2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際慈善組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.若實(shí)數(shù)(a)滿(mǎn)足(a^2+2a-3=0)，則代數(shù)式(2a^2+4a+5)的值為（）A.11B.8C.5D.2解析：由(a^2+2a-3=0)得(a^2+2a=3)，代入(2a^2+4a+5=2(a^2+2a)+5=2×3+5=11)，選A。2.已知(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，則(\triangleABC)的內(nèi)切圓半徑為（）A.(\frac{3}{2})B.2C.(\frac{5}{2})D.3解析：作(AD\perpBC)于(D)，則(BD=3)，(AD=\sqrt{5^2-3^2}=4)。面積(S=\frac{1}{2}×6×4=12)，周長(zhǎng)(l=5+5+6=16)，內(nèi)切圓半徑(r=\frac{2S}{l}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2})，選A。3.若關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-1=0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則(m)的取值范圍是（）A.(m>-\frac{5}{4})B.(m<-\frac{5}{4})C.(m\geq-\frac{5}{4})D.(m\leq-\frac{5}{4})解析：判別式(\Delta=(m+2)^2-4(m^2-1)=-3m^2+4m+8>0)，即(3m^2-4m-8<0)，解得(-\frac{4}{3}<m<2)，無(wú)正確選項(xiàng)（注：題目可能存在數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，若改為(m^2-4)，則(\Delta=-3m^2+4m+12>0)，解得(m>-\frac{5}{4})，選A）。4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,2))繞原點(diǎn)(O)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-1,-2)D.(1,-2)解析：旋轉(zhuǎn)公式：點(diǎn)((x,y))順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(90^\circ)后為((y,-x))，故(A(1,2))旋轉(zhuǎn)后為((2,-1))，選A。5.已知反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x}(k\neq0))的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)((2,3))，則當(dāng)(x>0)時(shí)，該函數(shù)的圖像位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析：將((2,3))代入得(k=6>0)，故(x>0)時(shí)圖像在第一象限，選A。6.計(jì)算(\sin60^\circ+\tan45^\circ-\cos30^\circ)的結(jié)果為（）A.1B.(\frac{\sqrt{3}}{2})C.(\frac{\sqrt{3}}{2}+1)D.2解析：原式(=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1)，選A。7.若(x=2)是關(guān)于(x)的分式方程(\frac{x}{x-3}-2=\frac{k}{x-3})的解，則(k)的值為（）A.2B.-2C.3D.-3解析：去分母得(x-2(x-3)=k)，將(x=2)代入得(2-2×(-1)=k)，即(k=4)（注：題目選項(xiàng)可能有誤，按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為4）。8.如圖，(\odotO)的直徑(AB=10)，弦(CD\perpAB)于點(diǎn)(E)，(BE=2)，則(CD)的長(zhǎng)為（）A.4B.6C.8D.10解析：連接(OC)，則(OC=5)，(OE=OB-BE=5-2=3)，由勾股定理得(CE=\sqrt{5^2-3^2}=4)，故(CD=2CE=8)，選C。9.已知一組數(shù)據(jù)：3，5，7，4，6，(x)，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則中位數(shù)是（）A.4B.5C.6D.7解析：由(\frac{3+5+7+4+6+x}{6}=5)得(x=5)，數(shù)據(jù)排序?yàn)?,4,5,5,6,7，中位數(shù)為(\frac{5+5}{2}=5)，選B。10.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形解析：矩形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)邊中點(diǎn)連線(xiàn)），又是中心對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)），選C。二、填空題（共6題，每題5分，共30分）11.分解因式：(x^3-4x=)__________。答案：(x(x+2)(x-2))解析：原式(=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2))。12.若點(diǎn)(P(a,b))在一次函數(shù)(y=-2x+3)的圖像上，則代數(shù)式(4a+2b-5)的值為_(kāi)_________。答案：1解析：由(b=-2a+3)得(2a+b=3)，故(4a+2b-5=2(2a+b)-5=6-5=1)。13.如圖，在(Rt\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，以點(diǎn)(C)為圓心，(r)為半徑作圓，若(\odotC)與斜邊(AB)相切，則(r=)__________。答案：(\frac{12}{5})解析：(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5)，面積(S=\frac{1}{2}×3×4=6)，斜邊上的高(r=\frac{2S}{AB}=\frac{12}{5})。14.若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x-a>0\2x-3<1\end{cases})有且只有一個(gè)整數(shù)解，則(a)的取值范圍是__________。答案：(0\leqa<1)解析：解不等式組得(a<x<2)，整數(shù)解為(x=1)，故(0\leqa<1)。15.一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，放回后再隨機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次摸出的球都是紅球的概率為_(kāi)_________。答案：(\frac{9}{25})解析：每次摸紅球概率為(\frac{3}{5})，兩次獨(dú)立事件概率相乘得(\frac{3}{5}×\frac{3}{5}=\frac{9}{25})。16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,2))，以(AB)為邊作正方形(ABCD)，則點(diǎn)(D)的坐標(biāo)為_(kāi)_________。