嘉興市2024?2025學(xué)年高二第二學(xué)期期末檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

本試題卷共6頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷

和答題紙規(guī)定的位置.

2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本

試題卷上的作答一律無(wú)效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={TO，1，2,3},5=卜|2-3<0},則從辰=()

A.{0.1}R,{1.2}C{2,3}D.{-1.0.1)

【答案】D

【解析】

【分析】先求出集合B,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)榧?=集1,0,1,2,3},集合8={x|2-3v0}={xbvlog23},

所以AnB={-1,0,1}.

故選:D.

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z?(l+6i)=2,則()

A.|z|=lB.z=]-y/3i

c.Z的虛部為—立iD.Z+5=G

2

【答案】A

【解析】

【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，進(jìn)而依次判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】由題設(shè)z=一==-2"品)二L四,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)22

IZ1=1.A選項(xiàng)正確:

Z肚虛部為-立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

_1C

又2=上+、二3則z+5=l，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

22

故選：A

3.命題TowR,函數(shù).f（x）=V-ad是奇函數(shù)”的否定是（）

A.VawR,函數(shù)/（x）=x'-av'是偶函數(shù)

B.\7awR,函數(shù)/（工）=/一以2不是奇函數(shù)

C.3?GR,函數(shù)/（月=尤3-〃2是偶函數(shù)

D.BaeR,函數(shù)/（1）=V不是奇函數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義，可得結(jié)果.

【詳解】“丞ISR,函數(shù)/（不）二工3一辦2是奇函數(shù)”的否定是：

“VawR,函數(shù)/（x）=d-加不是奇函數(shù)”.

故選：B.

4.已知變量蒼y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

X01234

y1015203035

分析表中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)）'與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為$，=6.5x+4,據(jù)此模

型預(yù)測(cè)：當(dāng)工=10時(shí)，￡的值為（）

A.71.5B.72C.73.5D.74

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知求出樣本中心，再由樣本中心在回歸直線上求參數(shù)，進(jìn)而求估計(jì)值.

0+1+2+3+4八-10+15+20+30+35M

【詳解】由數(shù)據(jù)得工二------------=2,)'=----------------=22,

5

所以22=6.5x2+4,可得&=9,故3=6.5x+9,

所以x=10,則夕=6.5x10+9=74.

故選：D

5.已知非零向量速瓦-滿足|五|=|5=|卜忑=卜+25,則（）

A同向B./；］同向

C.同向D.〃，瓦濟(jì)兩兩不共線

【答案】B

【解析】

【分析】將c=〃+2〃兩邊'I',方可得〃=—B，c=〃，即取，c同向.

【詳解】因?yàn)?=￡+2日，

所以于二（^+25）2=日2+4萬(wàn)?5+452,

因?yàn)閨41=1/?1=1CI'

所以,『二忸|2=,『+4無(wú)石+4忖匕

所以73=-|￡|2=-|￡而|,又。石=|司問(wèn)COS（25）,

所以cos@力=-1,即a㈤=兀,所以<=一萬(wàn),

所以c=a+2B=-B+2b=B，

所以坂與工同向.

故選:B.

6.某校舉行定點(diǎn)投籃比賽，比賽規(guī)則如下：每個(gè)班級(jí)需派出?位同學(xué)參加比賽，最多有10次投籃機(jī)會(huì)，

投中得一分，未投中扣一分，放棄投籃得零分.高二（1）班派出甲同學(xué)參加投籃比賽，已知甲先投籃6

次且均投中，接下去他每次投籃的命中率都為：，為了使最終得分不低于7分的概率最大，則該同學(xué)繼續(xù)

投籃的次數(shù)為（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不同的投籃次數(shù)，計(jì)算甲繼續(xù)投籃最終得分不低于7分的概率，并比較大小即可得解.

