第第頁備戰(zhàn)深圳數(shù)學(xué)中考——3年真題及模擬分類匯編專題15解答中檔圓的計算與證明一、解答題1.（2024·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：（1）連接并延長，交于點，連接，易證垂直平分，圓周角定理，切線的性質(zhì)，推出四邊形為矩形，即可得證；（2）由（1）可知，勾股定理求出的長，設(shè)的半徑為，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】證明：連接并延長，交于點，連接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵為的切線，∴，∵為的直徑，∴，∴四邊形為矩形，∴；【小問2詳解】由（1）知四邊形為矩形，，，∴，∴，設(shè)的半徑為，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半徑為．2.（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，在單位長度為1的網(wǎng)格中，點O，A，B均在格點上，，，以O(shè)為圓心，為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線，且（點C在A的上方）；②連接，交于點D；③連接，與交于點E．（1）求證：為的切線；（2）求的長度．【答案】（1）畫圖見解析，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意作圖，首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，即可證明出為的切線；（2）首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】如圖所示，∵是的切線，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵點D在上，∴為的切線；【小問2詳解】∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【點睛】此題考查了格點作圖，圓切線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．3.（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)先向上平移6個單位，再向右平移3個單位，用光滑的曲線畫在平面直角坐標(biāo)系上．（1）的值為；（2）在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并求出與的交點坐標(biāo)；（3）點在新的函數(shù)圖象上，且兩點均在對稱軸的同一側(cè)，若則（填“”或“”或“”）【答案】（1）（2）圖見解析，和（3）或【解析】【分析】（1）把點代入即可求解．（2）根據(jù)描點法畫函數(shù)圖象可得平移后的圖象，在根據(jù)交點坐標(biāo)的特點得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根據(jù)新函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得：當(dāng)P，Q兩點均在對稱軸的左側(cè)時，若，則，當(dāng)P，Q兩點均在對稱軸的右側(cè)時，若，則，進(jìn)而可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時，，∴．【小問2詳解】平移后的圖象如圖所示：由題意得：，解得，當(dāng)時，，則交點坐標(biāo)為：，當(dāng)時，，則交點坐標(biāo)為：，綜上所述：與的交點坐標(biāo)分別為和．【小問3詳解】由平移后的二次函數(shù)可得：對稱軸，，∴當(dāng)時，隨x的增大而減小，當(dāng)時，隨x的增大而增大，∴當(dāng)P，Q兩點均在對稱軸的左側(cè)時，若，則，當(dāng)P，Q兩點均在對稱軸的右側(cè)時，若，則，綜上所述：點在新函數(shù)圖象上，且P，Q兩點均在對稱軸同一側(cè)，若，則或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，理解二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．4.（2024·廣東深圳·鹽田區(qū)一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點、．點在的延長線上，且．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，熟練掌握各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明結(jié)論；（2）作于點，利用已知條件證明，利用比例式求出線段長．【小問1詳解】證明：連接，是的直徑，，，，，，，，即，直線是的切線；小問2詳解】解：作于點，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，解得．5.（2024·廣東深圳·福田區(qū)三模）如圖1，為的直徑，C為上一點，點D為的中點，連接，過點C作交于點E，連接．（1）證明：．（2）如圖2，過點D作的切線交的延長線于點F，若，且，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧與弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，等腰直角三角的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：（1）由直徑所對的圓周角是直角得到，由平行線的性質(zhì)得到，證明，得到，再證明，即可證明；（2）如圖所示，連接，先求出，則，進(jìn)而得到，由平行線的性質(zhì)得到，則可證明是等腰直角三角形，可得，則；∵是的切線，再證明，得到，則．【小問1詳解】證明：設(shè)交于G，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∵點D為的中點，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴是等腰直角三角形，∵∵點D為的中點，∴，∴，∴；∵是的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．6.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考二模）如圖，在等腰中，，平分，過點A作交的延長線于D，連接，過點D作交的延長線于E．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）四邊形是菱形，理由見解析；（2）25．【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角的相關(guān)計算、菱形的面積計算，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．第一問，由等腰三角形三線合一，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可證，得到，推出四邊形是平行四邊形，再結(jié)合鄰邊相等，得證；第二問，由，得到和的比，再利用勾股定理得到和的長度，最后由菱形的面積公式得出答案．【小問1詳解】四邊形是菱形，理由如下，，平分，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．，四邊形是菱形．【小問2詳解】，O是的中點，∴，∴，，，，，設(shè),則，由得,，,即，四邊形是菱形，，，．故答案為：25．7.（2024·廣東深圳·33校聯(lián)考一模）如圖，是的外接圓，直徑與交于點，點在的延長線上，連接，．（1）求證：是的切線；（2）從以下三個選項中選一個作為條件，使成立，并說明理由；①；②；③；你選的條件是：______．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余，理解并掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）由直徑所對圓周角為直角可知，結(jié)合圓周定理可知，由，可知，進(jìn)而可知，即可證明結(jié)論；（2）若選②，由等弧所對圓周角相等可知，結(jié)合（1）證，由圓周角定理可知，證得，進(jìn)而可得結(jié)論；若選③由同弧所對圓周角相等可知，結(jié)合，可知，得，同②，可證．【小問1詳解】證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，則，∴，∴是的切線；【小問2詳解】若選②；∵，∴，由（1）可知：，∴，由圓周角定理可知，∴，∴；若選③；∵，∴，∵，∴，∴，同②，可知；8.（2024·廣東深圳·南山區(qū)一模）如圖，BD是矩形ABCD的對角線．