，得到，取，所以平面的一個(gè)法向量為，由，得到，所以不存點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若，則________．【答案】42【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則.13.已知直線和兩點(diǎn)，若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】12【解析】如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于，則，于是，當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，解得，即，所以的最小值.14.已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為___________.【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)椋?，所以，，又，?lián)立可得：，所以，即，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，過圓心往三邊作垂線，垂足分別為，如圖所示，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與y軸相切，故，，，所以，即，即，兩邊平方得，即，則，兩邊同時(shí)除以，得，解得，因?yàn)?，所?四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，圓，（1）證明圓與圓相交；（2）求圓與圓公共弦所在直線的方程及公共弦的長(zhǎng).（1）證明：由題得圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心是，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心是，半徑．所以與的距離為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長(zhǎng)之差．因?yàn)椋?，所以圓與圓相交.（2）解：將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為,而，半徑，該圓心到公共弦的距離，故公共弦.16.在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，E是AD的中點(diǎn).（1）判斷直線BE與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解：（1）平面，證明如下：如圖，連接BD.因?yàn)闉榈冗吶切?，E是AD的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平?（2）以E為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面PBC的法向量為，則，令，則，故，所以，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.17.已知橢圓：的焦距為8，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的面積的最大值.解：（1）根據(jù)題意，即，又，所以，因?yàn)?，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由方程組消去y，得．①設(shè),，,，可得:則設(shè)與直線平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為此時(shí)的面積取得最大值.由方程組消去y，得．②方程②的根的判別式．由，得，．此時(shí)方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．與距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線方程為：點(diǎn)到直線的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，所以的面積的最大值：.18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，無最小值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，（?。┤?，則f'x<0，所以在單調(diào)遞減；（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)時(shí)，f所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（3）分析以下幾種情況討論：（?。┤?，函數(shù)在上為減函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.當(dāng)時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由于f-ln此時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，故在有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)滿足，則fn由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為0,1.19.數(shù)列、滿足：是等比數(shù)列，，，且．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.（2）求集合中所有元素的和．（3）對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試判斷數(shù)列、是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”，并說明理由．解：（1）根據(jù)題意可知，所有可得，又因是等比數(shù)列，所以設(shè)的公比為，則，所以，因①，當(dāng)時(shí)，②，①式減去②式可得，將，可得，將之化簡(jiǎn)可得，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，故.（2）由題意知集合，則化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為，設(shè)前項(xiàng)和為，數(shù)列前項(xiàng)和為，且解之可得，所以集合所有元素之和為.（3）數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：當(dāng)時(shí)，是的正整數(shù)倍，故一定不是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，不是數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，是數(shù)列中的項(xiàng)；綜上，數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，；數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由如下：不妨設(shè)：，則，且，故不是數(shù)列中的項(xiàng).數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”.湖南省岳陽市平江縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】拋物線,滿足，所以，則.所以準(zhǔn)線方程是.故選A.2.已知向量，向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所?故選：C.3.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈男甭?，結(jié)合選項(xiàng)可知直線的一個(gè)方向向量為．故選：．4.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.12或3 B.1或 C.12 D.【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，則，化為，解得或，則或，故選：A.5.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即．故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.故選：B.6.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M在上，且，N為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】.故選：B.7.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】由已知可得，解得或.故選：C.8.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】構(gòu)造，則在上顯然遞增，由得，即，，，令，則，由得，遞增，由得，遞減，，．故選：B．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A.B.C.當(dāng)或6時(shí)，數(shù)列有最小項(xiàng)D.是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也成立，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)取得最大值，且，即數(shù)列有最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，又，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD.10.已知曲線C的方程為，則下列說法正確的為（

）A.曲線C可以是圓 B.若，則曲線C為橢圓C.曲線C可以表示拋物線 D.若曲線C為雙曲線，則或【答案】AD【解析】對(duì)于A，若曲線C是圓，則，解得，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，當(dāng)時(shí)，曲線C是圓，不是橢圓，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線C有兩條對(duì)稱軸，不可能為拋物線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若曲線C為雙曲線，則，解得或，D正確.故選：AD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點(diǎn)到直線的距離為C.存在點(diǎn)，使得平面D.動(dòng)點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)【答案】AD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.對(duì)于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，所以，又，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由選項(xiàng)A知，，，由，得到，取，所以平面的一個(gè)法向量為，由，得到，所以不存點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，故選：AD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)的和，若，則________．【答案】42【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則.13.已知直線和兩點(diǎn)，若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】12【解析】如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于，則，于是，當(dāng)三點(diǎn)共線，即與重合時(shí)取等號(hào)，設(shè)，則，解得，即，所以的最小值.14.已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，E上存在點(diǎn)P，使得，且的內(nèi)切圓與y軸相切，則E的離心率為___________.【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)?，所以，所以，，又，?lián)立可得：，所以，即，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，過圓心往三邊作垂線，垂足分別為，如圖所示，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與y軸相切，故，，，所以，即，即，兩邊平方得，即，則，兩邊同時(shí)除以，得，解得，因?yàn)?，所?四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，圓，（1）證明圓與圓相交；（2）求圓與圓公共弦所在直線的方程及公共弦的長(zhǎng).（1）證明：由題得圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心是，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心是，半徑．所以與的距離為．圓與圓的兩半徑之和，兩半徑長(zhǎng)之差．因?yàn)?，即，所以圓與圓相交.（2）解：將圓和圓的方程相減，得兩圓的公共弦所在直線的方程為,而，半徑，該圓心到公共弦的距離，故公共弦.16.在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，E是AD的中點(diǎn).（1）判斷直線BE與平面的位置關(guān)系，并證明；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.解：（1）平面，證明如下：如圖，連接BD.因?yàn)闉榈冗吶切?，E是AD的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，，所以平?（2）以E為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面PAB的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面PBC的法向量為，則，令，則，故，所以，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.17.已知橢圓：的焦距為8，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的面積的最大值.解：（1）根據(jù)題意，即，又，所以，因?yàn)?，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由方程組消去y，得．①設(shè),，,，可得:則設(shè)與直線平行的直線方程為：，如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為此時(shí)的面積取得最大值.由方程組消去y，得．②方程②的根的判別式．由，得，．此時(shí)方程②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．與距離比較遠(yuǎn)的直線方程：，直線方程為：點(diǎn)到直線的距離即兩平行線之間的距離，利用平行線之間的距離公式可得：，所以的面積的最大值：.18.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)