因?yàn)間(X)=--1--T>0,

AX

2

所以g(x)=lnx+l——在x￡(0,+8)單調(diào)遞增，

X

22

又因?yàn)間⑴=巾1+1-1=-1<0,^(2)=ln2+l--=ln2>0,

所以切e(1,2),使g(x0)=O,

所以天()￡(1,2),使/'(%)=0,

所以/(幻在X￡(O,Xo)單調(diào)遞減.X￡*o，+8)單調(diào)遞增，

對(duì)干A,在xw(O,/)單調(diào)涕減，XE(%，2)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤;

對(duì)干B,/(2)=ln2>0,所以上二2不是的極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)〃=2時(shí)，/(x)=(x-2)2Inx,JCG(0,+OO),

因?yàn)?(x)=2(x-2)lnx+(x-2)2?—=(x-2)(21nx+—―-),

xx

=21nx+-~~-,XG(O,+CC),

x

,22

因?yàn)榱?x)=-+r>0，

xx-

所以/7(x)=2InX+上二在Xe(0,+3。)單調(diào)遞增，

1-22-2

因h(l)=21n1H----=-1<0,h(2}=21n2+-----=21n2>0,

12

所以存在加￡(1,2),使以㈤=0,

對(duì)干C,當(dāng)xw(0,2)時(shí)，x-2<0,

而xw(0,m)時(shí)，h(x)<0,xw(m,2)時(shí)，/?(x)>0,

所以xt(0,m)時(shí)，f'(x)>0,X￡(〃7,2)時(shí)，/1(x)<0,

所以/(?在X￡(0,小)單調(diào)遞增，工￡(〃Z，2)單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)干D,因?yàn)閒(2)=0.

x—2

當(dāng)x—>2-時(shí)，x—2<0,2Inx4->0,

x

所以

x—2

當(dāng)x-2十時(shí)，x-2>0,210X4----->0,

x

所以/（x）>0,

所以/（x）在x=2處取得極小值，故D正確；

故選:D.

8.已知A,8,C為函數(shù)>=5由工和），=5皿（女一祖，工依次￡2）圖象三個(gè)連續(xù)交點(diǎn)，若V4?C的面枳

為我，則/的值可以是（）

兀一兀一2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】C

【解析】

/TT

【分析】方法一：根據(jù)sinx=sin（x-f）可得工=二十—+Z兀kwZ,不妨設(shè)Z=0,l,2,則可得連續(xù)三個(gè)交

22

點(diǎn)48,。的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式及三角形的面積公式求解即可；方法二：分析圖象①可知，

|AC|=2兀，且4C7/工軸，乃=-.%,點(diǎn)B到AC的距離為21%I，根據(jù)NABC的面積為兀，求得以=土;，

乙

再分類討論當(dāng)以=1或弘=一1時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的/即可.

【詳解】方法一：因?yàn)閟inx=sin（x-，），

所以x+x-Z=兀+24兀,4GZ9

所以人=工十二十A兒cZ,

22

因?yàn)锳反C為連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)，故不妨設(shè)％=0,1,2,

此時(shí)A(L+&,sin(上+^],n(t34.(t3^^J,t57c.(t5萬(wàn))、

B—H---,sin—H----LC—H-----,sin—H----

(22(22))122122〃122(22))

HnJr7TMJr3兀t5TTt

即Ac+r?C0ScIcI,—,-cos—,C—+——,cos—,

I222jI2：I2)1222J

所以|AC|=2五，點(diǎn)"到AC的距離力=2cos],

所以Su/?。=^-|^C|-/?=-^-2^-2cos^=2小

cosT=乃,

22

所以cos」=±—,

22

tTC

解得上二土乙十%兀,&wZ

23

OTT

所以，=±—+22兀/EZ

3

所以〃=0時(shí)，1=弓符合題意

方法二：如圖①所示，分析圖象可知，|AC|=2兀，且AC〃x軸，))=一)%，

點(diǎn)8到AC的距離為2|力|,

因?yàn)閂A4C的面積為兀,

所以;X2TIX21yA|=7i,

所以以=±g.

