七年級數(shù)學最短距離問題教案實例一、課題名稱探索生活中的最短距離——“兩點之間線段最短”的應用二、授課年級七年級三、教學目標1.知識與技能：學生能夠理解并復述“兩點之間，線段最短”的基本事實；能夠運用該基本事實解決簡單的平面圖形中的最短路徑問題；初步體會“化曲為直”和“軸對稱”在解決最短距離問題中的作用。2.過程與方法：通過觀察、操作、思考、交流等數(shù)學活動，引導學生經(jīng)歷從具體實例中抽象出數(shù)學模型的過程，培養(yǎng)學生的幾何直觀和邏輯思維能力，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：感受數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值，激發(fā)學習數(shù)學的興趣；在探究活動中，培養(yǎng)學生積極思考、勇于探索的精神和合作交流的意識。四、教學重難點1.教學重點：“兩點之間，線段最短”基本事實的理解和直接應用；將簡單的實際問題轉化為數(shù)學中的最短距離問題。2.教學難點：如何引導學生將一些較為復雜的（如涉及對稱軸）最短距離問題轉化為“兩點之間，線段最短”的基本模型。五、教學方法情境教學法、問題驅動法、小組合作探究法、多媒體輔助教學法六、教學準備教師：多媒體課件（包含圖片、動畫、問題）、直尺、三角板、白紙。學生：直尺、圓規(guī)、練習本、鉛筆。七、教學過程（一）復習引入，溫故知新教師活動：“同學們，我們已經(jīng)學習了線段、射線和直線的基本概念。大家還記得，連接兩點之間，可以畫出多少條不同的線嗎？”（引導學生回憶：無數(shù)條）“那么，在這些線中，哪一種線的長度是最短的呢？”（學生齊聲回答：線段）“非常好！我們把這個基本事實總結為——”（學生齊答：兩點之間，線段最短。教師板書該公理）“今天，我們就一起來深入探索這個公理在生活中的應用，解決一些與‘最短距離’相關的問題?！保ò鍟n題：最短距離問題）設計意圖：通過簡單回顧，激活學生已有的知識儲備，為新知識的學習做好鋪墊，并自然引出本節(jié)課的主題。（二）新知探究，初步應用教師活動：1.情境創(chuàng)設1（簡單應用）：“春天到了，校園里的花開了。小明同學想從教學樓的A點走到花園里的B點去賞花，他可以怎么走？哪條路最近呢？”（課件展示校園簡化平面圖，A、B兩點間有不同的路徑，如折線、曲線、線段等）“請大家在練習本上畫一畫，或者用直尺比一比?！睂W生活動：獨立思考，動手操作，然后同桌交流。教師引導學生得出結論：沿著連接A、B兩點的線段走最近，因為“兩點之間，線段最短”。教師強調(diào)：這里的A、B兩點是“兩點”，直接應用公理即可。2.情境創(chuàng)設2（變式思考）：“如果A、B兩點之間有一條筆直的小河（用一條直線l表示），小明要從A點到B點，并且必須先到河邊l去取水，然后再到B點，那么他應該怎么走，才能使總的路程最短呢？”（課件展示：直線l，直線l兩側分別有點A和點B）“這個問題和剛才的問題有什么不同？”（多了一個條件：必須先到河邊取水）“這時候還能直接連接A、B兩點嗎？”（不能，因為路徑必須經(jīng)過直線l上的一點）教師引導：“我們不妨假設小明在河邊的取水點為點P，那么小明的路徑就是A→P→B。我們要找的就是這樣的點P，使得AP+PB的長度最短?！保ㄕn件動態(tài)演示點P在直線l上運動，AP+PB長度的變化）“這個問題看起來復雜一些。大家思考一下，我們能不能想辦法，把這個問題轉化成我們已經(jīng)學過的‘兩點之間線段最短’的問題呢？”（給學生3-5分鐘時間，小組討論，嘗試畫圖）教師巡視，參與小組討論，對有困難的小組進行啟發(fā)：“如果我們能把AP或者PB‘搬’到直線l的另一側，使得A、P、B這三點能在一條直線上，是不是就能用我們學過的公理了？”學生活動：小組代表發(fā)言，可能會有不同的思路。若學生能想到對稱，則予以肯定；若不能，教師進行引導。教師講解（結合課件演示）：“我們可以利用軸對稱的知識。作點A關于直線l的對稱點A’（或者作點B關于直線l的對稱點B’）。大家想想，點A和點A’有什么關系？”（關于直線l對稱，直線l是AA’的垂直平分線，所以對于直線l上任意一點P，都有AP=A’P）“所以，AP+PB=A’P+PB?，F(xiàn)在，問題就轉化為：在直線l上找一點P，使得A’P+PB最短?！薄按蠹铱?，A’是定點，B是定點，P是直線l上的動點。要使A’P+PB最短，根據(jù)‘兩點之間，線段最短’，我們只需要連接A’和B，這條線段與直線l的交點，就是我們要找的點P！”（教師在黑板上規(guī)范作圖：作A關于l的對稱點A’，連接A’B交l于P，連接AP、BP。）“這樣，AP+PB=A’P+PB=A’B，就是最短的距離了。”