專題05有理數(shù)的乘法與除法重難點題型專訓(xùn)（5個知識點+10大題型+5拓展訓(xùn)練+自我檢測）題型一兩個有理數(shù)的乘法運算題型二多個有理數(shù)的乘法運算題型三有理數(shù)的乘法的實際應(yīng)用題型四倒數(shù)題型五有理數(shù)的乘法運算律題型六有理數(shù)的除法運算題型七有理數(shù)的除法應(yīng)用題型八有理數(shù)乘除混合計算問題題型九有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用題型十有理數(shù)乘除中的簡便運算拓展訓(xùn)練一有理數(shù)乘除法與數(shù)軸結(jié)合拓展訓(xùn)練二有理數(shù)乘除法與絕對值結(jié)合拓展訓(xùn)練三有理數(shù)乘除法綜合應(yīng)用拓展訓(xùn)練四裂項相消法解決規(guī)律計算問題拓展訓(xùn)練五有理數(shù)乘除法的新定義問題知識點一、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；0與任何數(shù)相乘都得0；任何數(shù)與1相乘都等于它本身，任何數(shù)與－1相乘都等于它的相反數(shù)；拓展：幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0．反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0.一般地，在乘法運算中，若有帶分數(shù)和小數(shù)，應(yīng)先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，小數(shù)化為分數(shù)之后再計算，方便約分.【即時訓(xùn)練】1.（23-24七年級上·內(nèi)蒙古通遼·期中）的倒數(shù)是（）A． B．2 C． D．2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．知識點二、有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即；乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等．即；乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即.拓展：三個或三個以上有理數(shù)相乘，任意交換因數(shù)的位置，或者先把其中幾個因數(shù)相乘，積相等；乘法分配律對一個有理數(shù)同多個有理數(shù)的和相乘仍適用【即時訓(xùn)練】1．（24-25六年級上·河南商丘·期中）計算的最簡便算法是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年級下·寧夏銀川·期中）．知識點三、倒數(shù)1.倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù).PS：單獨的一個數(shù)不能稱為倒數(shù)；0與任何數(shù)相乘都等于0，不可能等于1，所以0沒有倒數(shù).2求一個數(shù)的倒數(shù)的方法：（1）一個不為0的整數(shù)的倒數(shù)，是用這個數(shù)作分母，1作分子的分數(shù)；（2）求一個真分數(shù)的倒數(shù)，就是將這個分數(shù)的分子與分母交換一下位置；（3）求帶分數(shù)的倒數(shù)，要先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再交換分子與分母的位置；（4）求小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化為分數(shù)，再求倒數(shù).3.化為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號是相同的，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0沒有倒數(shù).【即時訓(xùn)練】1．（2025·湖南永州·二模）若5的倒數(shù)是x，則5x的值是（

）A． B．1 C．0 D．2．（23-24七年級上·福建三明·期末），那么□中填入正確的數(shù)是．知識點四、有理數(shù)除法法則除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)；兩個不為0的數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；0除以任何一個不為0的數(shù)都等于0，0不能作為除數(shù)，無意義.一個非零的數(shù)除以它的本身等于1.兩數(shù)相除要先確定商的符號，再確定絕對值，其中商的符號的確定方法與有理數(shù)乘法中積的符號確定方法相同.補充：兩個數(shù)相除，若商是1，則這兩個數(shù)相等；若商是-1，則這兩個數(shù)互為相反數(shù).有理數(shù)的除法中沒有交換律、結(jié)合律、分配律.【即時訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)．2.（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．知識點五、有理數(shù)乘除混合運算有理數(shù)乘除混合運算順序：沒有括號的情況下，按照從左到右的順序計算，有括號的要先算括號里面的；要先將除法化為乘法，化成連乘的形式，同時，有帶分數(shù)的先化成假分數(shù)，有小數(shù)的要先化成分數(shù)，然后按照有理數(shù)乘法運算法則進行計算.【即時訓(xùn)練】1．（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·期末）某工廠生產(chǎn)一批服裝，原計劃每天生產(chǎn)1000套，實際每天生產(chǎn)800套，實際每天生產(chǎn)的是原計劃每天生產(chǎn)的（