16G

①當(dāng)心=7時(shí).，如圖②所示，y=sin(x-1)圖象由y=sinx圖象向右平移了;一三=1個(gè)單位，故

2663

2,71c_

t=----F2左兀,左￡Z;

3

?7兀

②當(dāng)％=一大時(shí)，如圖③所示，y=sin(x-f)圖象由y=sinx圖象向右平移了:71與個(gè)單

26

4兀

位，故f=」+2Z兀/EZ.

3

2兀4兀

綜上，t=—+2k?；?，=---b2Z兀,ZeZ.

33

故選：C.

圖③

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的交點(diǎn)、三角形面積計(jì)算以及方程的求解.本題解題的

關(guān)鍵在于找到兩個(gè)正弦函數(shù)的交點(diǎn)，并利用三角形面積公式建立方程求解參數(shù)值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在的展開式中，若所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則（）

A.n=6

B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240

C.展開式中的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等

D.展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1

【答案】ABD

【解析】

3k

【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和為64計(jì)算可判斷A；求得通項(xiàng)公式，令6=0,解得攵=4,代入計(jì)算可判斷

2

B；結(jié)合通項(xiàng)公式計(jì)算可判斷C；令x=l,代入計(jì)算可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由二項(xiàng)式系數(shù)和為64得2〃=64,解得〃=6,故A正確;

6

A3k

對(duì)于B,展開式通項(xiàng)為=C：（-2/x-

令6-弓~=0,得攵=4,即常數(shù)項(xiàng)為4=或(-2)，°=240,故B正確;

對(duì)于C,第3項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為C：=15,第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：=20,

所以展開式中的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)不相等，故C錯(cuò)誤;

對(duì)干D,令x=l得1一=1,故D正確.

故選：ABD

10.已知隨機(jī)變量X~N(1,4),定義函數(shù)/(x)=P(XWx),即F(x)表示隨機(jī)變量XWx的概率，則

()

A.函數(shù)/(幻在定義域R上單調(diào)遞減

B.尸(0)+尸(2)=1

C.函數(shù)尸。)的圖象關(guān)于直線1二1對(duì)稱

D.函數(shù)f(五)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

【答案】BD

【解析】

【分析】由正態(tài)分布可函數(shù)/")=P(XWx)定義域R上單調(diào)遞增，判斷A；由正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷B；

刊斷尸(%)=?(2—力是否成立可判斷C；證明尸(x)+F(2r)=l可判斷D.

【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，函數(shù)2x)=P(XWx)定義域R上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；

因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(1,4),

則F(0)+"2)=尸(XW0)+尸(X?2)=尸(XW0)+l—尸(X>2)=1,B正確;

若函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

則F(x)=F(2-x),而F(2-JC)=P(X<2-x),

只有當(dāng)x=l時(shí)才成立，C錯(cuò)誤；

若F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn).J1中心對(duì)稱，則F(x)+F(2-x)=1,

因?yàn)閄服從正態(tài)分布N(l,4),所以F(x)關(guān)于X=1對(duì)稱,

所以「（XWx）=P（XN2-x）,

則尸（x）+b（2—x）=P（XKx）+P（XW2—x）=P（X22r）+P（XW2—x）=l,

故D正確.

故選：BD

11.若函數(shù)/")=靖與gW="+〃的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則()

A.當(dāng)人>1時(shí)，k<0B.當(dāng)0<方<1時(shí)，k>e

C.當(dāng)攵<0時(shí)，b可取任意實(shí)數(shù)D.當(dāng)k>0時(shí)，左+〃的最大值為e

【答案】ACD

【解析】

【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)/。)二0八與g。)二丘+方的圖象，由圖易判斷選項(xiàng)AC；當(dāng)

匕=1時(shí)，易知/(X)=人在x=l處的切線方程為y=x+i,此時(shí)函數(shù)/(幻=產(chǎn)與g(x)=履+力的圖象有

且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且左=1,即可判斷選項(xiàng)B；

k—e/

當(dāng)k>0時(shí)，g(x)=日+匕與/(/)=/相切，設(shè)切點(diǎn)為(公,e"),則r(x)=e，，Piq,則

b=k-klnk.令h(k)=2k-klnk,求導(dǎo)研究函數(shù)〃(公的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)/與g(x)=^+〃的圖象.

