杭州學(xué)軍中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期期末考試

高一數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的

1.已知集合A二{.―2<尤<1},B={x|O<x<3}則二()

A.(-2,3]B.(-2,0)C.(0,1]D.(1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】由交集的運算法則求解即可.

【詳解】解：-A={x\-2<x<\},B={x|0<x<3},

/.AnB=1x|0<x<l},

故選：C.

2.函數(shù)/(幻二，2、-3+」一的定義域為()

x-2

22

A{x|x>—JBLr^2)B.{x|x<—JBLx>2)

C.{x||<x<2}7

D.{X\X>^BJC^2]

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)有意義，列出不等式組求解即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=j2x-3+」一的意義,則2x—3之0且工一2工0,解得工2之且工工2,

x-22

3

所以原函數(shù)的定義域為{工|工之孑且工工2}.

故選:D

3.下列命題正確的是().

A.小于9()。的角是銳角B.第二象限的角一定大于第一象限的角

C.與-2024。終邊相同的最小正角是136。D.若a=-2,則。是第四象限角

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)銳角定義判斷A,取特殊角判斷B,根據(jù)終邊相同的角判斷C,確定。所在象限判斷D.

【詳解】-10°<90°,但是由銳痢的定義知一10。不是銳角，故A錯誤；

100。是第二象限的角，400。是第一象限的角，但100。<400。，故B錯誤：

因為一2024。=-6又360。+136。，所以與一2024。終邊相同的最小正角是136。，故C正確：

。二一2〈一色且2=—2>—兀，所以。第三象限角，故D錯誤.

2

故選：C

"一如IE〃)_〃)

4.已知函數(shù)f(x)=?a,且對任意％工々，都有八"<”〉0,則。的取值范圍

-,X>1X,-X,

[x

是()

A.(―2]B.(—8,0)C.(―3,—2]D.[―3,—2]

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性可得不等式組

——>1

2x(—1)-

。<0,解出即可得.

-\-a-5<a

【詳解】由對任意％工“一都有八"I?/>0,故函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增,

王一9

——>1

2x(-1)-

故有,。<0,解得-3W<7W—2.

一1一。一5<a

故選:D.

5.已知函數(shù)/(x)=Asin(3x+。)(A>0,0〉0,-=<°<三)的部分圖象如圖所示,則

22

/(D+/(2)+/(3)+…+/Q024)等于()

A.y[2B.OC.行+2D.V2-2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的表達(dá)式為/(x)=2sin2x,即可利用對稱性求解一個周期內(nèi)的值，進(jìn)而利用

4

周期性求解即可.

【詳解】由/(x)=Asin(公r+的圖象可知，A=2,7=8,

故。=生J,又八0)=0且I例<2，則可得出，=0,故/(%)=2sin4.

T424

又根據(jù)函數(shù)的對稱性可知/(I)=f(3)=-/(5)=-/(7)=叵，/(2)=-f(6)=2,f(4)=f(8)=0,

所以/(1)+/(2)+/(3)++/(8)=0,

所以〃1)+f(2)+f(3)+…+/(2024)=253x[/(l)+/(2)+所3)+…+/(8)]=0,

故選:B

6.已知〃>0,h>0Ra+b=\,則16"+9"的最小值是()

ab

A.49B.50C.51D.52

【答案】A

【解析】

【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法計算可得.

【詳解】因為。>0，〃>0且

1,16。+9/7169(169\人《16。9b116a9b

所以一:-=—+-=—+-(67+Z?)=25+—+—>25+2J——=49

ahba\ba)ha'ba

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)="，即b=4時取等號

ba77

故選:A

7.己知函數(shù)/(x)=sin(公在區(qū)間0,；上的最大值為:，則實數(shù)0的取值個數(shù)最多為

8.己知定義在R上的非常數(shù)函數(shù)/(x)滿足；對于每一個實數(shù)x,都有/卜+黑=1+松(％)—尸⑺，

則/(/)的最小正周期為()

71713兀

A.—B.—C.兀D.—

422

【答案】B

(、匕(>W.\

【分析】由條件可得+[/(力-1了=1,進(jìn)而/卜+?=/(6，然后根據(jù)周期定義

結(jié)合條件即得.

