6.4.3第3課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

導(dǎo)學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解三角形面積公式的推導(dǎo)過程，掌握三角形的面積公式.

2.了解正弦、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用.

二、3.掌握正弦、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.重點難點

學(xué)習(xí)重點：正弦定理、余弦定理在解決距離、高度、角度等實際問題中的應(yīng)用.

學(xué)習(xí)難點：理解題意，從實際問題中抽象出三角形模型，并綜合運用止弦定理、

余弦定理解三角形.

三、導(dǎo)入新知

中國有一個傳統(tǒng)節(jié)日一一中秋節(jié).中秋節(jié)的夜晚一般明月高懸,我們仰望夜空,

會有無限遐想.同學(xué)們想到了什么呢？有同學(xué)想到了月餅，有同學(xué)想到了嫦娥.很

好.嫦娥奔月的神話故事想必大家都耳熟能詳了.嫦娥偷吃丈夫后羿從西王母那里

討來的不死藥之后，飄飄然就飛起來了，因想念后羿就停在了離地球最近的月宮.

這里有一個問題：那遙不可及的月宮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？

早在1752年，兩個法國天文學(xué)家就測出了地球與月亮之間的距離大約為

385400km.他們是怎樣測出兩者之間的距離呢？帶著這一系列的問題，我們進(jìn)入

今天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

在實踐中，我們經(jīng)常會遇到測量距離、高度、角度等實際問題，解決這類問

1/36

題，通常需要借助經(jīng)緯儀以及卷尺等測量角和距離的工具進(jìn)行測量.

具體測量時，我們常常遇到“不能到達(dá)”的困難，這就需要設(shè)計恰當(dāng)?shù)臏y量方案.下

面我們通過幾道例題來說明這種情況.需要注意的是，題中為什么要給出這些己

知條件，而不是其他的條件.

事實上，這些條件往往隱含著相應(yīng)測量問題在某種特定情境和條件限制下的一個

測量方案，而且是這種情境與條件限制下的恰當(dāng)方案.

例9如圖6.4-12,A,B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量月，B兩點

間距離的方法，并求出4,3間的距離.

A一

圖6.4-12

分析：若測量者在38兩點的對岸取定一點C（稱作測量基點），則在點C處只

能測出NNC3的大小，因而無法解決問題.為此，可以再取一點測出線段CO

的長，以及4CO,/CDB,/BDA,這樣就可借助正弦定理和余弦定理算出距離

了.

_..■—>5

解：如圖6413,在力，4兩點的對岸選定兩點C,D,測［二二

2/36、、二,二

圖6.4-13

得CD=a,并且在C,。兩點分另I」測得N8C4=a,ZACD=p,4CDB=y,2BDA=b.

在△4/)。和△5OC中，由正弦定理，

asin(/+b)(asin(7+5)

得/C=

sin[180°-(/?+y+b)]sin(夕+y+b)

力kasinyasm/

sin[180°-(<7+/?+/)]sin(cr+/7+/)

于是，在△4BC中，由余弦定理可得/,B兩點間的距離

AB=>JAC2+BC2-2ACXBCCOSa

Ia~sin~(7+J)a~sin"/a~sin(/+J)sin^cosa

ysin2(/?+/+d>)sin2(cr+/?+y)sin(/7+y+3)sin(a+〃+y)

【變式】

如圖，某工程隊將從力到。修建一條隧道，工程隊從力出發(fā)向正東行106km到

達(dá)B,然后從B向南偏西45。方向行了一段距離到達(dá)G再從。向北偏西75。方向

行了4后km到達(dá)D已知。在力南偏東”。方向上，則力到。修建隧道的距離為

()km.

A.2778B.2屈C.2屈D.8加

【答案】C

【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距離測量問題

【分析】由題意，在aABC中，由正弦定理得我，在aACD中，由余弦定理求得

AD.

【詳解】連接AC,

3/36

而算出了地球與月球之間的距離約為385400km.我們在地球上所能用的最長的

基線是地球橢圓軌道的長軸.當(dāng)然，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們會不斷發(fā)現(xiàn)更加

先進(jìn)的測量距離的方法.

圖6.4-14

四、應(yīng)用新知

下面看一個測量高度的問題.