由圖易知選項(xiàng)AC正確；

當(dāng)。=1時(shí)，易知=在x=l處的切線方程為尸八十1,

此時(shí)函數(shù)/")="與以*)="+8的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且攵=1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)女>()時(shí)，g(x)=日+匕與相切，設(shè)切點(diǎn)為(毛,。%)，則r(x)=e1則

k—e0

?「，，則〃=Z-klnZ,則左+b=2攵一左加左.

e°=kx()+b

令h(k)=2k-klnk,則廳伏)=l-ln&,所以y=/，(&)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+s)上單調(diào)遞減，所

以，z(Z)max=/?(e)=e，即2+/?的最大值為e.

另解：g(l)=N+L即g(x)="+b與〃幻二(相切時(shí)，已知求g⑴的最大值，由圖象可知,s(x)=kx+b

與f(x)="相切于點(diǎn)(l,e)時(shí)，k+b最大,即Z+〃的最大值為c.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=Q=二僅=3,4,7),則實(shí)數(shù)。=.

k-l

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)概率之和為1得到方程，求出答案.

【詳解】P(X=3)+P(X=4)+P(X=7)=1,即3+凹+凹=|,

236

解得4=1.

故答案為：I

13.某班級(jí)需要從甲、乙、丙三人中選出語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三門科目的課代表，要求每門科目需要?位課

代表，且每人最多能擔(dān)任兩門科目的課代表，則一共有種不同的選法.(用數(shù)字作答)

【答案】24

【解析】

【分析】第一種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排時(shí).，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求不同的安排方案種數(shù)；

第二種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排時(shí)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求不同的安排方案種數(shù)，

從而可求總的方案數(shù).

【詳解】第一種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)都有安排，則有A；=6種；

第二種情況，甲、乙、丙三位同學(xué)中只有兩人被安排時(shí)，

先選兩人出來(lái)，有C；=3種，

再將三門不同科目分為兩組，有C；=3種情況，

再將科目分給學(xué)生有A；=2種，

所以不同的安排方案有C；C；A；=18種，

綜上，不同的安排方案共有6+18=24種.

故答案為：24.

14.棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝4GR中，球。與棱均相切，且與側(cè)面8CC￡也相切，

則球。的半徑為.

【答案】4-272

【解析】

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定球心位置并作圖，根據(jù)相切的性質(zhì)以及相似三角形，建立方程，可得答

案.

【詳解】由對(duì)稱性可知，球心。在立方體對(duì)角線AG上.

過(guò)。作OR_L3G，可知0/_1_平面3。6及，

故球。與平面BCC,4相切于點(diǎn)尸，所以|。/|為球。的半徑「：

過(guò)。作OE_LAB,故球。與43相切于點(diǎn)E,所以1。均為圓。的半徑「?

因?yàn)椤鰽BG中，ABtBC1,AB=2,BC1=2也,易知△AEOS/^OFG，

AE0E

所以加二評(píng)即——=—7=—解得r=4-2加-

r2\/2-r

故答案為：4-2及.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)f（x）=\nx+x2+ax在點(diǎn)（!,/（1））處的切線與工軸平行.

（1）求〃的值;

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

【答案】（1）-3

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）由函數(shù)/（X）在（1J⑴）處的切線與X軸平行，則根據(jù)/'⑴=0求解即可;

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性并求解極值即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?

則r（x）=-+2x+a,

X

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（1J⑴）處的切線與X軸平行，

所以/'（1）=3+。=0,

解得。=—3.

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）.

且上（X）=J.+2丫-3=2F—3x+]=（2x—]）（x—1）,

XXX

（

當(dāng)xwo,-U（L+8）時(shí),r（x）＞o；

\z）

（1、

當(dāng)-,1時(shí)，/'"）＜（）,

12/

所以函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（o,和（1,+8），單調(diào)遞減區(qū)間為（：1）.

所以當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)/（X）取到極大值f（g）=-j-ln2,

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)/。）取到極小值/⑴=-2.

