2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際信息競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|2x2-ax+2=0}，若A∪B=A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.{-4,4}已知sinα+cosα=1/5，且α∈(0,π)，則tanα的值為（）A.-3/4B.-4/3C.3/4D.4/3在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,0)B.(2,0)C.(0,1)D.(0,2)某國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有25道選擇題，評(píng)分規(guī)則為：答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)一題扣1分，不答得0分。若某考生最終得分為85分，且答錯(cuò)的題目數(shù)是不答題目數(shù)的2倍，則該考生答對(duì)的題目數(shù)為（）A.20B.21C.22D.23已知正整數(shù)n滿足n2+2n-35能被11整除，則n的最小值為（）A.5B.6C.7D.8二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）若關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩根分別是方程x2+px+q=0兩根的倒數(shù)，則m2n2/(p2q2)的值為_(kāi)_______。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，以CD為直徑作圓O，與AC交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且在x=1處取得極值-2，在x=2處的切線斜率為10，則f(x)的解析式為_(kāi)_______。某國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，來(lái)自A、B、C三個(gè)國(guó)家的參賽選手共100人，其中A國(guó)選手人數(shù)是B國(guó)的2倍，C國(guó)選手人數(shù)比A國(guó)少10人。現(xiàn)采用分層抽樣的方法從所有選手中抽取20人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從B國(guó)選手中抽取________人。定義運(yùn)算"?"：a?b=a2+b2-ab，若x?(x-1)=7，則x的值為_(kāi)_______。三、解答題（共4小題，每小題20分，滿分80分）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像過(guò)點(diǎn)(1,2)，且與x軸交于A(x?,0)、B(x?,0)兩點(diǎn)，其中x?+x?=3，x?x?=1。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）若點(diǎn)P(m,n)在函數(shù)f(x)的圖像上，且m∈[0,3]，求n的取值范圍。如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。（1）求證：DE+DF為定值；（2）若四邊形AEDF的面積為8，求BD的長(zhǎng)度。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1(n∈N*)。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)b?=a?·2?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和S?。某國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有來(lái)自5個(gè)國(guó)家的100名選手參加，每個(gè)國(guó)家的選手人數(shù)各不相同且不少于10人。比賽共設(shè)金、銀、銅三種獎(jiǎng)牌，其中金牌占10%，銀牌占20%，銅牌占30%。已知：①獲得金牌的選手中，來(lái)自A國(guó)的人數(shù)最多，且占A國(guó)選手總數(shù)的20%；②B國(guó)選手獲得的銀牌數(shù)是其銅牌數(shù)的2倍；③C國(guó)選手獲得的獎(jiǎng)牌總數(shù)比D國(guó)多5枚；④E國(guó)選手獲得的金牌數(shù)比銅牌數(shù)少1枚。（1）求每個(gè)國(guó)家的選手人數(shù)；（2）若A國(guó)選手獲得的獎(jiǎng)牌總數(shù)為15枚，其中金牌5枚，求A國(guó)選手獲得的銀牌和銅牌數(shù)。四、創(chuàng)新應(yīng)用題（共2小題，每小題25分，滿分50分）國(guó)際數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，某團(tuán)隊(duì)需要設(shè)計(jì)一個(gè)運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)模型?，F(xiàn)有A、B、C三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，分別存儲(chǔ)貨物100噸、200噸、150噸，需要運(yùn)往甲、乙、丙三個(gè)目的地，需求量分別為150噸、180噸、120噸。已知每噸貨物的運(yùn)輸成本（單位：元）如下表所示：倉(cāng)庫(kù)/目的地甲乙丙A101520B121825C152018（1）建立運(yùn)輸成本最低的線性規(guī)劃模型（不需求解）；（2）若運(yùn)輸工具限制：從A倉(cāng)庫(kù)到丙目的地的運(yùn)輸量不超過(guò)50噸，從B倉(cāng)庫(kù)到甲目的地的運(yùn)輸量不少于80噸，重新列出約束條件。某國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)設(shè)計(jì)了一種密碼系統(tǒng)，其加密規(guī)則如下：①將明文每個(gè)字母對(duì)應(yīng)一個(gè)整數(shù)（A=1，B=2，…，Z=26）；②對(duì)每個(gè)整數(shù)x進(jìn)行變換：y=(3x+5)mod26；③將得到的y值轉(zhuǎn)換回字母作為密文。（1）若明文為"MATHEMATICS"，求對(duì)應(yīng)的密文；（2）若收到密文為"JQRGLA"，求對(duì)應(yīng)的明文；（3）證明：該加密變換是可逆的，并求出其逆變換公式。五、數(shù)學(xué)文化與國(guó)際視野題（共2小題，每小題15分，滿分30分）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論螺線》中研究了如下曲線：平面上一動(dòng)點(diǎn)沿射線勻速移動(dòng)，同時(shí)射線繞端點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為阿基米德螺線，其極坐標(biāo)方程為r=aθ(a>0)。（1）將該螺線方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程；（2）計(jì)算該螺線在θ∈[0,2π]范圍內(nèi)與極軸所圍成的面積。2025年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）將在日本舉辦，其競(jìng)賽規(guī)則為：每天3道題，共2天，每題7分，滿分42分。歷史數(shù)據(jù)顯示，IMO金牌分?jǐn)?shù)線約為30分，且第1、2、3題的平均得分率分別為60%、40%、20%。（1）若某選手每天的第1題都答對(duì)，第2題都答對(duì)，第3題都答錯(cuò)，求其總分；（2）若某選手希望獲得金牌，且假設(shè)各題得分相互獨(dú)立，求其至少需要答對(duì)第3題的概率（精確到0.01）。六、開(kāi)放探究題（共1小題，滿分20分）國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)（ICMI）提出"問(wèn)題解決"是數(shù)學(xué)教育的核心。請(qǐng)結(jié)合你參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的經(jīng)歷，回答以下問(wèn)題：（1）列舉三種你在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方法，并各舉一例說(shuō)明；（2）針對(duì)本次競(jìng)賽中的某道題目，分析其考查的核心素養(yǎng)，并說(shuō)明該素養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性；（3）設(shè)計(jì)一個(gè)與日常生活相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，要求包含至少兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并給出解題思路。（全卷共計(jì)300分，考試時(shí)間180分鐘）本試卷嚴(yán)格遵循國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題標(biāo)準(zhǔn)，注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力和