重難點專訓04導數中的朗博同構.雙元同構,指對同構與二

次同構問題

解題方法及技巧提煉................................................................1

題型通法及變式提升................................3

題型一：直接變形同構.......................................................................3

題型二：加法同構............................................................................6

題型三：乘法同構............................................................................9

題型四：雙元同構...........................................................................12

題型五：朗博同構...........................................................................14

題型六：利用同構比較大小..................................................................18

題型七：利用同構證明不等式......................................................20

題型八：利用同構解決恒成立問題.................................................-.........24

題型九：利用同構解決零點之間的關系..............................................27

重難專題分層過關練................................31

鞏固過關...................................................................................31

創(chuàng)新提升...................................................................................39

解題方法及技巧提煉

1、同構法：

把一個等式或不等式通過變形，使左右兩邊結構、形式完全相同，構造函數，利用函數的單調性進行

處理，找到這個函數模型的方法就是同構法.同構法主要解決含有指數、對數混合的等式或不等式問題.

2、指對同構的常用形式

(I)積型：aea<b\nb,一般有三種同構方式：

①同左構造形式：aeY\nbelnh,構造函數f(x)=xex；

②同右構造形式：Wbln〃，構造函數/(x)=xln.t；

③取對構造形式:a+lnaWlnZrHn(ln0)(〃>0,/?>1),構造函數/(x)=rHnx

eab

⑵商型：一<—，一股有三種同構方式:

aIn/?

c"einb,、px

①同左構造形式：一工一，構造函數/(x)二一；

a\nbx

hx

②同右構造形式：一：<—，構造函數/(X)二一；

Ine'In/?Inx

③取對構造形式：a~\na<\nb-\n(\nbya>ab>T),構造函數/(x)=Llnx.

(3)和、差型：ea±a>b±\nb,一般有兩種同構方式:

①向左構造形式：±。>*"±lnZ?,構造函數=±x；

②同右構造形式：ea±\nea>b±\nb,構造函數/("=工±lnx.

4、乘法同構、加法同構

(1)乘法同構，即乘x同構，如Ina?法%>lnx**；

(2)加法何構，即加x同構：如優(yōu)>log“xoa'+%>log“x+x=二十log“x,

(3)兩種構法的區(qū)別:

①乘法同構，對變形要求低,找親戚函數0'與xlnx易實現,但構造的函數.田與xhu均不是單調函

數;

②加法同構，要求不等式兩邊互為反函數，構造后的函數為單調函數，可直接由函數不等式求參數范

圍;

題型通法及變式提升<<<、

題型一：直接變形同構

典例1-1.(多選)已知實數小。滿足ae“=〃In方=3,則()

A.a=InbB.ab=eC.b-a<e-\D.e+\<a+h<4

【答案】AD

【詳解】由題意可得〃>0力>1,

則由ae“==3，得ae"=In""=3?

對于A：設/(%)=用?>0),/(x)=(x+l)er,

則在區(qū)間(。,+8)上，r(M>o,/(工)為增函數，

所以由題意可得〃。)=/(11法)，所以a=lnb,故A正確；

對于B：由a=lnb,得。〃=〃皿。=3,故8錯誤；

對于C：由A可知〃x)=xe'在區(qū)間(0,+力)上為增函數，

且此“=3,則/⑴<“〃)</(2),BPl<a<2,

則e</?<e2,

由〃=lnZ?,得力一一ln〃、

令人(工)二1一Inx,e<x<e],則“(%)=1-，=--->0,

X.1

所以力(戈)在(ed)上單調遞增，

所以〃(x)>〃(e)=e-L

所以〃一4=〃一故C錯誤；

對于D：又a+〃=a+e",

令g(x)=x+e',x>l,

則/(x)=l+e、>0.

所以g(x)在(1,例)上單調遞增，所以g(x)>g⑴=1+e,

所以〃+〃=〃+e">14-f*.

