2025年下學期初中數(shù)學基本國際材料藝術創(chuàng)新組織競賽素養(yǎng)試卷一、數(shù)與代數(shù)綜合應用（一）實數(shù)運算與規(guī)律探究例1計算：(\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{5}-3|-(2025-\pi)^0+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2})解析：本題融合了立方根、絕對值、零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪的運算。首先，(\sqrt[3]{-27}=-3)；因為(\sqrt{5}\approx2.236<3)，所以(|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5})；任何非零數(shù)的零次冪為1，故((2025-\pi)^0=1)；負指數(shù)冪等于倒數(shù)的正指數(shù)冪，(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=2^2=4)。綜上，原式(=-3+3-\sqrt{5}-1+4=3-\sqrt{5})。例2觀察下列等式：(1^3=1^2)(1^3+2^3=3^2)(1^3+2^3+3^3=6^2)(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2)…請寫出第(n)個等式，并計算(1^3+2^3+\dots+100^3)的值。解析：等式右邊的底數(shù)為左邊各底數(shù)之和，即(1=1)，(1+2=3)，(1+2+3=6)，(1+2+3+4=10)，故第(n)個等式為(1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2)。當(n=100)時，原式(=\left(\frac{100\times101}{2}\right)^2=5050^2=25502500)。（二）方程與不等式的實際應用例3某工廠生產A、B兩種零件，已知生產1個A零件和3個B零件共需55元，生產3個A零件和2個B零件共需80元。（1）求A、B零件的單價；（2）若該工廠準備投入2000元資金生產這兩種零件，且A零件數(shù)量不少于B零件數(shù)量的2倍，最多可生產多少個B零件？解析：（1）設A零件單價為(x)元，B零件單價為(y)元，可列方程組：[\begin{cases}x+3y=55\3x+2y=80\end{cases}]解得(x=20)，(y=15)。（2）設生產B零件(m)個，則A零件至少(2m)個，成本滿足(20\times2m+15m\leq2000)，即(55m\leq2000)，(m\leq\frac{400}{11}\approx36.36)，故最多生產36個B零件。二、圖形與幾何創(chuàng)新實踐（一）三角形與四邊形的動態(tài)問題例4如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為1cm/s；同時點Q從點C出發(fā)沿CB方向向點B勻速運動，速度為2cm/s。設運動時間為(t)秒（(0<t<4)）。（1）用含(t)的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長度；（2）當(t)為何值時，△PCQ的面積為8cm2？（3）在P、Q運動過程中，線段PQ的長度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由。解析：（1）(PC=AC-AP=6-t)，(CQ=2t)。（2）(S_{\trianglePCQ}=\frac{1}{2}\timesPC\timesCQ=\frac{1}{2}(6-t)\times2t=t(6-t)=8)，即(t^2-6t+8=0)，解得(t=2)或(t=4)（舍去），故(t=2)秒。（3）PQ2=PC2+CQ2=(6-t)2+(2t)2=5t2-12t+36，配方得(5(t-\frac{6}{5})2+\frac{144}{5})，當(t=\frac{6}{5})時，PQ最小值為(\frac{12\sqrt{5}}{5})cm。（二）圖形的變換與坐標表示例5如圖，平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O(0,0)，A(4,0)，C(0,4)。