）A． B． C． D．2．（25-26七年級上·重慶·開學(xué)考試）生產(chǎn)雙一次性筷子需要棵生長了30年的大樹，照這樣計算，生產(chǎn)100雙一次性筷子需要棵生長了30年的大樹．【經(jīng)典例題一有理數(shù)的兩個乘法運算】【例1】（25-26六年級上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）根據(jù)，，下面算式的得數(shù)在它們之間的算式是（

） B． C． D．【例2】（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．1．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）目前，全國已有多個省份采用“3+1+2”新高考模式，“3”是統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)和外語三科必選，“1”是首選科目物理和歷史二選一，“2”是再選科目政治、地理、化學(xué)和生物四選二，共有（

）種選科組合A．5 B．6 C．12 D．152．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）已知有理數(shù)a、b、c、d滿足，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（24-25七年級上·黑龍江綏化·期中）一個漏水的水龍頭每小時滴水桶，小時滴水()桶，如果不修理，天會滴水()桶．4．（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)．【經(jīng)典例題二多個有理數(shù)的乘法運算】【例1】（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）已知六個有理數(shù)相乘，積為0，下列說法一定正確的是（

）A．這六個有理數(shù)一定都為0B．這六個有理數(shù)中只有一個為0C．這六個有理數(shù)中至少有一個為0D．這六個有理數(shù)中有兩個數(shù)互為倒數(shù)【例2】（2025六年級上·全國·專題練習(xí)）計算：；1．（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）若“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號，并且，，，，……，則的值是為（

）A． B．99！ C．9900 D．2！2．（23-24七年級上·浙江溫州·階段練習(xí)）從，，，2，7，3這六個數(shù)中取其中3個不同的數(shù)作為因數(shù)，則積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（24-25七年級下·全國·假期作業(yè)）計算：；4．（2025六年級上·全國·專題練習(xí)）計算：．【經(jīng)典例題三有理數(shù)的乘法的實際應(yīng)用】【例1】（25-26七年級上·江蘇連云港·開學(xué)考試）我國一元硬幣厚度是1.85毫米，重6.1克．照這樣計算，1億枚硬幣共重（

）噸．A．6.1 B．61 C．610 D．6100【例2】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）現(xiàn)在地面的氣溫是，某飛機在該地上空處．若高度每增加，氣溫下降，則此時飛機所在高度的氣溫是多少？1．（24-25七年級下·山東淄博·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)社團共分為個小組，每組有名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時不同組的兩位同學(xué)之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團的同學(xué)們一共將撥打電話多少個？（

）A． B． C． D．2．（24-25六年級下·江蘇南京·期末）實驗小學(xué)要給報告廳的小舞臺鋪上地墊，舞臺的面積是40.8平方米，地墊的單價為19.9元/平方米，一共要準備多少元？下面符合實際需要的估算方法是（

）A． B．C． D．3．（24-25六年級上·上海嘉定·期末）某汽車制造廠計劃今年第一季度生產(chǎn)15000輛汽車，但實際生產(chǎn)的轎車數(shù)量比計劃增加了，那么該汽車制造廠今年第一季度實際生產(chǎn)了輛汽車．4．（24-25七年級上·四川廣安·期中）某工廠要生產(chǎn)一批豆?jié){機，平均每天產(chǎn)量和所需時間如下表：平均每天產(chǎn)量/臺200300500所需時間/天755030(1)平均每天產(chǎn)量與所需時間成反比例關(guān)系嗎？為什么？(2)如果要20天生產(chǎn)完這批豆?jié){機，那么平均每天生產(chǎn)多少臺？【經(jīng)典例題四倒數(shù)】【例1】（25-26七年級上·吉林長春·開學(xué)考試）已知（a、b均大于0），則a的倒數(shù)（

）b的倒數(shù)．A．小于 B．大于 C．等于 D．不能確定【例2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）比較和的大?。?．（23-24七年級上·廣東廣州·開學(xué)考試）一個非0的數(shù)a的倒數(shù)是（）A．0 B．無法確定 C．a(chǎn) D．2．（23-24七年級上·湖北恩施·期末）去年利川城區(qū)的最低氣溫為，則數(shù)的倒數(shù)是（

）A． B． C．5 D．3．（23-24六年級上·黑龍江綏化·階段練習(xí)）.4．（25-26八年級上·全國·課后作業(yè)）求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值：(1)1.2；(2)；(3)．【經(jīng)典例題五有理數(shù)的乘法運算律】【例1】（25-26七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）下面的式子中應(yīng)用了乘法結(jié)合律的是（