構造函數〃x)=(x+l)lnx,njf#/,(x)=lnx+(x+l)--=lnx+-+l,

A.1

令g(x)=/"(x)=Inx+L+l,則g，(x)=L--y=

XAXX

所以當x?O,l)時，，(x)=q<0,即g(x)在(0,1)上單調遞減,

X

當當工?1,+e)時,g，(x)=?>0,即g(x)在(1,用)上單調遞增,

所以g(x)Ng⑴=2,即〃力之2,所以函數/4)在(0,+8)上單調遞增,

利用單調性并根據付+1)岐小火)2+1]3以)2可得/金)”((辦)”則有"(Or)?,

(X\

X2

又〃>0,x>0,即可得出之雙，田心笆對Wxe(0,+e)恒成立，因此—即可，

1/min

X[22q]、

令小)今但。內)，則〃(上4二上3

顯然當J?0,2)時,旗力<0,即函數〃(力在(0,2)上單調遞減,

當x?2,y)時,//(.r)>0,即函數人(同在(2,+功上單調遞增，

所以〃O[(2)=?即。4-=*因此正實數。的最大值是生

L.CLL

'Zinin

故選：A.

【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒(能)成立，可根據以下原則進行求解：

(1)VxeD,w</(x)<?wz</(x)min；

(2)VxeD,m>f(x)^>m>f(x)^；

(3)3xeD,m</(x)<=>m</(工)皿；

(4)HxeD,fn>f(x)<=>m>f(x)n，n.

2

變式1-2.已知函數f(.x)="+ln(r-l),g[.x)=x\nx,若/(.M)=1+21n/,g(x2)=f,則_.qJn/

的最小值為()

1i]2

A.-7B.—C.---D.一

e-e2ee

【答案】B

【詳解】/(x)的定義域為。，內)，所以N>1,J(xJ=l+21n/n/>0.

/(不)=1+2In/,%一1+In(芭-1)=In/，則爐*呵『)=(%-1)已小=r,

,

又因為g(巧)=產，所以丹In巧=(xl-l)e^=e^'Ine『,

令人(x)=xlnx,則/[(/)=^(eV,-l|,

A(x)=lnx+l,當x>1時，/?(x)>0,M")遞增，

x,"|

所以占=e"-',則ylx}x2-x2-In/=-l)e-Inr=-Inr=rInt,

/z(x)=xlnx,h(x)=ln.r+l,

所以力(x)在區(qū)間(0,g,〃(工)<0,力(匯)遞減；在區(qū)間g,+8)，力(》)>O，Mx)遞增,

所以〃(x)的最小值為〃g)=T，即B選項正確.

故選:B

【點睛】含參數的多變量的題目，結合方法是建立變量、參數之間的關系式，主要方法是觀察法，根據已

知條件的結構來進行求解.

題型二：加法同構

典例2」.已知函數f(x)=eX-Hn(or-a)+a3>0),若對于任意的%>1使得不等式『⑶之。成立,則實數

。的取值范圍()

A.(0,e2]B.(0,ec]C.[e2,+oo)D.[e\+oo)

【答案】A

【詳解】因為a>0,由冰一〃>0可得x>l,即函數/(X)的定義域為(1,內)，

/(x)=ev-dn?-6/ln(x-l)+?>0nT^---ln?>ln(x-l)-l,

即e*""+x-InaNx-1+ln(x-1),

構造函數g(x)=x+lnx,其中x>0,則g-x)=l+、>0,故函數g(x)在(0,+a)上單調遞增，

X

所以g(eiM)2g(工一1),可得ei之x-l,則xTnaNln(x-l),

即lna〈x-ln(x-l),其中x>l,令/心)二]一111(1一1),其中x>i,

I丫_2

則力，(x)=l——-=-^,當1<XV2時，〃(力<0,此時函數/")單調遞減，

X—1X—1

當工>2時，/r(x)>o,此時函數〃(x)單調遞增,

所以，ln?</z(x)n.n=/?(2)=2,解得awe?.

綜上，0<?<e2

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：解本題的美鍵在于將不等式變形為。"儂+工―inavx-l+ln(x-1),結合不等式的結

果構造函數g(工)=x+hu，轉化為函數g(x)的單調性以及參變量分離法求解.

