20222023學(xué)年北師大版六年級數(shù)學(xué)下冊計算專項復(fù)習(xí)講義

專題03圓錐的體積

知識精講

一.圓錐體積的計算公式的推導(dǎo)

圓柱的體積=底面積?高，與圓柱等底等高的圓錐的體積等于圓柱體積的"，推得

酶的體積的體積減面積,高如果用?表示圓錐的體積，用s表示圓

錐的底面積，用力表示圓錐的高，用廣表示圓錐的底面半徑，則圓錐體積的計算

公式用字母表示為「=3，：或!=；燈，.

二.圓錐體積的計算公式的應(yīng)用

1.已知圓錐的底面半徑和高，可以直接利用公式來求圓錐的體積.

2.已知圓錐的底面直徑和高，可以直接利用公式凈=54竺X來求圓錐的體積.

3.已知圓錐的底面周長和高，可以直接利用公式4來求圓錐的體積.

3\2?7

典型例題一個底面直徑是12cm的圓維形木塊，把它分成形狀、大小完全相

同的兩個木塊后，表面積比原來增加了120cm2,求這個圓錐形木塊的體積是多

少？

名師學(xué)堂解題思路.把圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩塊后，多了

兩個以底面直徑為底邊、以圓錐的高為高的等腰三角形的面（如下圖）.先求出

一個等腰三角形的而面積，再根據(jù)公式“■”-d求出圓錐形木塊的高.已知圓錐

形木塊的底面直徑和高，可以求出它的體積.

A人

/0?n?\'

///\J*\\、

//xti\

I"\\

正確答案.120^2-60(cm2)

圓錐形木塊的高：機Kd+於”儂（cm）

xl0xl?3.14x36xl0xl?376.8

圓錐形木塊的體積:3.14

答：這個圓錐形木塊的體積是376.8cm'

三點剖析

重點：圓錐體積的計算公式的推導(dǎo).

難點：理解圓錐與圓柱之間的聯(lián)系，并能解決相關(guān)的實際問題.

易錯點：只有等底等高的圓柱與圓錐的體積一定存在3倍的關(guān)系.

圓錐體積的計算公式

【典例分析01】（2022?惠來縣）以直角三角形的08邊為軸旋轉(zhuǎn)1周，得到的立體圖形

是圓錐。請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算出這個立體圖形的體積。（單位：厘米）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圖示可知，沿直角三角形的直角邊08為軸旋轉(zhuǎn)一周，會得到一個

圓錐體，圓錐的底面半徑是4厘術(shù)，高是3厘術(shù)，利用圓錐的體積公式/=上口，力

3

代入數(shù)字計算即可。

【規(guī)范解答】解：-1x3.14X42X3

3

=3.14X16

=50.24（立方厘米）

答：圓錐的體積是5024立方厘米。

【考察注意點】本題考查了圓錐體積公式的應(yīng)用。

【典例分析02】（2022?臺兒莊區(qū)）圖形計算。

（1）計算下面圓錐體的體積。

3dm

（2）如圖，圓的面積是6.28加，求陰影部分（正方形）的面積。

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圓錐的體積公式：勺2口/力，把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

（2）通過觀察圖形可知，正方形的邊長等于圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式：S=n尸

把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【規(guī)范解答】解：（1）-1X3.14X32X8

3

=AX3.14X9X8

3

=75.36（立方分米）

答：這個圓錐的體積是75.36立方分米。

（2）設(shè)圓的半徑為〃分米，

3.14Xr2=628

3.14Xr2-r3.14=6.28+3.14

r=1

答：陰影部分（正方形）的面積是1平方分米。

【考察注意點】此題主要考查圓錐的體積公式、圓的面積公式、正方形的面積公式的

靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。

【變式訓(xùn)練01】（2022春*靈寶市期中）求如圖圓柱的表面積和圓錐的體積。（單位：

厘米）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圖示可知，沿直角三角形的直角邊08為軸旋轉(zhuǎn)一周，會得

到一個圓錐體，圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米，利用圓錐的體積公

式/=2n//代入數(shù)字計算即可。

3

【規(guī)范解答】解：-1x3.14X42X3

3

=3.14X16

=50.24（立方厘米）

答：圓錐的體積是50.24立方厘米。

【考察注意點】本題考查了圓錐體積公式的應(yīng)用。

2.（2022春?乳源縣校級月考）求圓錐的體積。

（1）底面積40平方分米，高6分米。

（2）底面直徑6厘米，高5厘米。

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圓錐的體積公式：V=Sh,把數(shù)據(jù)代入公式解答即可；