16.已知VA8C的角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b?c,且々sinA-csinC=0sin8-〃sinC.

（1）若4=JL求VABC外接圓的半徑；

（2）設(shè)VA8C的面枳為S,若5=2芭〃2,求角8的大小.

12

【答案】（1）1（2）8=工或3=2

412

【解析】

【分析】（1）在VA3C中，根據(jù)題中條件及正弦定理可得/一^:從一為＞由余弦定理可求cosA,進(jìn)

而利用正弦定理即可求解:

（2）解法I：根據(jù)面積公式及正該定理整理可得sinBsinC=?^，即sinBsin（8+二］二叵△，

4I3J4

利用兩角和的正弦公式、二倍角公式及輔助角公式可化簡(jiǎn)為sin’28-工］二左.結(jié)合8的范圍即可求解.；

k6j2

解法2：根據(jù)面積公式及正弦定理整理可得sin3sinC=且里，根據(jù)三角形內(nèi)角和關(guān)系、誘導(dǎo)公式及兩

4

角和的余弦公式可求得COS8COSC=M°，從而得COS（3-C）=￥.結(jié)合兒C的范圍即可求解；

解法3：根據(jù)面積公式及正弦定理整理可得sinBsinC=?1，根據(jù)積化和差公式可得

4

3［85（8-。）-85（6+。）］=4^.結(jié)合854=-以犬（8+。），可解得COS（B-C）的值，結(jié)合8,

C的范圍即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

在VA3C中，*.*asinA-csinC=bsin4-Z?sinC,

222222

???由正弦定理可得a-c=b-bc^即b+c-a=be，

???由余弦定理可得cosA==1.

2bc2

7ra_6-

???Aw（O,兀），=一而7一一￡一,.?.VA8C外接圓的半徑為1.

3sin一

3

【小問(wèn)2詳解】

,ji

（2）解法I：由（1）知A=-.

3

,**S=，Z?csinA=3+百",，由正弦定理可得,sinGsinCsinA=2A,

212212

即sin8sinC=""，sinBsin4+工］=百+1,

4I3；4

ASB

/.sinB—sin8+=-sin2B+—sinBcosB=—sin2B--cos2B+-=

2222444

即，sinj2Z?_四]十L=-.

2I6)44[62

3-冷或亨一,?八：或B喑

7T

解法2：由(1)知人=一.

3

,?*S=—Z?csinA=^+^a2??*由正弦定理可得」sin8sinCsinA=A，即

212212

V3+1

sin8sinC=~7~

J_1

VcosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sin2?sinC=—,得cosBcosC=-.......

24

?'?cos(B-C)=coscosC+sinZ?sinC=

2

又B+C=g，聯(lián)立解得3或3=^|.

7F

解法3：由(1)知4=一.

3

?：S=[bcsinA=3+"/,?:由正弦定理可得,sinBsinCsinA=A，

212212

即帛inBsinC=，Bp—[^cos(B-C)-cos(B+C)]=+

424

cosA=_cos(S+C)=—>：?cos(J?+C)=—y：?cos(B—C)=——.

222

與)cw[o爺.—(號(hào)尋，.—落?

又B+C=",聯(lián)立解得3='或3=2.

3412

17.如圖，在四楂錐夕—AAC。中，平面尸CQ_L平面A3CO,底面A3CO是平行四邊形，

AD=2AB=2,/BCD=60°,AB_LAP，點(diǎn)E滿足p左=2說(shuō)，點(diǎn)/是線段AO的中點(diǎn).

（1）證明：B加工平面PC。；

（2）若二面角后一片耳—C的大，、、為135。時(shí)，求四棱錐夕一4片8的體積.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理求得80,根據(jù)勾股定理證得8。_LOC,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可證明

BD工平面PCD

（2）方法1：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法結(jié)合已知條件求得二面角尸-C平面角的

表達(dá)式，得到關(guān)于z的方程，解出z即可確定四棱錐「一A3。。的高進(jìn)而求得四棱錐體積；方法2：建立

空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法結(jié)合已知條件求得二面角七一平面角的表達(dá)式，得到關(guān)于

z的方程，解出z即可確定四棱集P-A8C。的高進(jìn)而求得四棱錐體積；方法3：根據(jù)已知條件，利用空

間中線線、線面的平行垂直關(guān)系，求得四棱錐的高，從而求得四棱錐體積.