例10如圖6.4-15,48是底部3不可到達(dá)的一座建筑物，月為建筑物的最高點.設(shè)

計一種測量建筑物高度48的方法，并求出建筑物的高度.

分析：由銳角三角函數(shù)知識可知，只要獲得一點。（點。到地面的距離可求）到建

筑物的頂部力的距離C4,并測出由點。觀察4的仰角，就可以計算出建筑物的高

度.為此，應(yīng)再選取一點構(gòu)造另一個含有以的并進(jìn)行相關(guān)的長度和

角度的測量，然后通過解三角形的方法計算出C4.

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解：如圖6.4-15,選擇一條水平基線"G,使“，G,B三點在同一條直線上.在

G,〃兩點用測角儀器測得4的仰角分別是a,B，CD=a,測角儀器的高是人那

么，在△/CO中，由正弦定理，得

asin0

AC=--------------■

sin(a一尸)

所以，這座建筑物的高度為力8=力七+力=/。5由0十。=竺出包2+/?.

sin(cr-/?)

【變式】

碧津塔是著名景點?某同學(xué)為了測量碧津塔切的高，他在山下力處測得塔尖。的

仰角為45。，再沿北方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點3,測得塔尖點。的仰角為60。，

塔底點E的仰角為30。，那么碧津塔高約為(石=1.7,72?1.4)()

C.39.53D.40.52

【答案】B

【知識點】正弦定理解三角形、高度測量問題

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出力。，再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系求

解即得.

【詳解】在△然。中，/友。=45。,//&)=120°,則乙408=15。，48=24.4,

—AB—AB3網(wǎng)+瓜

4D=___-_____=____2______

ADABsin(45°-30°)應(yīng)x/J近1

由正弦定理得而120。=而回則2222

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/,^.DC=AC=—AD=^^-AB

在Rt△4CQ中，。。_1,力。，則22,

“DC百+1AR

在RtZXBCQ中，NCBD=60。，則"tan600~2,又NCBE=30。,

,,,CE=BCtan30°=ABD￡=DC-CE=24.4?38.23

因此6,33

所以碧津塔高約為38.23米.

在實際操作時.，使〃，G,8三點共線不是一件容易的事情，你有什么替代方案

畫

【感悟提升】測量高度問題的一般步驟

下面再來看一個測量角度的問題.

例11位于某海域4處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmiIe的B處有一艘

漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西

30。，且與甲船相距7nmiIe的C處的乙船.那么乙船前往營救遇險漁船時的目標(biāo)

方向線（由觀測點看目標(biāo)的視線）的方向是北偏東多少度（精確到1。）?需要航行的距

7/36

離是多少海里(精確到1nmile)?

分析：首先應(yīng)根據(jù)“正東方向”“南偏西30。”“目標(biāo)方向線”等信息、，畫出示意

圖.

由于題目中沒有給出圖形，因此正確理解題意、畫出示意圖，是解決問題的重更

環(huán)節(jié).

解：根據(jù)題意，畫出示意圖(圖6.4-16),由余弦定理，得

圖6.4-16

(1)

BC2=+AC2-2AB?-cos120°=202+72-2x20x7x--=589.

I2)

20x包

于是8。。24(nmile).由正弦定理，得鯨=迎絲，于是疝C=.

120242412

由于0。＜。＜90。，所以C念46。.

因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東46。+30。=76。，大約需要航行

24nmile.

【變式】

某港口。要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪

船位于港口。北偏西30。且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行

速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以V海里/時的航行速度勻速行

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駛，經(jīng)過，小時與輪船相遇.

⑴若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

⑵假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案（即確定航行

方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇.

【答案】⑴3。后海里/時

⑵航行方向為北偏東3。。，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇

【知識點】角度測量問題、距離測量問題、余弦定理解三角形、求二次函數(shù)的值

域或最值

【分析】（1）根據(jù)小艇與輪船的方位關(guān)系，應(yīng)用余弦定理確定小艇航行的距離s與

航行的時間，的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求小艇的航行距離最小時小艇航行速度：

r=900-幽+3

（2）由余弦定理得，產(chǎn)，結(jié)合題設(shè)列不等式求小艇最快方式與輪船相

遇時所用的時間，進(jìn)而設(shè)計航行方案.