（2）先求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)圓錐的體積公式：/=nr2/?,把數(shù)據(jù)代

入公式解答即可。

【規(guī)范解答】解：（1）-ix40X6

3

=AX240

3

=80（立方分米）

答：圓錐的體積是80立方分米。

（2）-1x3.14X（64-2）2X5

3

=3.14X15

=47.1（立方厘米）

答：它的體積是47.1立方厘米。

【考察注意點】此題主要考查圓錐的體積公式的靈活運用，一定不要忘記乘工。

3.（2021*黃巖區(qū)）（1）求半圓的周長。（n取3.14）

（2）如圖，把一個底面半徑是2的、高是6曲的圓柱形木料，削成一個由兩

個圓錐體組成的零件。每個圓錐的高是原來圓柱高的一半，底面積和原來圓

柱的底面積相等。求削去部分的體積。（n取3.14）

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)半圓的周長公式：把數(shù)據(jù)代入公式解答。

（2）因為等底等底高的圓錐的體積是圓柱體積的工，所以削求部分的體積相

3

當(dāng)于圓柱體積的（1-A）,根據(jù)圓柱的體積公式：把數(shù)據(jù)代入公式

3

解答。

【規(guī)范解答】解：（1）3.14X4+4X4

=12.56+8

=20.56（厘米）

答：半圓的周長是20.56厘米。

（2）3.14X22X6X（1,1）

3

2

=3.14X4X6X3

2

=75.36X3

=50.24（立方分米）

答：削去部分的體積是50.24立方分米。

【考察注意點】此題主要考查半圓周長公式的靈活運用，等底等高的圓柱與

圓錐體積之間的關(guān)系及應(yīng)用。關(guān)鍵是熟記公式。

4.（2021春?海拉爾區(qū)校級期中）求下面圖形的體積。（單位：口〃）

【思路引導(dǎo)】圓錐的體積：l/=lsh=ln^ht已知高是21厘米，底面半徑

33

是8厘米，據(jù)此代入公式計算即可解答。

【規(guī)范解答】解：-1X3.14X82X21

3

=1X3.14X64X21

3

=1406.72（立方厘米）

答：圓錐的體積是1406.72立方厘米。

【考察注意點】此題考查了圓錐的體積公式的計算應(yīng)用，熟記公式是解答本

題的關(guān)鍵。

5.（2021春?北票市期中）求下面零件的體積。（單位：cm）

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的體積公式：|/=lnr2/7,把數(shù)據(jù)代入公式求出大小圓

3

錐的體積差即可。

【規(guī)范解答】解：J-x3.14X（6+2）2X10-^x3.14X（3+2）2X5

33

=±X3.14X9X10-AX3.14X2.25X5

33

=94.2-11.775

=82.425（立方厘米）

答：這個零件的體積是82.425立方厘米。

【考察注意點】此懣主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。

6.（2021-溫縣）求如圖三角形繞軸/18旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圖可知：繞軸48旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是一個圓錐體,

圓錐的底面半徑是4厘米，高是3厘米，進而根據(jù)：圓錐的體積=上R/九

3

由此解答即可。

【規(guī)范解答】解：1X3.14X42X3

3

=3.14X16

=50.24(立方厘米)

答：圍成的幾何體的體積是50.24立方厘米。

【考察注意點】靈活掌握圓錐的體積計算公式，是解答此題的關(guān)鍵。

7.(2021?西和縣)(1)計算下面圓柱的表面積。

10cm

?------%、▼

(2)計算下面圖形的體積。

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓柱的表面積公式：S&=S⑨+S忒X2,把數(shù)據(jù)代入公式

解答。

(2)根據(jù)圓錐的體積公式：勺工兀/九把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

【規(guī)范解答】解：(1)3.14X6X10+3.14X(64-2)2X2

=18.84X10+3.14X9X2

=188.4+56.52

=244.92(平方厘米)

答：這個圓柱的表面積是244.92平方厘米。

(2)-1x3.14X42X9

3

=±X3.14X16X9

3

=150.72（立方分米）

答：這個圓錐的體積是150.72立方分米。

【考察注意點】此題主要考查圓柱的表面積公式、圓錐的體積公式的靈活運

用，關(guān)鍵是熟記公式。

8.（2021-沈丘縣）求如圖的體積。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓錐的體積公式：|/=lnr2/7,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