）A．B．C．D．【例2】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：(1)．(2)．1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）下列各式運用運算律不正確的是（

）A．B．C．D．2．（24-25七年級上·福建福州·期中）若．則的值可表示為（

）A． B． C． D．3．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：（1）．（2）．4．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）用簡便方法計算：(1)．(2)．【經(jīng)典例題六有理數(shù)的除法運算】【例1】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）下列化簡：①；②；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例2】（24-25六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：(1)；(2)．1．（25-26七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）我們學(xué)習(xí)了分數(shù)除法，計算分數(shù)除以分數(shù)的方法很多．下面是4名同學(xué)計算“”的過程，想法正確的有（

）種．平平：左左：安安：右右：A．4 B．3 C．2 D．12．（24-25七年級上·河北張家口·階段練習(xí)）把轉(zhuǎn)化為乘法是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年級上·湖北襄陽·階段練習(xí)）新定義一種運算，．則的值是．4．（24-25六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：．【經(jīng)典例題七有理數(shù)的除法應(yīng)用】【例1】（24-25八年級上·全國·期末）喜迎國慶，學(xué)校在操場上懸掛了七彩氣球，按照紅橙黃綠藍靛紫排列，請問第2025個氣球的顏色是（

）A．紅 B．橙 C．黃 D．綠【例2】（25-26七年級上·江蘇泰州·開學(xué)考試）4月23日世界讀書日期間，、兩家書店開展購書促銷活動．書店：每滿元減元；書店：可享折上折，先打七折，在此基礎(chǔ)上再打九折．王老師想為班級圖書角購置一些圖書，原價共元，到哪家書店購買比較便宜，共需花多少元？1．（2025七年級上·山東·專題練習(xí)）簽字筆每支6元，鉛筆每支2元，簽字筆的價錢是鉛筆價錢的多少倍？這道題是求（）．A．6的2倍是多少 B．6比2多幾 C．6里面有幾個22．（24-25七年級上·湖北襄陽·期末）現(xiàn)有A，B，C，D四個圓柱形容器，且每個容器均可裝的水，其中A容器內(nèi)部底面積為，B容器內(nèi)部底面積為，C容器內(nèi)部底面積為，D容器內(nèi)部底面積為．若分別往這四個容器中注入的水后，則容器內(nèi)水面最高的是（

）A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器3．（24-25七年級上·江蘇徐州·開學(xué)考試）當老師的年齡是學(xué)生年齡這么大時，學(xué)生剛好3歲，當學(xué)生是老師這么大時，老師39歲，那么老師現(xiàn)在的年齡是()歲．4．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）一列火車在東西向的鐵路上運行，規(guī)定自車站向東為正，向西為負，進A站以前的時間為負，出A站以后的時間為正，請你以上述信息為背景，編制一個問題，解釋算式“”的含義．【經(jīng)典例題八有理數(shù)乘除混合計算問題】【例1】（23-24七年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）觀察下列等式(式子中的“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號)：，，，，那么的值是(

)A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【例2】（25-26七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）哥哥在市民圖書館借了一本《世界簡史》，如果每天看36頁，15天能全部看完．如果要在規(guī)定期限內(nèi)準時歸還，每天至少要看幾頁就不必交延時服務(wù)費？圖書館借閱規(guī)定1.借閱期限：10天2.超過10天的，每天每冊收取0.5元延時服務(wù)費．1．（24-25七年級上·云南麗江·期中）小慧用計算器計算，她誤操作輸入了．若想得到正確結(jié)果，則小慧接下來應(yīng)輸入（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算的結(jié)果為（

）A．8 B． C． D．23．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：．4．（2025七年級下·江蘇無錫·專題練習(xí)）計算：．【經(jīng)典例題九有理數(shù)混合運算的實際應(yīng)用】【例1】（25-26七年級上·廣西賀州·開學(xué)考試）某村去年生產(chǎn)油菜籽噸，比前年增加，問前年生產(chǎn)油菜籽多少噸？正確的算式是（