【詳解】（1）設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則

S=^900/2+400-2X30/X20Xcos^0°-30°）=,900f2—600/+400=［弁300

?=竿二30百

當(dāng)"5時，Smn=10G（海里），此時3（海里/時）.

???小艇以308海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

（2）設(shè)小艇與輪船在“處相遇，則*=400+900產(chǎn)-2x20x30/xcos（90O-30。）,

600

,,v-2=9n0nn0----+「40一0

故,廠又0＜三30,

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90。一%+粵《9。。

tr即尸7一,解得4

=22

又時,「30海里/時，即「30海里/時時，，取得最小值為3.

此時，在a。相中，有04=08=48=20海里，

故可設(shè)計航行方案：航行方向為北偏東3。。，航行速度為30海里/時，小艇能以最

短時間與輪船相遇.

【感悟提升】測量角度問題的基本思路

測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖

形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)

果轉(zhuǎn)化為實際問題的解.

五、能力提升

題型一、三角形面積公式

【練習(xí)1】在4ABC中，點D為邊AB上一點，若msAC=3叵，S"ABC=[~,

則4ABC的面積是

A.6及B.虛C.—D.1272

22

【答案】A

【知識點】幾何圖形中的計算

【分析】先用余弦定理求出CD,進(jìn)而求AB,BC,再根據(jù)三角形面積公式即得.

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【詳解】由題在△WC中，?.YC=3&,AD=0

cosZ.ADC=cos(ZJ^C+y)=-sinZJ5C=--y

代入AC2=AD2+DC2-2AD>DCcos^ADC可得DC2+2DC-15=0,舍掉負(fù)根有

OC=3.BC=DCcot/ABC=372.

AB=AD+BD=AD+———=G+3>A=4百

sinZ.ABC.于是根據(jù)三角形面積公式有:

S=-JB-5CsinZJ5C=-4^-3V2—=672~、小

加223.故選A.

【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.

反思感悟求三角形的面積，要充分挖掘題目中的條件，轉(zhuǎn)化為求兩邊及其夾角

的正弦問題，要注意方程思想在解題中的應(yīng)用.

知識點一三角形的面積公式

已知△45C的內(nèi)角/,B,。所對的邊分別為。，b,c,則△45C的面積公式為

(1)S=；〃/?sinC=[bcsiM=[acsin&

(2)S=：〃Wa=：b?hb=；c,hc(ha，hb,h表示a,b,。邊上的高).

知識點二△48。中的常用結(jié)論

(1)4+3+C=n，sinC4+8)=sinC,cos(A+B)=—cosC；

(2)大邊對大角,即Q>b=/4>3=sin/l>sin5；

⑶任意兩邊之和大王第三邊，任意兩邊之差小王第三邊.

［提示］三角形的其他面積公式

(1)品彳叱=%(。+人+c)=；"，其中尸為內(nèi)切圓的半徑，/為△49。的周長.

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co_1zSmBsinC_l

(2)S^ABC=a2..，Sc^ABC=/2?

2sirU2

siivlsinC°_1sirL4sinS

.,，3△ABC=<7.c

sinS2sinC

2

(3)SA^c=27?siiL4sin5sinC=^,其中7?為△/BC外接圓的半徑.

(4)海倫公式：S^ABC=p(p—。)(p—6)(p—c),其中p=；(4+/?+c).

(5)&/叱=；|。刖|2-3b)2,其中力=CZa=CB.

(6)S△力水?=；|。力2—。24|,其中助=(m,。2),充=(bi,bi).

題型二、余弦、正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用

【練習(xí)2】如圖，在"中，CEEVUCS點。在邊BC上，且si"?？?

則6等于()

273D.竽

正Cr

4*T

【答案】c

【知識點】幾何圖形中的計算

【分析】在VMC中，由余弦定理求得力8,在△48。中，利用正弦定理求得BD,

則可得CD.

【詳解】在V/8C中，由余弦定理可得”=〃C2+BC2—2JCX8CXCOSC=④=3.

又AB、AC?=,故V48C為直角三角形，故4=90。-60。=30。.