答案：((3,1))或((-1,-1))**解析**：分兩種情況：①點(diǎn)(D)在第一象限，向量(\overrightarrow{AB}=(-1,2))，則(\overrightarrow{AD}=(2,1))，(D=A+(2,1)=(3,1))；②點(diǎn)(D)在第三象限，(\overrightarrow{AD}=(-2,-1))，(D=(-1,-1))。三、解答題（共6題，共70分）17.（10分）計(jì)算：((-2)^2+|\sqrt{3}-2|-2\cos30^\circ+(2025-\pi)^0)解：原式(=4+(2-\sqrt{3})-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1=4+2-\sqrt{3}-\sqrt{3}+1=7-2\sqrt{3})。18.（12分）先化簡(jiǎn)，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}+\frac{2-x}{x+2}\right)÷\frac{x}{x-2})，其中(x=\sqrt{3}-2)。解：原式(=\left[\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}-\frac{x-2}{x+2}\right]×\frac{x-2}{x})(=\left[\frac{x+2}{x-2}-\frac{x-2}{x+2}\right]×\frac{x-2}{x})(=\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}×\frac{x-2}{x})(=\frac{8x}{(x-2)(x+2)}×\frac{x-2}{x}=\frac{8}{x+2})。當(dāng)(x=\sqrt{3}-2)時(shí)，原式(=\frac{8}{\sqrt{3}-2+2}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3})。19.（12分）如圖，在(\parallelogramABCD)中，點(diǎn)(E)、(F)分別在邊(AD)、(BC)上，且(AE=CF)，連接(BE)、(DF)。求證：(BE=DF)。證明：∵四邊形(ABCD)是平行四邊形，∴(AD\parallelBC)，(AD=BC)?！?AE=CF)，∴(DE=BF)，且(DE\parallelBF)，∴四邊形(BEDF)是平行四邊形，∴(BE=DF)。20.（12分）某商店銷(xiāo)售(A)、(B)兩種商品，已知銷(xiāo)售一件(A)商品可獲利10元，銷(xiāo)售一件(B)商品可獲利15元。該商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種商品共100件，且投入資金不超過(guò)8000元，其中(A)商品每件進(jìn)價(jià)80元，(B)商品每件進(jìn)價(jià)100元。（1）求最多購(gòu)進(jìn)(B)商品多少件？（2）若銷(xiāo)售完所有商品后獲利不少于1350元，求該商店的進(jìn)貨方案。解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)(B)商品(x)件，則(A)商品((100-x))件，由題意得(80(100-x)+100x\leq8000)，解得(x\leq0)（注：數(shù)據(jù)矛盾，若(A)商品進(jìn)價(jià)為40元，則(40(100-x)+100x\leq8000)，解得(x\leq66\frac{2}{3})，最多66件）。（2）設(shè)獲利為(y)元，則(y=10(100-x)+15x=5x+1000)，由(5x+1000\geq1350)得(x\geq70)，結(jié)合（1）中(x\leq66)，無(wú)解（需修正題目數(shù)據(jù)）。21.（12分）如圖，(AB)是(\odotO)的直徑，(C)是(\odotO)上一點(diǎn)，(AD)與過(guò)點(diǎn)(C)的切線(xiàn)垂直，垂足為(D)，連接(AC)。（1）求證：(AC)平分(\angleDAB)；（2）若(AD=4)，(DC=3)，求(\odotO)的半徑。（1）證明：連接(OC)，∵(CD)是切線(xiàn)，∴(OC\perpCD)，又(AD\perpCD)，∴(AD\parallelOC)，∴(\angleDAC=\angleOCA)，∵(OA=OC)，∴(\angleOAC=\angleOCA)，∴(\angleDAC=\angleOAC)，即(AC)平分(\angleDAB)。（2）解：在(Rt\triangleADC)中，(AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=5)，設(shè)(\odotO)半徑為(r)，連接(BC)，則(\angleACB=90^\circ=\angleADC)，又(\angleDAC=\angleCAB)，∴(\triangleADC\sim\triangleACB)，∴(\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB})，即(\frac{4}{5}=\frac{5}{2r})，解得(r=\frac{25}{8})。22.（14分）如圖，拋物線(xiàn)(y=ax^2+bx+c)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))，頂點(diǎn)為(D)。（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)(P)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)(BC)下方，求(\trianglePBC)面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)(P)的坐標(biāo)；（3）連接(CD)，點(diǎn)(Q)是線(xiàn)段(CD)上一動(dòng)點(diǎn)，連接(BQ)，將(\triangleBQC)沿(BQ)翻折，點(diǎn)(C)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(C')，當(dāng)(C')落在(x)軸上時(shí)，求點(diǎn)(Q)的坐標(biāo)。（1）解：設(shè)拋物線(xiàn)為(y=a(x+1)(x-3))，將(C(0,3))代入得(3=a(1)(-3))，(a=-1)，∴解析式為(y=-x^2+2x+3)。（2）解：直線(xiàn)(BC)：(y=-x+3)，設(shè)(P(t,-t^2+2t+3))，則(P)到(BC)的距離(h=\frac{|-t+3-(-t^2+2t+3)|}{\sqrt{2}}=\frac{|t^2-3t|}{\sqrt{2}})，(BC=3\sqrt{2})，(S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{|t^2-3t|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}|t^2-3t|)，∵(P)在(BC)下方，(t^2-3t<0)，∴(S=-\frac{3}{2}(t^2-3t)=-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8})，當(dāng)(t=\frac{3}{2})時(shí)，(S_{max}=\frac{27}{8})，此時(shí)(P(\frac{3}{2},\frac{15}{4}))。（3）解：(D(1,4))，直線(xiàn)(CD)：(y=x+3)，設(shè)(Q(m,m+3)(0\leqm\leq1))，(C'(n,0))，由翻折性質(zhì)得(BQ)垂直平分(CC')，(BC=BC'=3\sqr