【詳解】因為/X+?=1+也〃力一/(0，

所以+=2/(x)-y2(x)=-[/(X)-1]2+1.

++[/(x)-l丁=1①對任意xwR成立，

令“X+；則[小+]-]

=1②，

上("用T=[f(*)T>

②①得;

由/1+：=1+也/⑴-/(工)可得/x+；對任意TER成立,

14/14/

即/(戈)21對任意xeR成立，

則/一l=/(x)-1，即/[+])=/(')對任意R成立，

則]為/(X)的一個周期；

若]為“X)的一個周期,即/1+：)=/("，則/(x)=l+12/(x)-/2(同,

整理得(/(x)_l)2=g，又因為

所以/（工）=1十學(xué)這與/（x）為定義在R上的非常數(shù)函數(shù)矛盾，

所以］不是函數(shù)/（X）的周期.

故選:B.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分

9.下列說法正確的是（）

A.若。>力，則a/>bc?B.若a<b,c>d,^Aa-c<b-d

C.若a>b,則一<—D.若護(hù)，則

ah

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)代入特殊值法，可判斷A和C,根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷B,根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)。=0時，ac2=be2?A錯誤；

對于B,a<b,c>d,可得。<〃且一。<一4,「.4+（-c）<Z?+（-d）,即。一c<〃一4,故B正確；

對于C,舉反例4=1,〃=一1時，故C錯誤；

ab

對于D,因為y=V在R上為增函數(shù)，所以〃>/九故D正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)/（x）=min{sinx,8M,則（）

A.關(guān)于直線尸-：對稱

B.〃力的最大值為日

C“X）在上不單調(diào)

D.在（0,2兀），方程〃"=相（〃?為常數(shù)）最多有4個解

【答案】BCD

【解析】

9

sinI<x<2knI71

44

【分析】由題可得/（x）=,,即可得函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象逐項判斷即可

c兀c,5

cosx,2fE+—<x<2攵兀+—兀

44

得解.

【詳解】若sinxccosx,則sinx-cosx=&sin<0,

（5兀9?

BPx--e（2E+兀,2E+2兀），即2E+亍,2?+^兀J,AwZ,

4

.25兀，,9

sinx,2^71+——<x<Ikn-v—Tt

44

故/（X）=min{siav,cos/}=<；,keZ,

CI兀C,5

cosx,2kit+—<x<2KTI+一兀

44

故其圖象如圖所示:

也T

2

51-

2

O:-四

少一2

y=-\

對A：由圖象可得了（工）不關(guān)于直線對稱，故A錯誤;

對B：由圖象可得/（X）的最大值為孝，故B正確；

71兀

sin占一—<x<—

兀兀Ir（\24

對C當(dāng)xw5,留時，/（"=,

7171

cosx,—<x<—

42

則“X）在一K上單調(diào)遞增,在7171

5上單調(diào)遞減，故C正確;

\24/42

對D：由圖象,當(dāng)加小哥

時，方程/（工）=相（0,2兀）有4個解,

在d2

時，方程=m在（0,2兀）少于4個解，故D正確.

2

故選：BCD.

11.設(shè)S,i＞。，若滿足關(guān)于X的方程和T+J|x+r[=2s恰有三個不同的實數(shù)解玉＜%＜七=5,則下列

選項中，一定正確的是（）

24「t4564

A.X)+x,+%,>0B.S-t=—c.-=一D.St=----

25s5125

[,JCD

【解析】

【分析】設(shè)/（x）=J用+J用，得出函數(shù)/（可為偶函數(shù)，從而有玉+/+占=0,因此方程

〃同=25'必有一解為0,代入得”=「分0。3和兩種情況得出函數(shù)/⑺的單調(diào)性和最值,

從而求得s,i,可得選項.