典例22若關于x的不等式6--2+a2公27.11在(0.+8)上恒成立，則實數。的取值范圍為()

A.100」)B.1應(C.D.

【答案】B

t-2

【詳解】ev2+x>lax2-x-lnx=>-e--+l-2ar+lnxN0,

x

當aW3時，+1-2at+Inx>+l-x+lnx=e'-lnA~~-(x-lnx-2)-l,

1XA

令人(1)=e'_/_l,則”(f)=e'-l.

當1>0時，/?,(r)>0,當ivO時，/f(r)<0,

故力(/)=e'T-l在次(fO)上單調遞減，在/?0,田)上單調遞增，

故如)訓0)=0,

故ev-,nr-2一(1一In工一2)-12()恒成V.,不等式成立，

|1r—1

當“〉一時，M(X)=x-2-Inx,w*(x)=1——=:---,

2xx

當”>1時，/(x)>0,當0<x〈l時，〃'(x)<0,

故〃(工)=%一2-111工在工￡(0,1)上單調遞減，在上單調遞增,

且"⑴=_lv0,z/(4)=2-ln4>0,

由零點存在性定理得，存在小?1,4),使得〃(不)=0,即x0-2=ln/,

e""

此時----+1-2ar0+Inx0=2-2^+x0-2=(1-2?)A;)<0,

故不合題意，舍去，

綜上，實數〃的取值范圍為18T.

故選：B

【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法，使不等式

一端是含有參數的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的條

件二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個

函數圖像確定條件.

變式2-1.己知lWx￡2,不等式ciM'lnov恒成立，則〃的最大值為()

A.eB.IC.e~*D.e2

【答案】A

hu

［詳解】eiM>\na+lar=>/一睢一Ina>lavn?”睢+x-\na>x-ln.v=>+x_\na>e+ln.v.

令/(x)=e'+x,則易知/(x)在R上單調遞增，/(x-ln6v)>f(\nx)=x-\na>\nx=x-\nx>Ina,

令g(x)=x—hu?，問題轉化為求g(x)=x—hu在［1,2］的最小值.

因為短(力=1一(=?,當xe［l,2］時，g'(x)"(當且僅當x=l時取“=").

所以g⑺在［1,2］上單調遞增，8㈤由=g(l)=l>lna=>O<a<e.

所以。的最大值為e.

故選：A

【點睛】方法點睛：先把原不等式轉化為eTo+x—inaNe3+lnx，設輔助函數/(力=?！?x,則問題轉化

為f(x-lna)之〃Inx),在考慮函數/(x)在R上單調遞增，所以可得：x-lnaNhunx-huNlna,至此,

達到分離參數的目的.

變式2-2.已知函數/(%)=9-In(x-l)-ln4+l,若〃”之。對任意的不?1,一)恒成立，則。的取值范圍

是()

/31

A.(O,x/ejB.(0,e］C.0,—D.(0,e2］

X-

【答案】D

［詳解】因為/(x)之o對任意的不€(l,田>)恒成立，

即-Tn(x-l)-lna+整0對任意的xe(l,田)恒成立，

即e-"+x—In〃之In(x—1)+x—1=eW'T+In(x—1)對任意的XG(1,-Hx>)恒成立,

令晨x)=e'+x,則/(x)=e'+l>0,所以g(x)=e'+x在R上單調遞增，

又K(x-lna)〃口n(x-1)］對任意的恒成立，，

所以大一1114之111(工一1)對任意的工￡(1,十?)恒成立，

所以x-ln(x-l)Nln4對任意的x￡(l,y)恒成立，

令Mx)=x_］n(x-1),xs(l,+oo),

則分'(力=1一-4=三，所以當1<X<2時"(x)<(),當x>2時”(力>(),

X-1X-1

所以方(可在(1,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

所以〃(立面=〃(2)=2，

所以lnaK2,則0<〃Ke2,即。的取值范圍為(0,e1.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是將不等式同構成6—+*-1政/呵1)+皿..1)對任意的工?1,+00)恒成立,

結合函數的單調性轉化為工-皿(工-1)之Ina對任意的xw(l,+8)恒成立.