【規(guī)范解答】解：-1x3.14X（44-2）2X6

3

=上義3.14X4X6

3

=25.12（立方分米）

答：這個圓錐的體積是25.12立方分米。

【考察注意點】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。

9.（2021春?虎林市期中）（1）計算圓柱的表面積和體積。

r=10cm

（2）計算圓錐的體積。

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+2個底面積=底面周長X高+

nX半徑的平方X2,以及圓柱的體積=底面積X高=口/九代入數(shù)據(jù)解答即

可；

（2）根據(jù)圓錐的體積公式：圓錐的體積=底面積X高+3=口＞力:3,代入數(shù)

據(jù)解答即可。

【規(guī)范解答】解：(1)2X3.14X10X20+3.14X102X2

=3.14X400+3.14X200

=3.14X600

=1884(平方厘米)

3.14X102X20

=314X20

=6280(立方厘米)

(2)3.14X(104-2)2X12?3

=3.14X25X4

=3.14X(25X4)

=3.14X100

=314(立方厘米)

【考察注意點】熟練掌握圓柱的表面積公式和圓柱的體積公式以及圓錐的體

積公式是解題的關(guān)鍵，圓柱的表面積公式：圓柱的表面積=底面周長X高十口

X半徑的平方X2,圓柱的體積=n/九圓錐.的體積=口＞力

10.(2021春?浦城縣期中)求下面各圖形的表面積或體積。(單位：厘米)

(1)求表面積。

(2)求體積。

1—12—?

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)底面周長是6.28厘米，先求得半徑。再根據(jù)圓的面積

=nr2,求得底面積，側(cè)面積=底面積X高，求得側(cè)面積。根據(jù)圓柱的表面積

=圓柱底面積*2+側(cè)面積，求得圓柱的表面積。

（2）圓柱的體積=底面積X高，圓柱的體積=工義底面積X高。

3

【規(guī)范解答】解：（1）6.284-3.144-2

=6.284-6.28

=1（厘米）

3.14X1X1X2+6.28X15

=6.28+94.2

=100.48（平方厘米）

答：圓柱表面積是100.48平方厘米。

（2）124-2=6（厘米）

3.14X6X6X5

=18.84X30

=565.2（立方厘米）

-1x3.14X5X5X9

3

=3.14X3X25

=3.14X75

=235.5（立方厘米）

答：圓柱的體積是565.2立方厘米，圓錐的體積是235.5立方厘米。

【考察注意點】本題考查圓柱的表面積和體積以及圓錐的體積。熟記公式是

關(guān)鍵。

11.（2021春?鄒城市期中）計算右面圓錐體的體積。（單位：物）

【規(guī)范解答】解：1X3.14X5X5X24

3

=3.14X25X8

=3.14X200

=628（立方厘米）

答：圓錐體的體積是628立方厘米。

【考察注意點】本題考查圓錐的體積公式，答題時不要漏了』。

3

12.（2021春?惠陽區(qū)期中）計算圖1的表面積和圖2的體積。

12cm

r=2cm

3cm12cm|IV

圖1圖2

【思路引導(dǎo)】根據(jù)圓柱的面積公式：S=2n小2n尸和圓錐的體積公式：p

=_lnrh,代入數(shù)值，計算即可。

【規(guī)范解答】解：2X3.14X2X3+2X3.14X21

=37.68+25.12

=62.8（平方厘米）

答：圓柱的表面積是62.8平方厘米。

-1X3.14X（124-2）2X12

3

=3.14X36X4

=452.16（立方厘米）

答：圓錐的體積是42.16立方厘米。

【考察注意點】本題主要考查了圓柱的面積公式和圓錐的體積公式的應(yīng)用，

關(guān)鍵是掌握它們的計算公式。

13.（2021春?射陽縣月考）看圖列式計算。（單位：厘米）

（1）求圓柱的表面積。

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積X2,圓柱的側(cè)面積=

底面周長X高，圓的面積公式：5=nr2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

(2)根據(jù)圓錐的體積公式：|/=AnPh,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

(3)由于兩個圓柱粘合在一起，所以上面的小圓柱只求它的側(cè)面積，下面的

大圓柱求它的表面積，然后合并起來即可。

【規(guī)范解答】解：(1)3.14X6X10+3.14X(6+2)2X2

=18.84X10+3.14X9X2

=188.4+56.52

=244.92(平方厘米)

答：它的表面積是244.92平方厘米。

(2)-1x3.14X(5+2)2X4.5

3

=1x3.14X6.25X4.5

3

=29.4375(立方厘米)