?/DArt2歷/DsV2T

,_,、，sin/.BAD=-----_、,，、，-.,cosZ.BAD=-----

因為7,且/胡。為銳角，故7

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,sinNADB=sin(30°+ZBAD)=-xcos^BAD+—xsin^BAD=

由l'2214

Dn32訴46

ABBD3南73

利用正弦定理可得$加sinZBAD,代值可得一14

/。=2道-8力=邁

故3

故選：C.

【點睛】本題考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，屬于綜合基礎(chǔ)題.

【感悟提升】與幾何圖形有關(guān)的解三角形問題的思路

⑴把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正、余弦

定理求解.

⑵尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

（3）在平面幾何中求邊、求角，通常思路是先找所求的邊、衡所在的三角形，

再在三角形中通過余弦、正弦定理求邊和角.

題型三、余弦、正弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用

【練習(xí)3］已知VWC的內(nèi)角4B、。所對的邊分別為〃、b、c,滿足=

+c--a-

⑴若?。∣’"，求角A;

⑵若a+c=bcosC+\/3bsinC,試判斷VABC的形狀.

【答案】⑴-3

⑵V/6C為正三角形

【知識點】三角恒等變換的化簡問題、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理邊角

互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的余弦定理公式得到.cos/,結(jié)合題干中的

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m—gtanJn--------=siM=—,,,_____,、

公式可得28sz2,進(jìn)而可求.

⑵由正弦定理得到siM+sinC=sin尻°sC+底in麗C,化簡后得到結(jié)合第一問得

到V"C為正三角形.

（1）

222

由余弦定理知:b+c-a=2bccosAf

ta小旦=sin/

2cos42,

I2九，3.

（2）

a+c=6cosC+VJbsinC,

由正弦定理：sinJ+sinC=sin8cosc+x/3sinZ?sinC,

而sin"=sin（8+C）,sin8cosc+cosBsinC+sinC=sin8cosc+GsinAsinC,

即cosBsinC+sinC=x/3sin5sinC,而sinC工0,

.兀

\/Jsin8-cos8=l,,叫6J2,?.?,（。㈤.?.,

.sinJ=j/A\B=—A--A=B=C=—

又由（1）知2,?.?4<0,兀）及3,A3,從而3,

因此V.C為正三角形.

反思感悟

常見的綜合問題有：正弦定理和余弦定理與平面向量、三角函數(shù)、三角恒等變

換的綜合交匯問題.

余弦定理、正弦定理與三角函數(shù)的交匯問題，其考查核心是三角函數(shù)的有關(guān)知識，

因此應(yīng)以余弦定理、正弦定理為工具，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.其中涉及平

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面向量問題，應(yīng)充分利用向量的幾何特征，將向量問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題.

正弦、余弦定理與三角函數(shù)相結(jié)合，常見兩種考查方式：

一是先由正弦、余弦定理求出內(nèi)角正弦值、余弦值，再結(jié)合和、差、倍、半角公

式可以求解問題中出現(xiàn)的三角函數(shù)值；

二是利用三角函數(shù)的性質(zhì)，一般把求邊的范圍轉(zhuǎn)化成求角的范圍，解與三角形有

關(guān)的問題.

應(yīng)用余弦定理、正弦定理解決三角形的綜合問題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用余弦定

理、正弦定理中的邊角關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化這一功能.

題型四、測量角度問題

【練習(xí)4】瀑布是廬山的一大奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布中》寫道：

日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川，飛流直下三千尺，疑是銀河落九天為了測量

某個瀑布的實際高度，某同學(xué)設(shè)計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑

布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為《沿山道繼續(xù)

走20m,測得瀑布頂端的仰角為最已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向

瀑布底端的方向所成角為會根據(jù)這位同學(xué)的測量數(shù)據(jù)，可知該瀑布的高度為—

m；若第二次測量后，繼續(xù)行進(jìn)的山道有坡度，坡角大小為5,且兩段山道位于

同一平面內(nèi)，若繼續(xù)沿山道行進(jìn)20gm,則該同學(xué)望向瀑布頂端與底端的視角正

切值為.（此人身高忽略不計）

【答案】603

【知識點】高度測量問題、角度測量問題

2

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)高度為力，則可表示出==行,在VMC中

利用余弦

定理即可求出力的值；由已知數(shù)據(jù)易知。。=。=40,則歷=40,則可得到

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tanZ.DFE=1,tanZ.CFE=—__,...八%,.,,.,_

2,再由兩角和的正切公式計算出結(jié)果.