【小問(wèn)1詳解】

連結(jié)BD，在△BCO中，BC=2,CD=\,NBCD=60°,

由余弦定理=i+4-2xlx2xcos60°=3?即80=百，

此時(shí)8。J.DC，

又平面PCO_L平面A3CO,平面PCDCl平面A8c￡>=CD,

NOu平面A8CD,二比）/平面PCD.

【小問(wèn)2詳解】

解法1：如圖2建系,

以D為原點(diǎn)，CD，方方方向?yàn)榱?，?軸，垂直于平面向上方向?yàn)閦軸,

設(shè)P(x,0,z)，則。(0,0,0),4(1,技0),3(0,百,0),￡D〕，

I22J

AAP=(X-1,-AZ),AB=(-1,0,0),由ABJ_AP得而?衣=0,即％=1,

.—.—?273z_flG)一(6z)

zu,/.^F=-,-^-,0,BE=1,

由PE=2EA，得七，一5一.-,3]

l\乙乙/\

設(shè)用=（a,是平面BEF的法向量,

。-屜=()

n.?BF-0a-乖>b=0

______=>?Gczn

n.?BE-0a----bT—=02瓶+cz=0

33

?c=2>/3,b=—z,a=—>/3z?得〃1=(J5z,z,—2百)，

平面A4廠的法向量為a=（°，O，l），二面角E-3F-C的大小為135。,

\n,.巧?J3

則kosl35，=J_1J用京'解得z=下>?

BCCDOinBCD=2倉(cāng)4

2創(chuàng)與=6

2

???平面PCG_L平面ABCG,平面尸CG口平面ABCG=CG,

PGu平面ABCG，.二PG1平面ABCG,

??PAA.AB,CD//AB,PAA.CD,

AGu平面PAG,PGu平面Q4G,乂AGcPG=G,

?.8_L平面PAG,AGu平面PAG,\CGAAG,

如圖3所示，以GC,G戶方向?yàn)閥z軸，垂直于PGC平面方向?yàn)閤軸建系,

設(shè)P(0,0,z),D(0,y,0),C(0,y+1,0),A(瓜y-1,0),BUi,y,。)，

則通=(0,1,0),A戶=(—6/—)，,z),

vAB±AP,\AB7AP1-)，=(),得y=l,..6(石,1,0).廠與,g,0,

由星=2麗，得彳竽，嗚;，前二(一日，一；，°]，詼=1*，一號(hào)

設(shè)用=(a,b,c)是平面BEF的法向量，

n.-BF=0['+"=()[^a+b=0

<___<h_zz><,

n-BE=0----—a-b+—=02,3〃+cz=0

I33

取c=2A/3,a=一z,b=JJz,得ny=(—z,V3z,25/3),

平面A區(qū)廠的法向量為第=(0,0』)，二面角E-3F-C的大小為135。,

則|cos135°|=???=-11-,解得z=，

岡?旭V4z+12

SA3CD=2,BCCO伍inBCD=2倉(cāng)42倉(cāng)”曰=G，

^P-ABCD=4,PG,SABCD=1.

