2025年下學期初中數(shù)學基本國際版權商組織競賽試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項正確。1.代數(shù)運算與新定義設(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，則代數(shù)式(x^3+2x^2-2024x+1)的值為（）A.0B.1C.-1D.2解析：由(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})可得(x+\sqrt{2024}=45)，兩邊平方后整理得(x^2+1=90x-2024)。代入原式化簡即可得結果。2.幾何圖形面積關系如圖，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，BE、CD相交于點F，設四邊形EADF面積為S?，△BDF面積為S?，△BCF面積為S?，△CEF面積為S?，則S?S?與S?S?的大小關系為（）A.S?S?＜S?S?B.S?S?＝S?S?C.S?S?＞S?S?D.不能確定解析：通過作輔助線構造相似三角形，利用面積比與線段比的關系推導。設(\frac{AF}{FC}=m)，(\frac{BF}{FE}=n)，用S?、S?表示S?和S?，即可證明乘積關系。3.數(shù)論與概率綜合一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子六個面數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚骰子數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時擲這兩枚骰子，朝上數(shù)字之和為5的概率是（）A.(\frac{1}{9})B.(\frac{1}{12})C.(\frac{5}{36})D.(\frac{7}{36})解析：列出所有可能的數(shù)字組合（共6×6=36種），統(tǒng)計和為5的情況：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，注意重復數(shù)字的概率計算。4.函數(shù)與圖像應用雙曲線(y=\frac{k}{x})（(k>0)）與矩形OABC的邊CB、BA分別交于點E、F，且AF＝BF，連接EF，則△OEF的面積為（）A.(\frac{k}{2})B.(\frac{3k}{4})C.(k)D.(\frac{5k}{6})解析：設矩形邊長為a、b，根據(jù)AF=BF得F為AB中點，用坐標表示E、F兩點，代入雙曲線方程求出坐標關系，再用割補法計算三角形面積。5.組合數(shù)學與不等式設(S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2025}})，則4S的整數(shù)部分等于（）A.4B.5C.6D.7解析：利用不等式放縮法：(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}))，對S進行上下界估計后乘以4。二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）6.勾股定理與整數(shù)解兩條直角邊長為整數(shù)（其中較短邊＜2025）、斜邊為整數(shù)的直角三角形的個數(shù)為________。提示：設直角邊為a、b（a＜b），斜邊c，則(a^2+b^2=c^2)。利用勾股數(shù)公式(a=m^2-n^2)，(b=2mn)，(c=m^2+n^2)（m＞n＞0，互質(zhì)且一奇一偶），統(tǒng)計符合條件的(m,n)組數(shù)。7.圓與正多邊形分割⊙O的三個不同內(nèi)接正三角形將⊙O分成的區(qū)域個數(shù)為________。提示：先分析一個正三角形分圓為4個區(qū)域，第二個正三角形旋轉(zhuǎn)30°后增加的交點數(shù)，第三個正三角形再旋轉(zhuǎn)特定角度，通過交點數(shù)計算區(qū)域增加量。8.二次函數(shù)與整數(shù)根已知關于x的一元二次方程(x^2+bx+c=0)的兩個整數(shù)根恰好比方程(x^2+(b-2)x+c-4=0)的兩個根都大1，則b+c的值為________。提示：設第一個方程的根為m、n，則第二個方程的根為m-1、n-1，利用韋達定理建立方程組，求解整數(shù)解后計算b+c。9.數(shù)論與四位數(shù)設四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(\overline{ab}\times\overline{cd}=\overline{abcd}-2025)，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)為________。提示：設(x=\overline{ab})（10≤x≤99），(y=\overline{cd})（00≤y≤99），方程化為(xy=100x+y-2025)，整理得((x-1)(y-100)=-1925)，分解因數(shù)求正整數(shù)解。10.幾何最值問題在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，點P在△ABC內(nèi)，且PA=√3，PB=5，PC=2，則△ABC的面積為________。提示：利用旋轉(zhuǎn)法將△APC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'B，構造等邊三角形APP'和直角三角形BP'P，通過勾股定理求AC長度，進而計算面積。三、解答題（共4題，每題20分，滿分80分）11.代數(shù)綜合與方程證明已知實數(shù)a、b、c滿足(a+b+c=2)，(a^2+b^2+c^2=4)，且(c\leqb\leqa)，求證：(0\leqc\leq\frac{2}{3})。證明步驟：由已知條件得(ab+bc+ca=0)，將a、b視為方程(x^2-(2-c)x-c(2-c)=0)的兩根；利用判別式(\Delta\geq0)得((2-c)^2+4c(2-c)\geq0)，化簡求解不等式；結合(c\leqb\leqa)的大小關系驗證邊界值。12.幾何證明與垂心性質(zhì)如圖，點H為△ABC的垂心，以AB為直徑的⊙O?和△BCH的外接圓⊙O?相交于點D，延長AD交CH于點P，求證：點P為CH的中點。證明步驟：連接BD、BH，由AB為直徑得∠ADB=90°，結合垂心性質(zhì)得∠BHC=180°-∠A；利用四點共圓性質(zhì)證明∠BDH=∠BCH，進而推出△BDP≌△HDP；通過全等三角形對應邊相等證得PD垂直平分CH。13.數(shù)論與互素問題若從1，2，3，…，n中任取5個兩兩互素的不同整數(shù)，其中總有一個整數(shù)是素數(shù)，求n的最大值。解答思路：考慮反例：構造4個合數(shù)兩兩互素，如22=4，32=9，52=25，72=49，此時需第5個數(shù)為素數(shù)；若n=168，存在5個合數(shù)（4，9，25，49，121）兩兩互素，不符合題意；驗證n=167時，任意5個兩兩互素的數(shù)中必含素數(shù)，通過分類討論證明。14.動態(tài)幾何與函數(shù)最值如圖，在平面直角坐標系中，拋物線(y=-x^2+2mx-m^2+2m+1)與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C，點D為拋物線頂點。當m變化時，求△BCD面積的最大值及對應的m值。解答步驟：將拋物線方程化為頂點式(y=-(x-m)^2+2m+1)，得頂點D(m,2m+1)；令y=0求A、B坐標，令x=0得C(0,-m2+2m+1)；利用坐標表示BC長度和點D到直線BC的距離，建立面積關于m的函數(shù)，配方求最值。四、附加題（共2題，每題15分，不計入總分，供拓展練習）