【詳解】如圖，設(shè)瀑布頂端為底端為。，高為J

該同學(xué)第一次測量的位置為A,第二次測量的位置為心

.,tanNDAC=-,=20NDBC=ZCAB=-

則2,3,

一AC=-h,BC=-h

所以33,

在V中由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2ACAB-COSNCAB

A2421

…——=—h2+400-2x—hx.20x—

即3932,

解得：人=60；

如圖，兩段山道為防,過戶作PSCQ于點￡,

由題意知："BG=],BF=20g,

所以5GMG=20,

在V/18C中力C=40,8C=20x/i/8=20,AB-+BC~=AC-,

所以C8J.8G,

所以CGMJCB2+BG?=40,

所以E/=CG=40,

又EC=FG=20,

所以。E=40,

DFCF1

tanNDFE=—=l,tanNCFE=—=-

EFEF2,

16/36

14

lanNDFE+tanNCFE

tanZDFC=tan(ZDFE+NCFE)=產(chǎn)

1-tanZ.DFE-tanZCFE

1-----

所以2

故答案為：60；3.

方法技巧

測量角度問題畫示意圖的基本步驟

題型五、測量高度問題

【練習(xí)5】如圖，測量河對岸的塔高4B時可以選與塔底5在同一水平面內(nèi)的兩

個測點C與。，測得NBCD=15。,NBDC=30°,CD=30m,并在點C測得塔頂力

的仰角為60。，則塔高力8等于（)

A.5cmB.1573mC.5V2mD.156m

【答案】D

【知識點】正弦定理解三角形、高度測量問題

【分析】在4。。中，由正弦定理，求得叱=156，再在口△相。中，即求他.

【詳解】在4BCD中,乙CBD-180。-15。-30。-135。，

17/36

BC30

由正弦定理得sin30sin1350,

解得5c=15&(m),

在RtZ\ABC中,4B=BCtanNACB=15yf^xC

故選：D

測量高度的基本類型及方案

類型簡圖計算方法

/

底部可達(dá)測得8C=mZACB=C,AB=atanC

C^~~a%

測得CO=Q及。與N/O8的度數(shù).先由

點、B與C,D

底正弦定理求出/C或4D,再解直角三角

共線

GcQ1r)\D

部形得N3的值

不測得CO=a及N8C。，D,N4CB的度

A

可點、B與C,D數(shù).

一—,一。、_一

—~~~:

達(dá)不共線在△BCQ中,由正弦定理求得BC,再

±_)__________LL

CaD

解直角三角形得45的值

題型六、測量距離問題

【練習(xí)6】設(shè)48兩點在河的兩岸，為測量a8兩點間的距離，小明同學(xué)在/

的同側(cè)選定一點C，測出/,。兩點間的距離為80米，4c8=得,/84C=g,請你

幫小明同學(xué)計算出4,3兩點間的距離，距離為（）米.

A.406B.40(1+73)

18/36

C.40GD.40(72+V6)

【答案】B

【知識點】距離測量問題

【分析】由正弦定理求解即可.

.5乃.(乃乃).乃乃乃.乃J-，1，+，

［詳解］12146)464622224

由正弦定理可知

2^+V2

6UX

皿ACsinZACB-7-r-\

AB=-----------------=-----7=^——=401+V3

/iB4csinN48c五1)

s\nZ.ACBsinZ.ABC,2

故選：B

【感悟提升】三角形中與距離有關(guān)問題的求解策略

⑴解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個三角形中，則直接利用正、余弦定

理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，?/p>

利用正、余弦定理求解.

⑵解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三

角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決.