教師總結：這種方法的關鍵在于“化折為直”，通過軸對稱，將折線APB轉化為線段A’B，從而利用我們學過的公理解決問題。這是解決最短距離問題中一種非常重要的思想方法。我們把這類問題形象地稱為‘將軍飲馬’問題的雛形?！痹O計意圖：通過層層遞進的情境創(chuàng)設，從簡單直接應用公理，到稍微復雜需要轉化的問題，引導學生逐步深入思考，體會“轉化”的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維和解決問題的能力。（三）例題講解，鞏固深化教師活動：例題1：如圖，要在公路旁（用直線l表示）修建一個公交車站P，使車站P到A村和B村的距離之和最短。請在圖中找出車站P的位置。（課件出示圖形：直線l，直線l同側有A、B兩點）“這個問題和剛才的‘取水’問題類似嗎？”（類似，都是在直線上找一點，使它到兩點的距離之和最短）“有什么不同呢？”（剛才A、B在直線兩側，現(xiàn)在A、B在直線同側）“那這個問題怎么解決呢？”（引導學生思考，同樣可以用軸對稱的方法）學生活動：嘗試獨立解決，一名學生板演。教師點評，并規(guī)范步驟：1.作點A關于直線l的對稱點A’（或點B的對稱點B’）；2.連接A’B，交直線l于點P；3.點P即為所求的公交車站的位置。理由：在直線l上任取一點P’（不與P重合），則AP’+P’B=A’P’+P’B>A’B=AP+PB（三角形兩邊之和大于第三邊或兩點之間線段最短）。例題2（生活實例）：如圖，一個工廠在河岸MN的一側，工廠A和工廠B分別位于河岸的同側，現(xiàn)要在河岸MN上修建一個水泵站P，向A、B兩廠供水，水泵站P建在何處，才能使鋪設的水管PA+PB最短？（課件展示圖形，與例題1類似，賦予實際背景）學生活動：快速口答解決思路和方法。教師強調(diào)：解決這類問題的核心思想是“軸對稱變換”和“兩點之間線段最短”的綜合應用。設計意圖：通過例題的講解和練習，讓學生掌握“在直線上找一點使到兩定點距離之和最短”這類問題的常規(guī)解法，鞏固所學知識，并體會數(shù)學與生活的聯(lián)系。（四）鞏固練習，拓展提升1.基礎練習：如圖，點A、B在直線l的異側，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。（直接連接AB，與l交點即為P）如圖，點A、B在直線l的同側，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。（作對稱點）（學生獨立完成，教師巡視指導）2.拓展思考（選做）：“如果小明從A點出發(fā)，先到河邊l取水，然后再到草地m喂馬，最后回到B點，怎樣走路徑最短呢？”（可以提示學生分步轉化）（此題為較難題，視學生情況決定是否深入講解，主要目的是激發(fā)學有余力的學生的探究興趣）設計意圖：分層設計練習，既保證了基礎知識點的鞏固，也為學有余力的學生提供了拓展空間，體現(xiàn)了因材施教的原則。（五）課堂小結，梳理知識教師引導學生回顧本節(jié)課所學內(nèi)容：“通過今天的學習，我們解決了哪些問題？用到了哪些重要的數(shù)學知識和思想方法？”學生小結：*核心知識：兩點之間，線段最短。*重要方法：軸對稱變換（找對稱點）。*數(shù)學思想：轉化思想（將新問題轉化為舊問題，將折線轉化為線段）。*解決的問題類型：1.直接求兩點間最短距離。2.在一條直線上找一點，使它到直線同側或異側兩點的距離之和最短。教師總結：“最短距離問題在生活中有著廣泛的應用。希望同學們能將今天學到的知識運用到實際生活中，用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。”（六）作業(yè)布置，學以致用1.必做題：教材對應練習題中關于最短距離的題目（2-3題）。2.選做題：*搜集生活中應用“兩點之間線段最短”公理的例子，與家人或同學分享。*思考：如果要在兩條相交直線之間找一條最短路徑，該如何思考？（為后續(xù)學習做鋪墊）設計意圖：通過作業(yè)鞏固所學，并將數(shù)學學習延伸到課外，鼓勵學生在生活中應用數(shù)學，培養(yǎng)探究精神。八、板書設計課題：最短距離問題公理：兩點之間，線段最短。探究1：A、B兩點間最短路徑→連接AB探究2：A→l上一點P→B，AP+PB最短方法：作A關于l的對稱點A’→連接A’B交l于P→P即為所求。（圖示：A,l,B,A’的位置關系及連線）例題1：（圖示）步驟：1.作對稱點2.連線交點3.得結論數(shù)學思想：轉化思想、軸對稱設計意圖：板書力求簡潔明了，突出重點知識、核心方法和關鍵圖示，幫助學生構建清晰的知識網(wǎng)絡。九、教學反思（教師課后填寫）1.學生對“兩點之間線段最短”公理的理解和直接應用掌握較好。2.對于“將軍飲馬”模型的引入和講解，部分學生在理解“為