【詳解】令=+J司，則“X）的定義域為R,

有fS)=』一工-4+\l\-x+t\=Ji+Jk+4=/(x)，

故f（x）為偶函數(shù)，則X+%+&=0,故A錯誤：

〃x）=2s必有一解為0,則/（（））=加+而=2s,即〃=

a+h

①當(dāng)OWxW，時，因。＞0,〃＞0時，a+b＜2A?故

/(.r)=VTTY+4t+x<2/-7—=2JF，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號;

②當(dāng)時，/(x)=Jx-r+、G+r在(%+e)上遞增,v/(x)=2s=2>/t,

由Jx-1+Jx+t=2?可得「一/+21(/一1)(戈+/)+(+/=4/,即4x=5/,解得x=,

又???/.(“在(f,+e)上遞增，.?.工3=二，即&=5=二=〃，解得/=3,s=3=±

44255

4164t165441664

=-x—=—,故C、D正確，B錯誤.

52525s2545525125

故選：CD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合知識，關(guān)鍵點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶

性，單調(diào)性，最值.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中相應(yīng)的橫線上.

12.已知x+」=*,則工=__________.

x2

【答案】2或；

【解析】

【分析】根據(jù)分式方程的解法計算可得.

(詳解】X4----=—,

x2

去分母可得2Y+2=5X，解得入=2或%=?，

一2

經(jīng)檢驗玉=2或超二;均使最簡公分母2x不為0,所以百=2或占為方程的解.

故答案為：2或與

13.若sin(a+^)=g,則+=____________.

7

【答案】-

【解析】

【分析】由sin(2a+31=sin：+21a+二］,結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式求解即可.

1O)［_210)\

【詳解】sin(2a+葛=siny+2^cr+-^^=cos21二+二］=1-23112(￡+工1=1-2乂，=［故答

16)16J99

案為:1

【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和倍用公式化匍求值,屬于中檔題.

14.已知sin(x+y)=x+'-l,則|“，|的最小值為_

X

【答案】:一1

【解析】

【分析】由基本不等式可知或x+’W—2,又因為正弦函數(shù)的值域所以x+'=2,代入原式

XXX

sin(l+y)=l,計算得出)，二萬--1+2E,由此可得％=0時忖］有最小值.

r-rI

【詳解】當(dāng)工＞。時-，%+-＞：\\x-=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取等號，故工+—22,

VXX

卜撲-2「川-卜2,

當(dāng)x＜0時，x+—=-(-x)+

X

當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號，故x

x

因為正弦函數(shù)的值域為[—1,1],所以+即

AX

所以x+'=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時成立，

X

將工=1代入原方程：sin(l+)，)=l=sin修+2E,(kwZ),

127

TTTT

故l+y=-+2E(ZeZ),整理得y=一—1+2E(AeZ),

當(dāng)2=0即y=卜1時，網(wǎng)有最小值網(wǎng)=91.

乙乙

故答案為：:一1.

2

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.若關(guān)于x的不等式雙2+3x-l>0的解集是4=,

(1)求。的值；

(2)設(shè)集合8={x|2，"vx<2-〃?},若“xwA”是“xwB”的充分條件，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)a=-2

(2)m<-

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)不等式的解集可得對應(yīng)方程的根即可求解；

(2)由充分條件建立不等式求解即可.

【小問|詳解】

因為關(guān)于工的不等式依2+3工一1>0的解集是

2

故加+3工-1=0的兩根為；,1,且。<0,

2

,,11一

故-x]t==>6/=—2;

2a

【小問2詳解】

由題意集合，A晨3,由于4=?/；<為<:1>,

則2m<—<1<2-m,則〃z<—,

24

16.己知函數(shù)/(x)=^^cos2x-3sin2工十a(chǎn),f71

<-12>1,

（1）求〃的值以及/co的對稱軸;

⑵將函數(shù)/⑺圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到g（力的圖象，若g（x）2g,求

大的取值范圍;

（3）已知g（〃）=咚，求cos。的值.

jrLjr

【答案】(1)。=0,x=-一+—,ksZ

122

兀71

(2)------F2EWxW—F2kn、ksZ

26

岳土2亞

\J/

10

【解析】

兀

【分析】（1）根據(jù)已知條件,=1代入運算，求得。=0,再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求解:

（2）利用圖象變換求出g（x）的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式;

（3）利用平方關(guān)系求出sin（8+￥兀[=土述，將cos。轉(zhuǎn)化為cos°=cos『0+371）—占71,利用兩角差

566

的余弦公式求解.