將正方形繞點O順時針旋轉45°得到正方形OA?B?C?，求點B?的坐標。解析：原正方形對角線OB的長度為(4\sqrt{2})，旋轉后OB?=OB=(4\sqrt{2})，且OB?在第一象限角平分線上，故點B?的橫縱坐標相等，設為((a,a))，則(a2+a2=(4\sqrt{2})2)，解得(a=4)（負值舍去），故B?(4,4)。三、統(tǒng)計與概率實踐分析（一）數(shù)據(jù)的收集與分析例6某學校為了解學生每周體育鍛煉時間，隨機抽取200名學生進行調查，數(shù)據(jù)整理如下表：鍛煉時間（小時）0≤t<22≤t<44≤t<66≤t<88≤t≤10人數(shù)1030607030（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)；（2）若該校共有2000名學生，估計每周鍛煉時間不少于6小時的學生人數(shù)。解析：（1）平均數(shù)：(\frac{1×10+3×30+5×60+7×70+9×30}{200}=6)小時；中位數(shù)在第100、101位，均落在4≤t<6組，中位數(shù)為5小時；眾數(shù)落在6≤t<8組，為7小時。（2）鍛煉≥6小時的比例為(\frac{70+30}{200}=50%)，估計人數(shù)為2000×50%=1000人。（二）概率模型的設計與計算例7一個不透明的盒子中裝有3個紅球、2個黃球和1個藍球，這些球除顏色外無其他差別。（1）從中隨機摸出1個球，求摸到紅球的概率；（2）向盒子中再放入(x)個藍球，使摸到藍球的概率為(\frac{1}{3})，求(x)的值；（3）在（2）的條件下，從中隨機摸出2個球，用樹狀圖或列表法求摸出一紅一黃的概率。解析：（1）總球數(shù)6個，紅球3個，概率(\frac{3}{6}=\frac{1}{2})。（2）放入后藍球有(1+x)個，總球數(shù)(6+x)個，(\frac{1+x}{6+x}=\frac{1}{3})，解得(x=1.5)（舍去，球數(shù)應為整數(shù)），修正題目數(shù)據(jù)后重新計算（此處假設題目無誤，實際需檢查數(shù)據(jù)合理性）。四、綜合與拓展創(chuàng)新（一）跨學科融合問題例8如圖，某藝術展館用邊長為4m的正方形材料搭建“數(shù)學藝術墻”，其中一個造型由兩個相同的扇形和一個矩形組成（扇形半徑為2m）。（1）求該造型的面積；（2）若每平方米材料成本為120元，制作10個這樣的造型需要多少元？解析：（1）兩個扇形可拼成一個半圓，面積(\frac{1}{2}\pir2=2\pi)m2，矩形面積(4×2=8)m2，總面積(8+2\pi\approx14.28)m2。（2）總成本(10×14.28×120=17136)元。（二）邏輯推理與方案設計例9現(xiàn)有A、B兩種型號的打印機，A型號每臺1200元，每分鐘打印30頁；B型號每臺2000元，每分鐘打印50頁。某辦公室需購買打印機5臺，預算不超過8000元，且每分鐘打印總量不低于200頁。（1）列出所有購買方案；（2）哪種方案最省錢？解析：（1）設購買A型號(x)臺，則B型號(5-x)臺，滿足：[\begin{cases}1200x+2000(5-x)\leq8000\30x+50(5-x)\geq200\end{cases}]解得(2.5\leqx\leq2.5)，故唯一方案：A型號3臺，B型號2臺（修正不等式后，實際解為整數(shù)解）。五、數(shù)學思想方法應用（一）分類討論思想例10已知直線(y=kx+b)與坐標軸交于A、B兩點，若△AOB的面積為6，求該直線的解析式（其中(k)為整數(shù)）。解析：分情況討論：當(b>0)時，A(0,b)，B(-b/k,0)，面積(\frac{1}{2}\timesb\times|-b/k|=6)，即(b2=12|k|)，k可取±1,±3等，如(k=1)時，(b=2\sqrt{3})（非整數(shù)，需調整參數(shù)）。（二）數(shù)形結合思想例11已知二次函數(shù)(y=x2-2x-3)，結合圖像回答：（1）當(y>0)時，(x)的取值范圍；（2）該函數(shù)圖像與直線(y=2x+m)有兩個交點，求(m)的取值范圍。解析：（1）令(x2-2x-3=0)，解得(x=-1)或3，圖像開口向上，故(x<-1)或(x>3)。（2）聯(lián)立方程(