）A． B．C． D．【例2】（25-26七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）一種飲料，瓶裝每瓶1200毫升，10元一瓶；罐裝每罐200毫升，2元一罐．現(xiàn)在三家商店出售這種飲料，并推出了不同的促銷方式．如果要購買8瓶和8罐這種飲料，到哪一家商店購買花的錢最少？最少是多少元？甲商店買一瓶，送一罐乙商店一律七五折丙商店每滿40元減10元1．（24-25七年級上·河北張家口·階段練習(xí)）某服裝店今年上半年每月的盈虧情況如下表所示，盈利用正數(shù)表示，虧損用負數(shù)表示，則該店上半年平均每月（

）月份1月2月3月4月5月6月盈虧/元A．盈利2000元 B．盈利1000元C．虧損2000元 D．虧損1000元2．（24-25七年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）生活中常用的十進制是用0～9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：，；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用0～F來表示0～15，滿十六進一，它與十進制對應(yīng)的數(shù)如表：十進制012…891011121314151617…十六進制012…89ABCDEF1011…例：十六進制2B對應(yīng)十進制的數(shù)為，對應(yīng)十進制的數(shù)為，那么十六進制中對應(yīng)十進制的數(shù)為（

）A．366 B．62 C．28 D．3343．（24-25七年級上·海南?？凇て谥校┠成唐烦杀?00元，標價1000元，打九折后，再降價售出，在這次交易中，利潤為元．4．（24-25七年級上·江蘇徐州·開學(xué)考試）2個老師帶著25個學(xué)生乘車去外地參觀，可供租的車輛有兩種，一種車可乘8人，租金是每天600元；第二種車可乘4人，租金是每天400元，如何租車才能保證一天用錢最少？【經(jīng)典例題十有理數(shù)乘除中的簡便運算】【例1】（25-26七年級上·全國·周測）計算：．【例2】（24-25七年級下·重慶·自主招生）計算：．1．（24-25七年級下·重慶·自主招生）計算：．2．（24-25七年級上·浙江紹興·開學(xué)考試）遞等式計算（能簡算的要簡算）．(1)(2)(3)(4)(5)(6)3．（23-24七年級上·廣東深圳·期中）簡便運算能使學(xué)生思維的靈活性得到充分鍛煉，對提高學(xué)生的計算能力起到非常大的作用．閱讀下列相關(guān)材料．材料一，計算：．分析：利用通分計算的結(jié)果很麻煩，可以采用以下方法進行計算．解：．．材料二，下列算式是一類兩個兩位數(shù)相乘的一種特殊計算方法．；；根據(jù)以上材料，完成下列問題：(1)請你根據(jù)對材料一的理解，計算：；(2)請你根據(jù)對材料二的理解，計算：．4．（24-25七年級上·福建福州·期中）張老師帶了200元錢，準備為書法興趣小組的同學(xué)購買上課的用具，在文具商店看到商店有A，B兩種組合和C，D，E，F(xiàn)商品及它們的售價，組合及單件商品質(zhì)量一樣．若該小組共有12人，其中，筆和本每人各需要一份，硯臺2人一方即可，墨汁n瓶（）．商品價格組合A（1支筆個本方硯臺瓶墨汁）25元組合B（1支筆個本瓶墨汁）18元C：1支筆5元D：1個本4元E：一方硯臺10元F：一瓶墨汁12元(1)請給出一個滿足條件的購買方案（購買數(shù)量寫前面，商品代碼寫后面即可，例如：）；(2)求n的最大值．【拓展訓(xùn)練一有理數(shù)乘除法與數(shù)軸結(jié)合】【例1】（24-25七年級上·河北唐山·階段練習(xí)）已知有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4【例2】（24-25七年級上·浙江臺州·期末）一般用表示不大于x的最大整數(shù)，如．現(xiàn)規(guī)定，如；．可借助數(shù)軸上兩點之間的距離理解的意義，如圖，表示2與的點A，B重合，所以；表示與的點C，D距離為，所以．(1)分別求與的值；(2)當時，①的值為_______；②已知，求的值；(3)當時，，請直接寫出的值．1．（24-25七年級上·遼寧盤錦·期末）有理數(shù)，的對應(yīng)點在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級上·河北滄州·期末）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，把運算符號“”填入“□”中，使運算結(jié)果最大，應(yīng)該填入的符號是（

）A．+ B． C．× D．÷3．（24-25七年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，A、B兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的序號為．4．（24-25七年級上·福建漳州·階段練習(xí)）（1）閱讀下面材料：點在數(shù)軸上分別表示實數(shù)兩點之間的距離表示為．