【小問1詳解】

71

根據(jù)題意，/（K）=cos（2x+二）+a,又/1

6n

兀兀)

」.cos——+—+。=1,解得a=0,

\66J

兀JI

f(x)=cos(2x+—),令2x+—=E,kwZ,

66

所以〃力的對稱軸為1=-專+弓,女￡Z.

【小問2詳解】

由題可得，g（X）=COS（X+y）,

6

兀

所以即cosXd-----

6J-r

7Ccij7C兀c,

「?-F21cliWxH—W—F2kli,

363

即---F2kjiWxW—F2kliskeZ,

26

所以X的取值范圍是一W+2EJ+2E,kjz.

26

【小問3詳解】

zi兀］兀71?z?71I.71

「.cos。=cos0+--—cos0+—cos—+sin0+—sm—,

I66；6-J-66)6

人叫26q石1岳-2小

當(dāng)sin8T—=----時，cos8=—x----1-----X—=----------.

I6J5525210

當(dāng)。2石口亞62亞'岳-2亞

當(dāng)sin0+—=-----時，cos。二——x---------X—=----------,

I6J5525210

所以cos。二拒土2逐.

1（）

17.某企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資。萬元（a>0）,現(xiàn)加大對某芯片研發(fā)力度，該企業(yè)把原有

科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員x名（xwN且50<x<80）,調(diào)整后研發(fā)人員的年人均

工資增加（2x）%,技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為小”白萬元?

（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員

的人數(shù)最少為多少人？

（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極咤，企業(yè)決定在工資方面要同時滿足以下

兩個條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.

請問是否存在這樣的實數(shù)，〃，滿足以上兩個條件，若存在，求出/〃的范圍；若不存在，說明理由.

【答案】（1）120人

（2）存在，9</W<ll.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，得到不等式（200—x）「l+（2x）%]c后200名（4>0）,得出x,再用己知條件得出

結(jié)果：

,002xr

（2）由條件②得〃—+—+3,由條件③得機2—+1,假設(shè)存在〃?滿足上述條件，則二述兩個不等

x2510

式恒成立，求出川即可.

【小問I詳解】

依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資為[l+（2x）%]?萬元，

則（2（X）-X）[1+（2X）%]6/>200&（〃>（））,

整理得0.02f—3xW0，解得0WxW15。，

因為xeN且5（）<X48（）,所以50<x<80,故120<200-xK150,

所以調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為120人；

【小問2詳解】

由條件①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資，

得（200-X）[1+（2X）%]〃2X，L卷a,整理得m<^-+—+3;

I10Jx25

由條件②技術(shù)人員年人均工資不減少，得〃〃?一奈卜〃，解得〃2之^+1；

\1U，1\）

假設(shè)存在這樣的實數(shù)機，使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個條件，

e”200“c12002x）..

因為——+—+3>2J-------+3=11,

x25Vx25

當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即x=50時等號成立，

x25

所以m<lb又因為〃才1（50<x<80）,所以加29.

所以9V"M11.

18.設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域為0，若對Vxw。，都有.f（2〃—x）+.f（x）=2〃，則稱函數(shù)f（x）為中心

對稱函數(shù)，其中（團(tuán),〃）為函數(shù)/（外的對稱中心.比如，函數(shù)1就是中心對稱函數(shù)，其對稱中心為

x

（0,1）.