答：它的體積是29.4375立方厘米。

(3)3.14X4X4+3.14X8X5+3.14X(84-2)2X2

=12.56X4+3.14X16X2

=50.24+100.48

=150.72(平方厘米)

答：它的表面積是150.72平方厘米。

【考察注意點】此題主要考查圓柱的表面積公式、圓錐的體積公式的靈活運

用，關(guān)鍵是熟記公式。

14.(2022春?平邑縣校級期中)看圖計算。

(1)計算圓枉的表面積和體積。(單位：drri)

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓柱的表面積公式：S尸S/S底X2,體積公式：/=

Sh,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

(2)根據(jù)圓錐的體積公式：|/=AnPh,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

【規(guī)范解答】解：(1)3.14X8X20+3.14X(8+2)2X2

=25.12X20+3.14X16X2

=502.4+100.48

=602.88（平方分米）

3.14X(832)2X20

=3.14X16X20

=50.24X20

=1004.8(立方分米)

答：這個圓柱的表面積是602.88平方分米，體積是1004.8立方分米。

(2).1x3.14X(104-2)2X15

3

=±X3.14X25X15

3

=392.5(立方厘米)

答：這個圓錐的體積是392.5立方厘米。

【考察注意點】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式、圓錐的體積公

式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。

15.(2021春?青山區(qū)期中)按要求計算。

(1)求圓錐的體積。

(2)求圓柱的表面積。

【思路引導(dǎo)】(1)枝據(jù)圓錐的體積公式：r=Anr2/7,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

3

(2)根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積X2,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【規(guī)范解答】解：(1)-1x3.14X12X2.4

3

=±X3.14X1X2.4

3

=2.512(立方分米)

答：這個圓錐的體積是2.512立方分米。

(2)3.14X2X25+3.14X(2+2)2X2

=157+3.14X1X2

=157+6.28

=163.28(平方厘米)

答：這個圓柱的表面積是163.28平方厘米。

【考察注意點】此題主要考查圓錐的體積公式、圓柱的表面積公式的靈活運

用，關(guān)鍵是熟記公式。

16.(2021春?欒川縣校級期中)把如圖克甭三角形48。以8c邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，

得到一個立體圖形，求這個立體圖形的體積？

【思路引導(dǎo)】通過觀察圖形可知，直角三角形48C以及;邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得

到一個底面半徑是6厘米，高是2厘米的圓錐，根據(jù)圓錐的體積公式：/=ln

3

r/7,把數(shù)據(jù)代入公式解答。

【規(guī)范解答】解：1X3.14X62X2

3

=1X3.14X36X2

3

=75.36(立方厘米)

答：這個立體圖形的體積是75.36立方厘米。

【考察注意點】此題主要考查圓錐體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。

17.(2021春?鄭州期中)(1)求圓柱的表面積(單位：厘米)

(2)求圓錐的體積。(單位：分米)

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓柱的表面積公式：S&=2n/+2n”7,代入數(shù)值計算

即可;

2

(2)根據(jù)圓錐的體積公式：k=Anr/7,代入數(shù)值計算即可。

3

【規(guī)范解答】解：(1)2X3.14X62+2X3.14X6X15

=6.28X6X6+6.25X6X15

=37.68X(6+15)

=37.68X21

=791.28(cd)

答：圓柱的表面積為791.28平方厘米。

（2）-1x3.14X（124-2）2X10

3

=1x3.14X6X6X10

3

=3.14X2X6X10

=6.28X60

=376.8（而）

答：圓錐的體積為376.8立方分米。

【考察注意點】本題主要考查了圓柱的表面積和圓錐的體積，熟記公式是本

題解題的關(guān)鍵。

18.（2020*大名縣）在一個正方體木塊上挖掉一個圓錐形木塊（如圖），求剩下

木塊的體積。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方體的體積公式：圓錐的體積公式：/=-ln?/7,

3

把數(shù)據(jù)代入公式求出正方體與圓錐的體積差即可。

2

【規(guī)范解答】解：8X8X8--1X3.14X（64-2）X4

3

=64*8-上義3.14X9X4

3

=512-37.68

=474.32（立方分米）

答：剩下木塊的體積是474.32立方分米。

【考察注意點】此題主要考查正方體的體積公式、圓錐的體積水果的靈活運

用，關(guān)鍵是熟記公式。

19.（2022春?洪澤區(qū)月考）求圓柱表面積及圓錐體積。

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)圓柱的表面積公式：S『S倒+S或X2,把數(shù)