2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本南南合作試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．-3B．0C．1D．2下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3=a?B．a(chǎn)2·a3=a?C．(a2)3=a?D．a(chǎn)?÷a2=a3如圖，直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．130°D．150°下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．等邊三角形B．平行四邊形C．矩形D．正五邊形若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1某班50名學(xué)生的身高情況如下表所示：身高（cm）150155160165170175人數(shù)351215105則該班學(xué)生身高的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．165，165B．165，160C．160，165D．160，1607.已知點(diǎn)A（-1，y?），B（2，y?）在反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）的圖象上，則y?，y?的大小關(guān)系是（）A．y?＞y?B．y?=y?C．y?＜y?D．無(wú)法確定8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則sinA的值是（）A．3/4B．3/5C．4/5D．4/39.若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞010.如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，若∠CAB=30°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）分解因式：x3-4x=______。若分式x-1/x+2的值為0，則x的值是______。已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______。如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，則EC的長(zhǎng)是______。一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，這些球除顏色外無(wú)其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球的概率是______。如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，且AF=2FD，連接EF，則EF的長(zhǎng)是______。三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分8分）計(jì)算：(-1)2?2?+√16-|2-√3|+2sin60°。18.（本小題滿分8分）先化簡(jiǎn)，再求值：(x+1-3/x-1)÷x2-4x+4/x-1，其中x=2+√2。19.（本小題滿分8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且AD=AE，連接BE，CD交于點(diǎn)O。求證：△ABE≌△ACD。20.（本小題滿分8分）某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖。請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖信息解答下列問題：（1）本次調(diào)查共抽取了多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1200名學(xué)生，估計(jì)該校課外閱讀時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生有多少名？21.（本小題滿分8分）某商店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)A商品3件和B商品2件，共需120元；購(gòu)進(jìn)A商品5件和B商品4件，共需220元。（1）求A，B兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商店準(zhǔn)備用不超過1000元購(gòu)進(jìn)這兩種商品，且A商品數(shù)量不少于B商品數(shù)量的2倍，問最多能購(gòu)進(jìn)多少件A商品？22.（本小題滿分10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求DE的長(zhǎng)。23.（本小題滿分10分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E。當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求線段PE的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△BCQ是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。24.（本小題滿分12分）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF。（1）求證：△DEF是等腰直角三角形；（2）在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEDF的面積是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出其面積；（3）當(dāng)△CEF的面積最大時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)。參考答案及解析一、選擇題A【解析】根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法，可得-3＜0＜1＜2，所以最小的數(shù)是-3。C【解析】A選項(xiàng)，a2與a3不是同類項(xiàng)，不能合并，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，a2·a3=a2?3=a?，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，(a2)3=a2?3=a?，故C正確；D選項(xiàng)，a?÷a2=a??2=a?，故D錯(cuò)誤。C【解析】∵直線a∥b，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=180°-50°=130°。C【解析】A選項(xiàng)，等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，矩形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故C正確；D選項(xiàng)，正五邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤。A【解析】∵一元二次方程x2-2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴△=(-2)2-4×1×k=4-4k＞0，解得k＜1。A【解析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，165出現(xiàn)了15次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是165；把這組數(shù)據(jù)從小到大排列，最中間的兩個(gè)數(shù)都是165，則中位數(shù)是165。A【解析】∵反比例函數(shù)y=k/x（k＞0）的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，點(diǎn)A（-1，y?）在第三象限，y?＜0，點(diǎn)B（2，y?）在第一象限，y?＞0，∴y?＜y?。C【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√(AC2+BC2)=√(32+42)=5，∴sinA=BC/AB=4/5。B【解析】∵拋物線開口向上，∴a＞0；∵拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴-b/2a＞0，又∵a＞0，∴b＜0；∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c＞0。C【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，∵∠ADC=∠ABC，∴∠ADC=60°。二、填空題x(x+2)(x-2)【解析】x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)。1【解析】由題意得，x-1=0且x+2≠0，解得x=1。8【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，(n-2)·180°=3×360°，解得n=8。6【解析】∵DE∥BC，∴AD/DB=AE/EC，即2/3=4/EC，解得EC=6。3/5【解析】袋子中共有3+2=5個(gè)球，其中紅球有3個(gè)，所以摸到紅球的概率是3/5。5【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，AD∥BC，∵AF=2FD，∴AF=4，F(xiàn)D=2，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BE=EC=3，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，則FG=AB=4，EG=BE-FD=3-2=1，在Rt△FGE中，EF=√(FG2+EG2)=√(42+12)=√17。三、解答題解：原式=-1+4-(2-√3)+2×√3/2=-1+4-2+√3+√3=1+2√3解：原式=[(x+1)(x-1)-3]/(x-1)÷(x-2)2/(x-1)=(x2-1-3)/(x-1)·(x-1)/(x-2)2=(x2-4)/(x-2)2=(x+2)(x-2)/(x-2)2=(x+2)/(x-2)當(dāng)x=2+√2時(shí)，原式=(2+√2+2)/(2+√2-2)=(4+√2)/√2=2√2+1證明：∵AB=AC，AD=AE，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS）。解：（1）本次調(diào)查共抽取的學(xué)生人數(shù)為：10÷20%=50（名）。（2）課外閱讀時(shí)間為6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為：50-10-15-5=20（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖略。（3）該校課外閱讀時(shí)間不少于6小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為：1200×(20+5)/50=600（名）。解：（1）設(shè)A商品每件的進(jìn)價(jià)是x元，B商品每件的進(jìn)價(jià)是y元，根據(jù)題意得，{3x+2y=120,5x+4y=220}解得{x=20,y=30}答：A商品每件的進(jìn)價(jià)是20元，B商品每件的進(jìn)價(jià)是30元。（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品m件，B商品n件，根據(jù)題意得，{20m+30n≤1000,m≥2n}由m≥2n得n≤m/2，代入20m+30n≤1000得20m+30×m/2≤1000，解得m≤28.57，∵m為整數(shù)，∴m的最大值為28。答：最多能購(gòu)進(jìn)28件A商品。（1）證明：連接OD，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠C=90°，∴∠OAD+∠EBD=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切線。（2）解：在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=10，∵OA=2，∴OC=4，OD=2，設(shè)DE=BE=x，則CE=8-x，∵∠ODE=∠C=90°，∴OD2+DE2=OE2=OC2+CE2，即22+x2=42+(8-x)2，解得x=4.75，即DE的長(zhǎng)為4.75。解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)，將點(diǎn)C（0，3）代入得，3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1，∴拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3。（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B（3，0），C（0，3）代入得，{3k+b=0,b=3}，解得{k=-1,b=3}，∴直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3）（0＜m＜3），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，-m+3），∴PE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-1.5)2+2.25，∴當(dāng)m=1.5時(shí)，PE的最大值為2.25。（3）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，n），∵B（3，0），C（0，3），∴BC=3√2，BQ=√(22+n2)，CQ=√(12+(n-3)2)，當(dāng)BC=BQ時(shí)，3√2=√(4+n2)，解得n=±√14，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，√14）或（1，-√14）；當(dāng)BC=CQ時(shí)，3√2=√(1+(n-3)2)，解得n=6或n=0，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，6）或（1，0）；當(dāng)BQ=CQ時(shí)，√(4+n2)=√(1+(n-3)2)，解得n=1，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）。綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，√14），（1，-√14），（1，6），（1，0），（1，1）。（1）證明：連接CD，∵∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=90°，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，∴△DEF是等腰直角三角形。（2）