（1）已知定義在R卜的函數(shù)/（心的圖象關(guān)于點（1.D中心對稱,日當(dāng)x>1時./（x）=x3,求

/(0)J⑴的值;

(2)已知函數(shù)/(_￥)=」一+」一為中心對稱函數(shù)，有唯一的對稱中心，請寫出對稱中心并證明；

c

(3)已知函數(shù)/O)=F—,其中c>0,若正數(shù)滿足

>/(-2024)+/(-2023)+/(-2022)++/(2020)+/(2021)+/(2022),且不等式

2

?a+4047c)〃+4047ac+2/「恒成立，求/的取值范圍

【答案】(1)-6,1；

(2)(—2,0),證明見解析：

3

(3)iW-.

2

【解析】

【分析】(1)利用對稱中心的定義列式，再賦值計算即得.

(2)寫出對稱中心，再利用定義推理證明.

(3)求出函數(shù)/(x)的對稱中心，進(jìn)而求出和得。+〃24047。，對恒成立的不等式分離參數(shù)，放縮并利用

基本不等式求出最小值即可得范圍.

【小問I詳解】

由在R上的函數(shù)/3)的圖象關(guān)于點(1,1)中心對稱，得/(2-x)+/(x)=2,

則f(2)+/(0)=2,而當(dāng)x>l時，/(x)=x3,于是/(0)=2-/(2)=2-23=-6,

/(1)+/(1)=2,所以f(1)=1.

【小問2詳解】

函數(shù)/“)=-L+_L的對稱中心為(-2,0),

1x+3

私)+?47)=白

=0,

x+3—3—x—1—X

所以函數(shù)/W的對稱中心為(-2,。).

【小問3詳解】

函數(shù)/*)=聲片____￡___

/W+/(2%)=+v+,x+,

LI17-1+]2+12+l

則函數(shù)/(x)的對稱中心為(-丐),

記S=/(-2024)+/(-2023)+/(-2022)++/(2020)+/(2021)+/(2022),

則S=/(2022)+/(2021)+/(2020)++/(-2022)+/(-2023)+/(-2024),

4047c

于是2s=4047c,即5=-------，依題意，a+h>4()47c,〃，8c為正數(shù),

2

GI

不等式t(a+4047c)6<a2+4047m+2b2<^t<-+---------恒成立，

ba+4047c

2.-+1

丁。2b2ba2ba2，十】21

而一+--------->—+----;------=—H---------=—H-----------=---------+--------------

ba+4047cb〃+b2a+bb2，'+]22?4+]2

,b'b

2個121當(dāng)且僅當(dāng)：?，1i2

b_2

>2,即幺=一時取等號，P!ijr<-,

2個222個b22

3

所以/的取值范圍是，〈二.

2

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=/(笛的定義域為。，VXGD,

①存在常數(shù)小匕使得/(x)+/(24-x)=3o/(a+x)+/3—x)=2/2,則函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于點

(?力)對稱.

②存在常數(shù)〃使得/*)=f(2a-x)=f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù))，=/(x)圖象關(guān)于直線x=。對稱.

19.已知函數(shù)/(x)和以#的定義域分別為。和。2,若對任意恰好存在〃個不同的實數(shù)

%,電???,％.w2,使得8(%)=/(%))(其中i=L2,,ziNL)，則稱g(x)為/(力的“〃重

覆蓋函數(shù)

(1)試判斷g(x)=|R是否為=1的，，2重覆蓋函數(shù)，，？請說明理由;

+x+[X<]1o

(2)若g")='一為/?(九)=】og,y^的“3重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)〃的取值范圍;

x-l,X>1八/622、+1

(3)函數(shù)國表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.2]=1,[2]=2,[-1.2]=-2/(司=依一[時,

XG[0,2),若〃(X)為/(/)=。-+5吊工+1)(其中疝大工一1)的，，2024重覆蓋函數(shù)”,求正實數(shù)a的

8+8sinx

取值范圍.

【答案】(1)g(x)不是/(力的"2重覆蓋函數(shù)”，理由見解析

(2)0<rz<-^<-2

4

(也』012

I4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)新定義直接判斷;

（2）求出/（x）的值域，然后再確定g（x）的取值范圍，由分段函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

VWG