解法3：過(guò)點(diǎn)尸作尸G_LCO,交CO的延長(zhǎng)線于G,連接。G,AG,

圖4

vPAYAB,CD〃AB,.\PA±CD,

AGu平面PAG,PGu平面Q4G,乂AGcPG=G,

?.8_L平面BAG,AGu平面PAG,\CGAAG,

由平面PCG_L平面ABCG，平面PCGp|平面A3CG=CG,PGu平面ABCG，

??.PG_L平面A8CG,

因?yàn)槎?2而，所以￡為線段AP上靠近點(diǎn)A三等分點(diǎn)，

設(shè)線段AG上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)為“，連EH,HF，

則EH〃PG,E〃_L平面ABCG,BGu平面A3CG,所以EH_L'G,

在RS4DG中，AO=2，ZADG=60。，:.AG=6,GD=\

???四邊形45DG是矩形，BG=AD=2,

在△”Gb中，Z/7GF=3O°,GH=—tGF=1,

3

石A”

GH2+GF2-HF1

因?yàn)閏os?/FF-

2GHRF

3

解得：FH=—,所以HF2+GF2=GH"所以“尸_L3G,

3

EHu平面EHF,HFu平面EHF,EHcHF=H，

.?.3G_L平面閉尸，Mu平面硝/，.?.EFJ_3G,

二./石尸〃是二面角七一8尸一C的平面角的補(bǔ)角，即NEFH=45。,

.?./HF為等腰直角三角形，：.EH=FH=?，從而PG=3EH=6,

3

SArf(7,=2?^?CCDffinBCD=2倉(cāng)42倉(cāng)”擔(dān)=6

Mi>(.iz2?2

^P-ABCD=§'PG，SABCD=1?

18.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，為了檢測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從兩種產(chǎn)品中抽取300件產(chǎn)品作為樣本進(jìn)行檢

測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如下表：

樣品一等品二等品三等品

甲產(chǎn)品603010

乙產(chǎn)品1008020

(1)依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析產(chǎn)品為一等品與產(chǎn)品種類是否有關(guān)?

(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體，頻率估計(jì)概率，現(xiàn)等可能地從甲、乙兩種產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品.

(i)若抽取1件產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品是一等品，求它是甲產(chǎn)品的概率；

(ii)若抽取3件產(chǎn)品，求抽到一等品的件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

_n{ad-be）2

附:其中a+〃+c+c/=〃.

（。+/?）（（?+d）（。+c）（b+d）

產(chǎn)（%2”）0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)無(wú)關(guān)⑵(i)—(ii)||

1120

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，利用小概率值a=0.05的％?獨(dú)立性檢驗(yàn)即可求解?；

(2)(i)設(shè)事件A表示抽一件產(chǎn)品時(shí)抽到一等品，事件A表示抽一件產(chǎn)品時(shí)抽到甲產(chǎn)品，根據(jù)全概率公式

可求得P(A),利用乘法公式可求得P(A8),再利用條件概率公式即可求解；

(ii)由(i)知P(A)=F，X~8(3,二〕，根據(jù)二項(xiàng)分布均值公式即可求解.

20k20J

【小問(wèn)1詳解】

(1)由題列出列聯(lián)表如下表所示:

一等品非一等品總計(jì)

甲產(chǎn)品6040100

乙產(chǎn)品100100200

總計(jì)160140300

零假設(shè)”o：產(chǎn)品為一等品與產(chǎn)品種類無(wú)關(guān)聯(lián).

則入嚅薄"*…L

根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充足的證據(jù)推斷“。不成立，所以認(rèn)為產(chǎn)品為一等品與產(chǎn)品種

類無(wú)關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

(2)(i)設(shè)事件A表示抽一件產(chǎn)品時(shí)抽到一等品，事件八表示抽一件產(chǎn)品時(shí)抽到甲產(chǎn)品，則

____131111

P(A)=P(AB\JAB)=P(AB)+P(AB)=P(B)P(A\B)+P(B)P(A\B)=-x-+-x-=—,

252220

133

P(AB)=P(B)-P(A\B)=-x-=—t

2510

3

6

所以尸(例為=瑞=10=n

11

20

11(11)1133

(ii)由⑴知P(A)=一，則乂~83,—,所以￡(x)=3x—==.

20(2(〃2020

19.設(shè)S,T是兩個(gè)非空數(shù)集，函數(shù)/(大)的定義域?yàn)镽,若對(duì)任意當(dāng)時(shí),

/(xj-/(工2)￡/,則稱/(x)為⑸7)函數(shù).

(1)設(shè)5=[1,+8),7=[2,48),/*(乃