2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際老年組織競賽試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若(a)、(b)為正整數(shù)，且(a+b=10)，(ab=21)，則(a^2+b^2)的值為（）A.58B.49C.36D.25下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形方程(2x^2-5x+2=0)的兩根之和與兩根之積分別為（）A.(\frac{5}{2})，1B.(-\frac{5}{2})，1C.(\frac{5}{2})，-1D.(-\frac{5}{2})，-1在(\triangleABC)中，(\angleC=90^\circ)，(AC=3)，(BC=4)，則斜邊上的高為（）A.2.4B.2.5C.3D.4若點(diǎn)(P(m,2))在反比例函數(shù)(y=\frac{6}{x})的圖像上，則(m)的值為（）A.3B.-3C.(\frac{1}{3})D.(-\frac{1}{3})計(jì)算(\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{2})的結(jié)果是（）A.(\sqrt{2})B.(2\sqrt{2})C.(3\sqrt{2})D.(4\sqrt{2})一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為(1080^\circ)，則該多邊形的邊數(shù)為（）A.6B.7C.8D.9若關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}x>a\x<3\end{cases})無解，則(a)的取值范圍是（）A.(a\geq3)B.(a>3)C.(a\leq3)D.(a<3)在一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，恰好摸到1紅1白的概率是（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})二次函數(shù)(y=x^2-4x+5)的最小值為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（共6題，每題5分，共30分）分解因式：(x^3-4x=)__________。若(\tan\alpha=\frac{3}{4})（(\alpha)為銳角），則(\sin\alpha=)__________。已知(\triangleABC\sim\triangleDEF)，相似比為(2:3)，若(\triangleABC)的面積為8，則(\triangleDEF)的面積為__________。函數(shù)(y=\sqrt{x-2})中，自變量(x)的取值范圍是__________。若圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為__________（結(jié)果保留(\pi)）。觀察下列等式：(1=1^2)，(1+3=2^2)，(1+3+5=3^2)，(1+3+5+7=4^2)，……則(1+3+5+\dots+(2n-1)=)__________（用含(n)的代數(shù)式表示）。三、解答題（共7題，共70分）（8分）計(jì)算：((-2)^2+|\sqrt{3}-2|-2\cos30^\circ)。（10分）解方程：(\frac{x}{x-1}+\frac{2}{1-x}=3)。（10分）如圖，在平行四邊形(ABCD)中，(E)、(F)分別為(AB)、(CD)的中點(diǎn)，求證：(DE=BF)。（10分）某商店銷售一種商品，每件成本為40元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)為50元時(shí)，每天可售出50件；銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷售量減少2件。設(shè)銷售單價(jià)為(x)元（(x\geq50)），每天的利潤為(y)元。（1）求(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？（10分）如圖，(AB)是(\odotO)的直徑，(C)為(\odotO)上一點(diǎn)，(CD\perpAB)于點(diǎn)(D)，連接(AC)。若(AD=2)，(CD=4)，求(\odotO)的半徑。（10分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0)。（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩根分別為(x_1)、(x_2)，且(x_1^2+x_2^2=10)，求(k)的值。（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c)經(jīng)過點(diǎn)(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)(P)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，連接(PA)、(PC)，求(\trianglePAC)面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)(P)的坐標(biāo)。參考答案與解析一、選擇題A解析：(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=10^2-2\times21=100-42=58)。C解析：矩形既是軸對(duì)稱圖形（對(duì)稱軸為對(duì)邊中點(diǎn)連線），又是中心對(duì)稱圖形（對(duì)稱中心為對(duì)角線交點(diǎn)）。A解析：由韋達(dá)定理得，兩根之和為(\frac{5}{2})，兩根之積為(\frac{2}{2}=1)。