測量距離的基本類型及方案

類48兩點間不可達(dá)或A,8兩點間可視，但

A,8兩點都不可達(dá)

型不可視有一點不可達(dá)

圖

形

CCa。

方先測角C,AC=b,以點4不可達(dá)為例，測得。=mZ

法BC=a,再利用余弦先測角&C,BC=a,BCD,/BDC,Z

19/36

定理求45再用正弦定理求力5ACD,ZADC,Z

ACB,在△/CQ中用

正弦定理求4C;在

△3CO中用正弦定

理求BC；在△4BC

中用余弦定理求44

六、課堂總結(jié)

1.知識清單：

⑴三角形的面積公式.

(2)利用余弦、正弦定理解決平面幾何問題.

⑶余弦、正弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用.

2.方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.

3.常見誤區(qū)：利用余弦、正弦定理求值時會出現(xiàn)增根，易忽略檢驗.

三角形中與距離有關(guān)問題的

求解策的(II公it.

一［知識清單

6.4.3第3課2方SM4t?*4LIMA含

解三角函數(shù)應(yīng)用何髓的基本時余弦定理.

步驟正弦定理應(yīng)用

舉例與幾何圖形有關(guān)的好三角形⑺!91ts三KNMW

問鹿的思路

正弦、余弦定理與三角函數(shù)

相結(jié)合，常見兩樣考杳方式

練習(xí)(第51頁)

1.如圖，一艘船向正北航行，航行速度的大小為32.2nmile/h,在4處看燈塔S在

船的北偏東20。的方向上,30min后，船航行到B處，在8處看燈塔在船的北偏東65。

20/36

的方向上.已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼

續(xù)沿正北方向航行嗎？

北

/二S

20°/

A/

(第1題)

1.解析：在△Z5S中，=32.2x0,5=16,Inmile,根據(jù)正弦定理，得

4SAB

sinZ.ABSsin(65°-20°)

48xsinZ.ABS

所以4S=16.1-sinll50-V2.

sin(65°-20°)

因此，S至U直線的距離d=NS?sin20°=16.卜sin115。?"sin20°?7.06(nmile)

因為7.06>6.5,所以這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行.

2.如圖，在山腳/測得山頂尸的仰角為。，沿傾斜角為尸的斜坡向上走am,到

達(dá)8處，在8處測得山頂。的仰角為“求證：山高〃=竺出則2:包.

sin(7-a)

(第2題)

2.解析：在中，/43。=180。-y+/，NBP.4=l80°—(a-0)-乙4BP=y-a.

21/36

在△48P中，根據(jù)正弦定理，得德="8,所以4p—sin（"0.

sin/.ABPsinZ.APBsin（/一a）

所以，山高）=4°sin,="inasin（y0.

sin（/-6z）

3.如圖，一艘海輪從/出發(fā)，沿北偏東75。的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島8,

然后從8出發(fā)，沿北偏東32。的方向航行54nmile后到達(dá)海島C.如果卜次航行直

接從4出發(fā)到達(dá)C,那么這艘船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少?

（角度精確到。1。，距離精確到0.01nmile）

（第3題）

3.解析：在△43C中,ZABC=\80°-75°+32°=137°.根據(jù)余弦定理，得

AC=yjAB2+BC2-2ABACcosZABC?113.15.

于是sinNCAB=0.3255,所以ZCAB?19.0°,75°-NCAB?56.0°.

所以，此船應(yīng)該沿北偏東約56.0。的方向航行,需要航行大約113.15nmile.

習(xí)題6.4（第52頁）

ABAC

1.若非零向量血與充滿足則4ABC為

三邊均不相等的三角形8.直角三角形

22/36

C.底邊和腰不相等的等腰三角形D.等邊三角形

1.答案：D

~AB~AC

解析：已知非零向量標(biāo)與萬滿足憫+同灰=0,即角力的平分線垂直于8C,

所以485C.乂cos4答當(dāng)二絲四r」故4=工.因此△48C為等邊三角豚

2.已知O,N,P在△/6C所在平面內(nèi)，滿足網(wǎng)=|礪卜區(qū)礪+麗+標(biāo)=6,

且西?麗=麗.正二無.蘇，則點O,N,。依次是△/8。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

備注：垂心是三角形三條高所在直線的交點.

2.答案：C

解析：由網(wǎng)=|礪卜區(qū)知。為△Z8C的外心，由麗+而+祀=6,知N為△"（?

的重心.