題型三：乘法同構

典例3-1.若X/xw[l,+oo),都有優(yōu)'“-lnxNO(〃eR),則。的取值范圍為().

A.[e,+co)B.[2,+co)C.D.-,+a)

e

【答案】D

【詳解】由題設Dx,ate"'>xlnx>即ea,Inea'>xlnx>

令f(x)=xlnx且_r>0,則fXx)=lnx+l,

當Ovxvl時，r(x)<0,即/(x)在((),)上單調遞減，

ee

當%>1時，ru)>o,即〃x)在(L+oo)上單調遞增，

ee

當avO,此時0<e"<l,則ad“<OWlnx，不合題設，

故。之0,所以產21，

而f(x)=xlnx在[l,+oo)上單調遞噌,則e=Nx,

問題化為。20，電f在上恒成立，

x

人1,、Inx,EI,,/、1-Inx

令A(.r)=---且x21,則〃(x)=-；—,

Xx~

當1一<e時,"")>0,即以外在u,e)上單調遞增，

當工〉e時,/f(x)<0,即力(x)在e+oo)上單調遞減,

所以〃(x)K/?(e)=L故a/,

ee

故選：D

典例3-2.對于x>0,eN〃—glnGNO恒成立，則正數2的范圍是()

A.42—B.22—C.2N2eD.aNe

e2e

【答案】B

【詳解】由?2八一!皿五20恒成/可得02〃之!巾4,即2在恒成立.，

AA

由H>0,可得2Zre2M>xlnx=e"Inx恒成立，

令f")=xe]則/'(x)=e'(l+x),

由x>0知roo,函數/3單調遞增,

所以/(2/U)2/(lnx)恒成立，

則22x>Inx恒成立,BP22>—恒成立,

x

人.、Inxe,,、1-Inx

令g(x)=——，貝|Jg(x)=———,

XX'

當()<x<e時，g'(x)>0,?；脝握{遞增，

當x>e時，g'(x)vO,g(x)單調遞減，

所以當x二e時，或。皿=g(e)=L

e

所以只需2/12，,即2之』-.

e2e

故詵：B

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于轉化為2加2〃之Inx后，能夠兩邊同乘以x,同構出函數/。)=疣',

再由單調性化簡為2Zx>Inx恒成立..

變式3-1.若對任意滿足?十山-々家)恒成立，則實數〃，的取值范圍是()

A.(-00,e]B.(fe[

C.[c2,+oo)D.[e,4<c)

【答案】B

【詳解】若〃?WO,則對任意不￡卜,陛)，eV>0?lnx>0,

所以對任意xe[e,+oo),不等式€子山-320恒成立，

X/

若加>0,則々>0,

x

_mm

不等式e'inx-：20(x2e)可化為xlnx之」，

X

mm

故e%nx2々e『，即IILL*>:'e',

xx

m

由己知lur-N烏?e了在上,十g)恒成立，

x~

令〃/)=出，/e(0,+co),則/(lnx)2/胃],xe[e,+a>)恒成立，

IxJ

因為fw(0,討)時，r(r)=e,+re/=(r+I)er>0,

所以函數/")=趙在(0,轉)上單調遞增，Xlnx>lnc=l>0,4>(),

所以huN，恒成立,其中m>0,%￡卜,+00),

即m<x2liir(x>e)恒成江.

令^(x)=x2lav(x>e),g'(x)=2_dnx+xN0,

所以g(x)在［e,+oo)上單調遞增,則g(x)而n=5(e)=e2,

所以0<m<e2.

綜上可得〃de?,

故選：B.