A解析：斜邊(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5)，斜邊上的高(h=\frac{AC\timesBC}{AB}=\frac{3\times4}{5}=2.4)。A解析：將(P(m,2))代入(y=\frac{6}{x})，得(2=\frac{6}{m})，解得(m=3)。B解析：(\sqrt{18}=3\sqrt{2})，(\sqrt{8}=2\sqrt{2})，原式(=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2})。C解析：由內(nèi)角和公式((n-2)\times180^\circ=1080^\circ)，解得(n=8)。A解析：不等式組無解，則(a\geq3)（若(a=3)，則(x>3)與(x<3)無解）。C解析：總情況數(shù)為(\binom{5}{2}=10)，1紅1白的情況數(shù)為(\binom{3}{1}\times\binom{2}{1}=6)，概率為(\frac{6}{10}=\frac{3}{5})。A解析：(y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1)，當(dāng)(x=2)時(shí)，最小值為1。二、填空題11.(x(x+2)(x-2))解析：(x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2))。(\frac{3}{5})解析：設(shè)直角三角形對(duì)邊為3，鄰邊為4，則斜邊為5，(\sin\alpha=\frac{3}{5})。18解析：相似三角形面積比為相似比的平方，即((\frac{2}{3})^2=\frac{8}{S})，解得(S=18)。(x\geq2)解析：二次根式被開方數(shù)非負(fù)，即(x-2\geq0)，得(x\geq2)。(15\pi)解析：側(cè)面積(S=\pirl=\pi\times3\times5=15\pi)。(n^2)解析：等式左邊為連續(xù)奇數(shù)之和，右邊為項(xiàng)數(shù)的平方，共有(n)項(xiàng)，故結(jié)果為(n^2)。三、解答題17.解：原式(=4+(2-\sqrt{3})-2\times\frac{\sqrt{3}}{2})(=4+2-\sqrt{3}-\sqrt{3})(=6-2\sqrt{3})。解：方程兩邊同乘((x-1))，得(x-2=3(x-1))解得(x=\frac{1}{2})。檢驗(yàn)：當(dāng)(x=\frac{1}{2})時(shí)，(x-1\neq0)，故原方程的解為(x=\frac{1}{2})。證明：∵四邊形(ABCD)是平行四邊形，∴(AB=CD)，(AB\parallelCD)。∵(E)、(F)分別為(AB)、(CD)的中點(diǎn)，∴(BE=\frac{1}{2}AB)，(DF=\frac{1}{2}CD)，即(BE=DF)。又∵(BE\parallelDF)，∴四邊形(BEDF)是平行四邊形，∴(DE=BF)。解：（1）由題意得，銷售量為(50-2(x-50)=150-2x)，利潤(y=(x-40)(150-2x)=-2x^2+230x-6000)。（2）(y=-2(x-57.5)^2+1125)，∵(a=-2<0)，∴當(dāng)(x=57.5)時(shí)，(y)最大，最大利潤為1125元。解：設(shè)(\odotO)的半徑為(r)，則(OA=r)，(OD=r-2)。∵(CD\perpAB)，∴(\triangleACD)是直角三角形，由勾股定理得(CD^2+OD^2=OC^2)，即(4^2+(r-2)^2=r^2)，解得(r=5)。（1）證明：(\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+k)=1>0)，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）解：由韋達(dá)定理得(x_1+x_2=2k+1)，(x_1x_2=k^2+k)，(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(2k+1)^2-2(k^2+k)=2k^2+2k+1=10)，解得(k=\frac{-1\pm\sqrt{19}}{2})。解：（1）設(shè)拋物線解析式為(y=a(x+1)(x-3))，將(C(0,3))代入得(3=a(0+1)(0-3))，解得(a=-1)，∴解析式為(y=-x^2+2x+3)。（2）設(shè)(P(t,-t^2+2t+3))（(t>0)），直線(AC)的解析式為(y=3x+3)，(\trianglePAC)的面積(S=\frac{1}{2}\timesOA\times(y_P-y_{AC}))(=\frac{1}{2}\times1\times[(-t^2+2t+3)-(3t+3)]=-\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t)，當(dāng)(t=-\frac{2a}=-\frac{-0.5}{2\times(-0.5)}=-0.5)（舍去，因(t>0)），修正：過點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸交(AC)于(D)，則(PD=(-t^2+2t+3)-(3t+3)=-t^2-t)，(S=\frac{1}{2}\timesPD\times(x_C-x_A)=\frac{1}{2}(-t^2-t)\times1=-\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2}t)，當(dāng)(t=-\frac{1}{2})時(shí)，(S)最大，但(t>0)，故在第一象限內(nèi)，當(dāng)(t=0)時(shí)，(S=0)；當(dāng)(t=3)時(shí)，(S=0)，因此需重新配方：(S=-\frac{1}{2}(t+\fra