因為西屈=而.無二無?⑸，所以（百一斤）屈=0,即而屈=0,故B_L而，

同理，BCLPA.所以尸為△/8C的垂心，因此選C.A

3.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角.

3.證明：如圖，8C為圓的直徑.設(shè)圓的半徑為方向//Nc

___________一\OI

ABAC=（AO+OBy（AO+OC）\!

=（AO+OB）C^-^）=^-OB2=r2-r2=（）/

..ABLAC.即直徑所對的圓周角是直角.

4.兩個粒子力，8從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為

=(4,3),sB=(2,10)

(1)寫出此時粒子8相對粒子力的位移入

(2)計算I在上的投影向量.

4.(1)s=sB-sA=(-2,7)

(2)設(shè)向量I與或的夾角為0,則cosO=)士，與工方向相同的單位向量為黑則

S.SA

s在〃上的投影向量為Mcos0e=^pY,e=Ue=(",藝.

卜/512525)

5.一個人在靜水中游泳時，速度的大小為2百km/h.當(dāng)他在水流速度的大小為

2km/h的河中游泳時，

(1)如果他垂直游向河對岸，那么他實際沿什么方向前進(jìn)(角度精確到1。)？實際

前進(jìn)速度的大小為多少？

(2)他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)(角度精確到1。)？實際

前進(jìn)速度的大小為多少？

5.解析：(1)實際前進(jìn)速度大小為也2+(4/)2=8(km/h)，沿與水流方向成60。的

方向前進(jìn).

(2)實際前進(jìn)的速度的大小為J(4G)2-42=4VI(km/h).設(shè)此人游泳的方向和與

4V3

水流垂直的方向的夾角為6,則sin8=8355。.所以此人游泳的方向

刀T7

與水流方向的夾角約為125。時，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn).

6.在△力8c中，分別根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1。，邊長精確到1cm)：

(1)a=49cm,b=26cm,C=107°;

24/36

(2)。=9cm,8=10cm,c=15cm.

6.解析:(1)c2=a2+b2-^ihcosC=492+262-2x49x26xcos107°?3821.96,Ac?62cm.

T7r+iTC/力工HIac4且.cisinC49xsin107°.

乂由止弦/E理，--=-―得sin力=----=--------?0.756,/.?49n°o.

sinAsinCc62

^=180°-J-C?24°.

/八/102+152-92八…

(2)cosA=--------------=-----------------p0.813，A?36°,

2bc2x10x15

COSB='+C2―卜=少+152-IO?^0753,「.8k40。,C=180。-4-8a104。?

lac2x9x15

7.在AABC中,分別根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到1。,邊長精確到1cm）：

(1)4=70。，C=30°,c=20cm;

(2)/)=26cm,c=15cm,C=23°.

7.解析：(1)8=180。-4-C=80。，由正弦定理，=

sinAsinBsinC

,且csinA20sin70°__,csinB20sin80°

借a=--------=-------------a38cm,h=---------=------------?39cm.

sinCsin30°sinCsin30°

(2)由正弦定理，=sinB=bSmC=26Sm23°0.677,%43。或137。，

sinBsinCc15

當(dāng)8^43。時，J=180°-i?-C?114o,

+十士工用acZBcsinA15sinl14°

由正弦定理，---=----，得。=-----=-------?35cm.

sinAsinCsinCsin23°

當(dāng)8會137。時,/4=180°-5-C?20°,

由正弦定理，，二，二，得”山="包更3cm.

sinAsinCsinCsin23°

8.如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個測

量基點。與?，F(xiàn)測得N3a)=a,4BDC=0,CO=s,在點C測得塔頂力的仰角為。，

求塔高

25/36

(第8題)

BCCD

8.解析：在△8C。中，ZCBD=7i—a—。由正弦定理，得

sinABDC~sinACBD

所以8C="即夕，因此，在RtZUHC中，AB=BCtanZACB=5tan6>sin^.

sin(a+0)sin(?+p)

9.在氣象臺4正西方向300km處有一臺風(fēng)中心，它正向東北方向移動，移動速度

的大小為40km/h,距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響.若臺風(fēng)中心的這

種移動趨勢不變，氣象臺所在地是否會受到臺風(fēng)的影響？如果會，大約多長時間

后受到影響?持續(xù)時間有多長(精確到1min)?