變式3-2.若時，關于大的不等式如“Inx-eYO恒成立，則。的取值范圍為()

A.B.(e,e］C,fo,-D.f-,e

Vcjkejle_

【答案】B

【詳解】由"TInx—e'W0在XW(1,y)上恒成立，

可得or"InxKxev在xw(1,-K?)上恒成'/：,

即力In.vu<.rex在X￡(Ly)上恒成立，

即InZe,ny，ME在XW(1,+oo)上恒成立,

設f(x)=xe*,則/(inAOw/(X)在［1,+8)上恒成立,

又f'M=e'+xev=(x+l)e',

所以當xv—l時/")vO,當x>—1時

所以函數，⑶在上單調遞減,在以茁)上單調遞增,

且當xvO時，/U)<0,當x>0時，/(x)>0,

當時,由于XW(L+8),則川njvKO,

此時/(alnx)<0,/(%)>0,滿足/(Inf(x)在(1,+<?)上恒成立;

當4>0時，由于xw(l,+8),則alnx>0,

要使/(InZ)</(x)在(1,+oo)上恒成立,

Y

則需InxYx在(1，”)上恒成立，UP?<-—在(1,+8)上恒成立，

Inx

xr.Inx-1

設g(x)=7—，XG(1,-KO),則8(幻=不二￥，

\nx(inq

易知當xw(l,e)時，gf(x)<0,g(x)單調遞減，當xw(e,+a>)時，g")>0,g(x)單調遞增,

所以g（x）min=g（e）=e,則4?e,又a>0,所以0<aWe

綜上，實數〃的取值范圍為（-8,百.

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：本題解答的關鍵是將不等式同構成InVe"再構造函數，結合函數的單調性說明.

題型四：雙元同構

典例4-1.若對0<%<毛V。都有1nX<2勺-2內成立，則。的最大值為()

A.1B.2C.eD.2e

【答案】B

/、即q

【詳解】由加上<2X2-2x1,得內乂(lnx,-lnx1)<2M-2x1,

..2x,-2x..22

則ln.r2-InX]<—=-----,即In尤-In大<------,

x(x2%x2

222

有l(wèi)nxz+—<InX1+—,令/'(x)=lnx+—(x>0),

X?A|X

所以廣⑴:2I?-：2=x-=2，令r(x)=0=x=2,

xxx~

所以函數f(x)的增區(qū)間為(2,y),減區(qū)間為(0,2),

所以當0<M<&<2時，f(x2)<f(x1)t

所以0vaW2,故”的取大值為2.

故選：B.

典例4-2.已知正數x、y滿足ylny-ylnx=xd,則上-2x的最小值為()

x

A.—In2B.—In2

22

C.2+21n2D.2-21n2

【答案】D

【詳解】正數1、V滿足yl”-ylnn%'

所以3如上=*%即&n)=*,因為丘、>0,所以1芯>0,

XXXX

利用對數恒等式有l(wèi)n』e《=把，,

x

令g(x)=xe，，xe(O,-K?),因為g'(x)=e'+xe'>0恒成立.

所以函數g(x)=型'在(0,+e)上單調遞增，

所以ln2=x,即￡=/,則￡—2x=eX-2x,

XXX

構造函數〃x)=e'-2x,(x>0),則r(x)=e、—2,

當0<x<ln2時，r(x)<0,函數/(“單調遞減：

當x>ln2時,r(x)=ex-2>0,函數〃工)單調遞增.

故當x=ln2時，/(x)有最小值即/(力詢=/(ln2)=2-21n2,

所以工-2%的最小值為2-21n2.

x

故選：D.

變式4-1.對于任意引，々€口，+8)，當時，恒有aln2<2(w-%)成立；則實數〃的取值范圍是

%

A.(一8,01B.(3,1]C.(-00,2]D.(一叫3]

【答案】C

【詳解】對于任意內，9W1,”)，當七>百時，恒有加】強<2(9-X)成立，

x\

即〃Inx,-2x2<aIn%-2內成立，

令f(x)=alnx-2x,.-./(^)</|xl),

.?J(x)在[l,+oo)上單調遞減,

???/(-V)=a240在[I,。)恒成立，.?.a?2x在[I,is)恒成立，

.1

?.?當xNl,2x22,.?.實數〃的取值范圍為(Y0,2],故選C.

【點睛】本題主要考查了函數的單調性，導數和函數的單調性的關系，函數恒成立問題，將題意轉化為

/(x)=alnx-2x在[1,+8)單調遞臧是解題的關鍵，屬于中檔題.