當兩點中有一點在原點時如圖1；當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊，；②如圖3，點A、B都在原點的左邊，；③如圖4，點A、B在原點的兩邊，；綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是______，數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是_______，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是______；②數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是_____，如果，那么x為______；③當代數(shù)式取最小值______時，相應(yīng)的x的取值范圍是_______．④求的最小值．【拓展訓(xùn)練二有理數(shù)乘除法與絕對值結(jié)合】【例1】（24-25七年級上·河北廊坊·階段練習(xí)）下列計算結(jié)果是負數(shù)的是（

）A． B． C． D．【例2】（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）已知，．(1)當時，求的值．(2)當時，求mn的值．1．（2025·四川資陽·模擬預(yù)測）下列運算中正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則為任意有理數(shù) D．若

則2．（24-25七年級上·江蘇淮安·期中）若，，且，則的值是（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．（25-26七年級上·全國·課后作業(yè)）如果，，且，那么．4．（24-25七年級上·貴州銅仁·期中）已知：，．(1)求和的值；(2)若，求的值．【拓展訓(xùn)練三有理數(shù)乘除法綜合應(yīng)用】【例1】（23-24七年級上·福建廈門·期末）甲、乙兩人完成一項工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，設(shè)工作總量為1，工作進度如下表：則完成這項工作共需（

）天數(shù)第3天第5天工作進度A．6天 B．8天 C．9天 D．10天【例2】（25-26七年級上·山東臨沂·開學(xué)考試）請你選擇一個問題把序號填在橫線上，并用比例知識解答．樂樂5分鐘可以走325米，照這樣計算，__________，a．18分鐘可以走多少米？b．從家到學(xué)校相距1300米，她要走多少分鐘？1．（23-24六年級下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）用一塊長12米，寬6米的長方形鐵皮剪成半徑是1.5米的小圓（不能剪拼）（

）個．A．11個 B．8個 C．10個 D．13個2．（23-24七年級下·湖北武漢·開學(xué)考試）小明步行每分鐘行60米，小華騎自行車每分鐘行160米，二人同時同地相背而行5分鐘后，小華立即調(diào)頭來追甲，再經(jīng)過（

）分鐘小華可追上小明．A． B． C．10 D．113．（24-25九年級下·北京·階段練習(xí)）“北京八中好聲音”彰顯了八中學(xué)子的音樂素養(yǎng)，是八中素質(zhì)教育的一種體現(xiàn)、為了更好的準備節(jié)目，學(xué)校提供場地供學(xué)生進行彩排．現(xiàn)有A，B，C，D，E五個節(jié)目需要彩排．所有演員到場后節(jié)目彩排開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：）如下：節(jié)目演員人數(shù)彩排時長已知每位演員只參加一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指第一個彩排節(jié)目開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其它因素）．（1）若兩個節(jié)目不能同時彩排，本著節(jié)目人數(shù)多先彩排的原則，應(yīng)按順序彩排才能使這名演員等待總時間最短；（2）為節(jié)約學(xué)生的時間，將場地分成兩部分可供學(xué)生同時彩排兩個節(jié)目，則這名演員等待總時長最少為．4．（24-25六年級下·廣西南寧·開學(xué)考試）學(xué)校要訂購?fù)暗V泉水，現(xiàn)在有甲乙丙三個店可供選擇，價格都是元每桶，但優(yōu)惠辦法不同．甲店：每滿元，返還現(xiàn)金元；乙店：八折出售：丙店：買桶送桶、不滿桶不送．為了節(jié)省開支，應(yīng)訂購哪個店家的水？請計算說明．【拓展訓(xùn)練四裂項相消法解決規(guī)律計算問題】【例1】（24-25八年級上·四川眉山·期中）利用裂項技巧計算時，最恰當?shù)姆桨缚梢允牵ǎ〢． B．C． D．【例2】（24-25七年級上·山東濟南·階段練習(xí)）觀察下列等式：，，，把以上三個等式兩邊分別相加得：這種求和的方法稱為裂項求和法：裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．規(guī)律應(yīng)用：計算：的值．1．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）閱讀下列材料：計算：解：原式這種求和方法稱為“裂項相消法”，請你參照此法計算：．2．（23-24七年級下·廣西貴港·期末）閱讀下列材料：計算：解：原式這種求和方法稱為“裂項相消法”，請你參照此法計算：．3．（24-25九年級下·安徽阜陽·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家基斯頓·卡曼于1808年發(fā)明了一種運算符號叫階乘，用“!”表示．它的意思是：一個正整數(shù)的階乘是所有小于及等于該數(shù)的正整數(shù)的積，如，．正整數(shù)的階乘記作，即．裂項相消法可以和階乘結(jié)合起來研究，例如，我們可以把拆分為兩個分母含有階乘形式的分子為1的分數(shù)的差，即．根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：(1)填空：________；(2)將化簡為兩個分母含有階乘形式的分子為1的分數(shù)的差的形式為________；(3)計算：．4．（24-25七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）【情景創(chuàng)設(shè)】是一組有規(guī)律的數(shù)，我們?nèi)绾吻筮@些連續(xù)數(shù)的和呢？【探索活動】（1）根據(jù)規(guī)律第6個數(shù)是_________，是第_________個數(shù)；【方法屬示】．這種方法叫“裂項相消”，構(gòu)造只有符號不同的中間項，將其全部消掉．【實踐應(yīng)用】根據(jù)上面獲得的經(jīng)驗完成下面的計算：（2）；（3）．【拓展訓(xùn)練五有理數(shù)乘除法的新定義問題】【例1】（24-25七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）定義運算：．下面給出了關(guān)于這種運算的幾種結(jié)論：①②，③若，則或，其中結(jié)論正確的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②【例2】（24-25九年級下·浙江衢州·自主招生）若對于任意兩數(shù)，定義一種運算“”，使得．(1)求的值；(2)試探索運算“”是否滿足結(jié)合律，若滿足，請證明；若不滿足，請說明理由．1．（24-25七年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）定義一種新運算：，例如：．則的值為（