9.解析：以氣象臺為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)在

臺風(fēng)中心8的坐標(biāo)為(-300,0),設(shè)，小時后臺風(fēng)中心移到則"的坐標(biāo)為

(—300+40/cos45。,40,sin45。)，

即(-300+20揚，20萬).

因為以臺風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑的圓上或圓內(nèi)的點將受臺風(fēng)影響，所

以網(wǎng)W250,即(-300+20V2r)2+(20V2r)2^2502,整理得16產(chǎn)—12()6+27540,

解得成-5%々"+5",即2.00WV8.61,

44

故大約2小時后氣象臺/所在地將遭受臺風(fēng)影響，大約持續(xù)6小時37分鐘.

26/36

10.你能用三角形的邊和角的正弦表示三角形的面積嗎?

10.如圖，過點3作，垂足為E,則8O=csin4./.5,4-X/1OV=-2ACxBD=-2bcsinA.

同理可得=；acsinB,S-5C力sinC?

乙

由此得任意三角形的面積又加=Lesin4=Lesin3=L/bsinC.

這是由SAS求三角形面積的公式.

11.已知對任意平面向量而=(幾歹)，把刀繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到

向量4P=(xcos6-ysinaxsin6+ycos6),叫做把點3繞點4沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)夕角

得到點尸.已知平面內(nèi)點4=(1,2),點4=(1+收,2-2尤)，把點8繞點力沿順時針

方向旋轉(zhuǎn)巳后得到點尸，求點尸的坐標(biāo).

4

11.解析：設(shè)P(xj),則萬=(x-l,y-2).日=(啦,-2應(yīng))將在繞點4沿順時針

方向旋轉(zhuǎn)f到不，相當(dāng)于沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)衛(wèi)到萬，于是

44

AP=\/cos+2挺sin,肛后sin-7r-2\/2cos—|=(-1,-3)，

[4444)

27/36

所以廣二=；解得因此點。的坐標(biāo)是(0,-1).

y-2=-3=-1

12.如圖，在△48C中，已知/8=2,JC=5,ZBAC=60°,BC,4c邊上的兩條

中線4W,3N相交于點尸，求NMPV的余弦值.

(第12題)

12.解析：解法一：設(shè)標(biāo)=2,AC=b,貝IJB與2的夾角為60。，.?.“=國卡卜0560。=5,

因為力"，8N分別是△Z8C中BC,ZC邊上中線，所以而二；(?),

麗=前_方=;.

于是國2=；“)2=萍+^+2%)=乎所以國=與同理，阿卜理，

而?麗二；0+展).；區(qū)-2%)=：(鏟-""-2/)=3,所以cos/MPN=AMBN4回

解法二：以4為原點建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則

/(0,0),C(5,0),B(l,g),M3,”停4

—Ly/3}—(3八…~AM^N34回

AM=3,—，BN=—,一73，4MPN=1”]“二―T=—,—=----------.

I2J12)\AM[\AN\匹叵91

13.一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從河岸邊的4處出發(fā)到河對

28.36

岸.已知船在靜水中的速度/的大小為匕=10km/h,水流速度均的大小為

可=2km/h.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的

比值必須最小.此時我們分三種情況討論：

(1)當(dāng)船逆流行駛，與水流成鈍角時；

(2)當(dāng)船順流行駛，與水流成銳角時飛

(3)當(dāng)船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.

請同學(xué)們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當(dāng)船垂直于對岸行駛，與

水流成直角時所用時間最短.

13.解析：設(shè)％與E的夾角為。，合速度為KE與的夾角為二，行駛距離為skm,

時間為Zh,

V|sin^lOsinO工日d0.5v...m,ILS1.

則sma=|二門，于入Es=--=--=(km).因此「二可=(ZIh).

vvsinasina20sin0v20sin0

所以當(dāng)9=90。，即船垂直于對岸行駛時，所用時間最短.

14.一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m,河水的速度為向東2bkm/h.一

艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭/處出發(fā)，航行到位于河對岸B("與河的方

向垂直)的正西方向并且與8相距250^m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨

船航行的速度的合速度的大小為6km