變式42(多選)e是自然對數的底數，w>0,已知md"+ln〃>+，則下列結論一定正

確的是()

A.若，">0?則〃7—〃)0B.若，〃>0,〃>1,貝【Je'">0

C.若/〃<0,則/〃+ln〃<0D.若〃7<0,則e"+〃>2

【答案】BC

【詳解】構造函數/(%)=疣*一復則廣/)=(4+1"*-1,

當x<0時，0<e'<l=>/,(x)<x+l-l=x<0；

xN()時，e'>1=>/,(x)>x+l-l=x>().

即f(x)在(-8，。)上單調遞減，在(0,轉)上單調遞增.

又由題tJic"'+lnw>winn+mnmd'1-m>el,1wlnn-lnn=>/(m)>/(lnn).

A選項，取m=〃=e,則hw=lne=lV"?,因/(力在(0,+。)上單調遞增，

則“M>川n〃)滿足題意,但此時〃?-〃=0,故A錯誤;

B選項,若〃?>0,則ln〃>0,又由題可知/("7)>/(ln”)，

口f(x)在(。,+8)上單調遞增，則〃?>In〃=e">In/z.故B正確；

C選項,若〃?<0,當〃41時，m+]nn<m<Q,滿足題意；

當〃>1時，構造函數g(x)=/(x)—/(—工)="(。，+€：),注意到當x<0時，

g(M<0,又〃?<0,則g("?)=/(〃?)-/(一M)<。=>/(〃，)</(一切).

又因/(〃?)>/(Inn),則/(Inn)</(-/w).因一〃?,In〃>0,/(%)在(0,+向上單調遞增,

則ln〃<-"?nln〃+〃7<0.綜上，?fm<0,則〃?+ln〃v0,故C正確;

D選項，取加=-2,〃=1，則=乂/(X)在(YO,0)上單調遞減，

e

則滿足題意,但此時『+〃=3+1<2,故D錯誤.

e-e

故選：BC

【點睛】關鍵點精：本題涉及證明不等式，常需通過觀察找到題目中的相同結構，進而構造出?需要的函數,

此外此題作為選擇題，找到合適的反例可幫助我們快速解決問題.

題型五：朗博同構

典例5-1.已知函數/("=—,g(x)=a\nx,當x>0時，函數/("的圖象始終在函數g(/)圖象的上方,

則實數〃的取值范圍為()

ri\(I-]()(1_1A

A.I?B.l,e;C.-e*;,lD.-e^,e

\7I」/\/

【答案】D

【詳解】由題意可知，對任意的"0,f(x)>g(x),即Dalnx，即丁〉arlnx,

因為In/uxlnx,故￡=e'm,故別內>辦1111，

令，=xlnx,其中x>0,則，'=lnx+1,

由，<()可得0cxe,,由「>()可得所以，之=，

eeeee

一；)恒成立,

由題意可得

當，=0時，顯然該不等式成立，此時，acR；

當Z>0時，貝心<彳，令〃(/)=，，其中/>0,則“(/)=當二1,

由"(1)v0可得0</<1,由〃(，)>0可得1>1,

所以，函數〃。)在(0」)上單調遞減，在(1,也)上單調遞增，

所以，。〈也⑺而小硝人口

當時，則令力(/)=:,其中-gw/co.則力?)="(；2-1)<0,

所以，函數〃(，)在一一,0上單調遞減，則。>"(比「力

綜上所述，一e《v〃ve，即實數a的取值范圍是-'心.

V、"V.G

/

故選:D.

【點睛】結論點睛：利用參變最分離法求解函數不等式恒(能)成立，可根據以下原則進行求解:

(1)Vxe/?,in<f(x)<=>m</(x)1nbi；

(2)VxGD,m>f{x)<^>in>/(x)nm；

(3)BxeD,m<f(x)<^>rn</(X)(IHX；

(4)Hxe￡>,fn>f(x)<=>/??>/(-v)nin.