）A．3 B．9 C．15 D．272．（24-25七年級上·重慶大渡口·期末）定義一種新運算：，其中，如：，下列說法正確的個數(shù)是（

）．①；②當，；③．A．0 B．1 C．2 D．33．（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）【定義新運算】現(xiàn)規(guī)定一種運算：，那么的值為．4．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）在學(xué)習(xí)完《有理數(shù)》后，小奇對有理數(shù)運算產(chǎn)生了濃厚的興趣．借助有理數(shù)的運算，定義了一種新運算“⊕”，規(guī)則如下：．（a、b不相等）(1)；(2)求的值；(3)試以和說明，新定義的運算“⊕”滿足交換律嗎？1．（24-25七年級上·陜西咸陽·開學(xué)考試）的商與比較，商（

）（是非0自然數(shù)）．A．大于a B．小于a C．等于a D．小于或等于a2．（24-25七年級上·河南鄭州·開學(xué)考試）【湊整法】算式的計算結(jié)果是（

）A．4800 B．4720 C．4560 D．24003．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（商品問題）妮妮去文具店購買修正帶，某品牌的修正帶有兩款，普通版20米長售價5.4元，加長版30米長售價7.5元，（

）更優(yōu)惠．A．普通版 B．加長版 C．兩者相同 D．不能比較4．（24-25七年級上·四川成都·開學(xué)考試）（商品問題）明明買一個文具盒，經(jīng)與店主討價還價后，只付了4元，比原價便宜1元．這個文具盒打（

）賣給了明明．A．二五折 B．七五折 C．八折 D．二折5．（24-25七年級上·新疆烏魯木齊·期末）根據(jù)如圖可知，某地2023年人均年收入（

）元．A．7500 B．1500 C．4500 D．30006．（23-24七年級上·四川德陽·階段練習(xí)）已知：當時，；當時，；那么當同時滿足條件時，式子的值是（

）A．2 B． C．0 D．7．（24-25七年級下·重慶·自主招生）為了節(jié)約用水，z市政府規(guī)定：家庭用水在以內(nèi)（含）的按照每立方米元計算，到（含）的按照每立方米元計算，超過按照每立方米元計算，小麗家5月份用水量為，那么小麗家本月水費共（

）元．A． B． C． D．8．（24-25七年級上·安徽安慶·開學(xué)考試）一個小數(shù)，如果小數(shù)點向右移動1位，比原數(shù)多9.45，原數(shù)是（