典例5-2.函數/(x)=e'-xlnx-；(a-l)x2+(l-ln4)x在定義域內是增函數，則實數。的最大值為()

A.-B.eC.—D.2c

e2e

【答案】B

【詳解】由題意可知：/*)的定義域為(0,+e),a>0,

且f\x)=ev-In.r-(a-l)x-Ina=(e'+x)-(ar+lnar),

若/(M在定義域內是增函數，則f'("之。在定義域(0,+")上恒成立，

可得e'+x2ax+Inar,

構建g(x)=x+1nx,x>(),則g(e'"g(ar),

因為丁=1門,)，=工在定義域(0,+3)上單調遞增，

可知g(x)在定義域(0,+g)上單調遞增，可得e'之ar,x>0,即

構建/?")=《,x>()，則=

XX

令解得x>l；令〃'(“<(),解得0<xvl；

可知網力在(0,1)內單調遞減,在(1,+8)內單調遞增,則/心)之Ml)=e,

可得aVe,所以實數a的最大值為e.

故選:B.

【點睛】方法點睛；兩招破解不等式的恒成立問題

1.分離參數法

第一步：將原不等式分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題；

第二步：利用導數求該函數的最值；

第三步：根據要求得所求范圍.

2.函數思想法

第?步：將不等式轉化為含待求參數的函數的最值問題：

第二步：利用導數求該函數的極值；

變式5-1.己知對于V,C2M<0,都有3%工+方欣之0,則。的最小值為()

A.---B.——,C.-eD.——

In2ln22

【答案】D

【詳解】不等式聲~&+2如眾0可轉化為北23"=一//』11小時產，

x~

因為a<0,所以-2a>().lnT2a>()

設f*)=xe\x>0,則r(x)="+l)e'>0,/")在(0,+<?)上單調遞增,

又f(x)》/(lnx~2a),所以“。Inx~2a=-2aInx,

又Inx之ln2>0,所以-2“對VxN2恒成立，即2-2〃，

InxUn”而

令g(x)=在,xN2,則，(、)=黯+由8'3=°得1=0,

當2『<e時,g'")<0,g(x)單調遞減,當X"時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,

所以g(x)min=g(e)=J-=e,

Ine

所以-2〃We,則G-導

故選：D.

【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒(能)成立，可根據以下原則進行求解:

(1)VAGD,ni<f(x)<^m<f(x)n.n；

(2)VAGD,m>/(x)<=>zn>/(x)^；

(3)玉￡。，=(力a：

(4)3xeD,m>f(x)<^m>f(x)n.n.

變式52若不等式1(2〃值7+1)='"(〃00)對任意的工?°，48)恒成立，則實數”的最大值為

【答案】鼻p鼻I

22

/\

【詳解】因為1(2〃?欣7+1)</，則2〃?山7+1??，整理得21n4+I?W，

e?\e2J「

m

x

令l=F>°,可得21nr+」4f,即”2加，一1之0,

e2

令g(/)=-21n/_l">0,則<⑺=1-。=寧，

令g'(/)>0,解得r>2：令/(/)<0,解得0<r<2；

則g(/)在(0,2)上單調遞減，在(2,-HX)上單調遞增，

則g()Ng(2)=l-21n2vO,且g⑴=0,g(4)=3_21n4>0,

可知g(。有且僅有兩個零點1"。e(2,4),

若g(r)N0,則0<Yl或，認，

Vwxw

對于可知，當”的近于?時，，二三趨近于0，故不合題意；

e2e2

,n

x

所以0<Yl,Up0<—<1,整理得,〃lnx-；40對任意的xe(0,y)恒成立，

e22

令力(x)=〃?lnx_],x>0,貝i”?'(x)=巴=

且〃?>0,令〃'(x)>0,解得0vx〈2m；令解得x>2/〃；

則力(工)在(0,2〃?)上單調遞增，在(2〃?,y)上單調遞減，

可得/?(%)<h(2m)=win2m-m<0,結合〃?>0解得0〈〃^^，

所以實數〃?的最大值為

故答案為：

【點睛】關鍵點睛：第一步同構將原式整理得21n—+1<—,把下看成整體處理求其取值范圍；

led「「

m

x

第二步根據題意分析可得°<-T”，整理得，加nx-JwO對任意的x?O,E）恒成立，結合恒成立問題分

e22

析求解.

題型六：利用同構比較大小

典例6-1.設〃二空三哂，b=L,。=華，則4，b,。的大小順序為()

ee4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

ln￡

【詳解】因為4=5(21n5)=Y，,C」n4

e"￡2ee4

~5

故構造函數〃力=今，則/'(力=卓絲，

令(3=上學:0,解得

X

當x?0,e)時,Z(x)>0,〃x)在(0,e)上單調遞增,

當上￡(e.+oc)時./'(x)<0./⑴在(e.+oo)上單調遞減.

又因為a=/b=f(e),c=/(4)

所以〃<力，c<b.

因為。=/(4)=等=殍=/(2),又?<2<e,

所以/~</(2),即c>“，故a<c<b,

I〉)

故選：A.

Q

典例6?2.已知a=0.51n2,/?=0.4(ln5-ln2),c=^(ln3-ln2),則a,b,c的大小順序是［)

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

24

構造函數/(X)=皿,(x>0),其導函數廣(力=口

XX

令(3=上詈=()，解得：I，列表得：

X(0。e(e,+oo)

/'(X)+0-

/MT極大值1J

e

所以/("=叱在(O,e)上單增.

X

因為0<2[6<?,所以/(2)</。</圖，即avcv"

故選:D.

變式6-1.已知a/,cc(L+oo],且蛇=—51na,—=-31nZ?,—=-21nc,則()

leJabbc

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

【答案】A

【詳解】設函數/(x)=xlnx,/1?=l+lnx,當xc(，,+8)，r。)>。，此時/(%)單調遞增，當

XG|0,l|,/V)<0,此時f(x)單調遞減，由題西二—51n〃，—=-31n/?,—=-21nc,得

Iejabc

1,1,,,1,1,1,11,1.生1111.1,11,11,1

6/In6/=—In—,Z?InZ?=—hi—,cInc=—In—=—In—,因為一<一<一<一,qrrTi以一In—>—In—>—In—,則

55332244543c554433

c\noh\nh,旦a.〃.Ce(1.+oo),所以〃>「>/).

故選:A.

【點睛】解本題的關鍵是發(fā)掘題中三個式子的相似性，并進行等價變形，易于構造函數，本題多次利用函

數的單調性，先利用單調性判斷函數值大小，再由函數單調性判斷自變量大小.

變式6-2.己知。=0.99-加0.99,b=l,c=1.01-1.011nl.01,則把。、b、c從小到大排列的順序是_.

【答案】c,b,a

【詳解】設〃x)=x-lnx,則f(x)=i—上=上」，0<xvl時,r(A)<0,/(x)單調遞減，

XX

所以f(O.99)>/(l),即0.99—1110.99>1—1111=1,,a>b,

設g(x)=x-xlnx,貝lj#'(x)=l-(ln.r+l)=-lnx,x>l時，g'(x)vO,g(x)單調遞減,

因此g(1.01)<g(l),EP1.01-I.01lnl.01<l-lnl=l,c<b,

身^_t，c<b<a,

故答案為：c,b,a.

【點睛】方法點睛：在比較復雜的指數、對數或其它一些值的大小時，如果不能直接利用已知指數函數、

對數出數、三角函數等的單調性比較時，可觀察已知數值的形式，想象通過一些困數使用它代之間具有相

似的性質，如木題中通過函數/(X)聯系，氏c騎過函數g(x)聯系.

題型七：利用同構證明不等式

典例7-1.設f(x)=e"g(x)=lnx,證明：9(x)Nx+g(x)+l；

【答案】證明見解析

【詳解】證明:令。(6=必1(%)一上一8(X)一1="'一工一111X一1.

則力'(x)=el+xe'-I--=(x+l)^ex--J=(A+1)/(X),A>0,

則f(A)=ex+>0恒成立，所以i(x)在((),+oo)上單調遞增，

又x+l>0,(g)=G2伸⑴=e—l)0,

所以存在玉使得/(%)=^-2=(),

所以當x?0,$)時〃(工)<0,當xe(%,*o)時“(">0,

所以/?(“在(0,%)上單調遞減，在(如位)上單調遞增，