（1）求作⊙A，使得⊙A與BD相切（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，設(shè)BD與⊙A相切于點E，CF⊥BD，垂足為F．若直線CF與⊙A相切于點G，求的值．【答案】（1）作圖見解析（2）【解析】【分析】（1）先過點A作BD的垂線，進(jìn)而找出半徑，即可作出圖形；（2）根據(jù)題意，作出圖形，設(shè)，⊙A的半徑為r，先判斷出BE＝DE，進(jìn)而得出四邊形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理建立方程求解，再判定，根據(jù)，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值為．【小問1詳解】解：如圖所示，⊙A即為所求作：【小問2詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形如下：設(shè)，⊙A的半徑為r，∵BD與⊙A相切于點E，CF與⊙A相切于點G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四邊形AEFG是矩形，又，∴四邊形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值為．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，利用三角函數(shù)得出線段長建立方程是解決問題的關(guān)鍵．9.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)二模）如圖（1）是某餐館外的伸縮遮陽棚，其輪廓全部展開后可近似看成一個圓，即弧，已知和遮陽棚桿子在同一條直線上，且與地面垂直，當(dāng)上午某一時刻太陽光從東邊照射，光線與地面呈角時，光線恰好能照到桿子底部D點，已知長為．（1）求遮陽棚半徑的長度．（2）如圖（2）當(dāng)下午某一時刻太陽光從西邊照射，光線與地面呈角，在遮陽棚外，距離遮陽棚外檐C點正下方E點的F點處有一株高為的植物，請問植物頂端能否會被陽光照射？請說明理由．（3）如圖（3）為擴(kuò)大遮陽面積，餐館更換了遮陽棚，新遮陽棚輪廓可近似看成拋物線的一部分，已知新遮陽棚上最高點仍為A點，且外檐點到的距離為、到的距離為．現(xiàn)需過遮陽棚上一點P為其搭設(shè)架子，架子由線段、線段兩部分組成，其中與地面垂直，若要保證從遮陽棚上的任意一點P（不含A點）都能按照上述要求搭設(shè)架子，則至少需要準(zhǔn)備______m的鋼材搭設(shè)架子．【答案】（1）（2）植物頂端不能被太陽照射，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）解直角三角形，求得結(jié)果；（2）連接，延長交于，可證得，從而得出，，從而求得的值，進(jìn)而得出，從而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）以所在直線為軸，所在的直線為軸建立坐標(biāo)系，可求得拋物線的解析式為，從而可設(shè)設(shè)，從而表示出，進(jìn)一步得出結(jié)果．【小問1詳解】解：如圖1，，，，，，，；【小問2詳解】如圖2，植物頂端不能被太陽照射，理由如下：連接，延長交于，與相切，，，，，，，，，，，植物頂端不能被太陽照射；【小問3詳解】解：如圖3，以所在直線為軸，所在的直線為軸建立坐標(biāo)系，，，設(shè)拋物線的解析式為：，，，，設(shè)，，當(dāng)時，有最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式．10.（2024·廣東深圳·寶安區(qū)三模）如圖，是的外接圓，連接交于點．（1）求證：與互余；（2）若，，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）延長交于點，連接，如圖所示，由直徑所對的圓周角是直角，利用互余及圓周角定理代換即可得證；（2）由題中條件得到，利用相似比，代值求解得到即可確定答案．【小問1詳解】證明：延長交于點，連接，如圖所示：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，解得，∴．【點睛】本題考查圓綜合，涉及圓周角定理、互余、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓的性質(zhì)及三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11.（2024·廣東深圳·福田區(qū)二模）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點，連接，過點作．（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點作的切線，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）（2）在（1）的條件下，求證：；（3）在（1）的條件下，，，求⊙O的半徑．【答案】（1）畫圖見解析（2）證明見解析（3）⊙O的半徑為．【解析】【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點作的垂線，交于點，即可求解；（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，即可得證．（3）由（2）得：，，設(shè)，再利用勾股定理可得，再解方程即可.【小問1詳解】解：方法不唯一，如圖所示．.【小問2詳解】∵，∴．又∵，∴，∴．∵點在以為直徑的圓上，∴，∴．又∵為的切線，∴．∵，∴，∴，∴．∵在和中，∴．∴．【小問3詳解】由（2）得：，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，解得：，∴⊙O的半徑為．【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12.（2024·廣東深圳·光明區(qū)二模）如圖，過圓外一點作的切線，切點為是的直徑．連接，過點作的垂線，垂足為，同時交于點，連接．（1）求證：是的切線：（2）若，求切線的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由垂徑定理可得，通過，得，通過，可得，根據(jù)切線的判定定理，即可求解；（2）由三角形的中位線得到，，在中，根據(jù)勾股定理，得到的長，，在中，根據(jù)正切三角函數(shù)，即可求解，【小問1詳解】解：連接，13.（2024·廣東深圳·33校三模）如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，，且是的切線．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）的半徑為2【解析】【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓周角、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）連接，結(jié)合“直徑所對的圓周角為直角”可得，即有，再結(jié)合切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，可證明，結(jié)合，易得，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，在中，根據(jù)勾股定理可得，代入數(shù)值并計算，即可獲得答案．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵是的切線，為半徑，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：設(shè)，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即的半徑為2．∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴是的切線，【小問2詳解】解：∵，，∴，∴，在中，，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)與判定，三角形的中位線，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及判定定理是解題關(guān)鍵．14.（2024·廣東深圳·龍華區(qū)二模）如圖，以為直徑的⊙交于點D，，垂足為E．（1）在不添加新的點和線的前提下，請增加一個條件：______，使直線為⊙的切線，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若，，求⊙的半徑．【答案】（1）增加條件：，見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法，屬于中考常考題型．（1）添加條件：（答案不唯一）．證明，推出即可；（2）解直角三角形分別求出，，再證明，得出，進(jìn)而可得答案．【小問1詳解】增加條件：．證明：連接，∵為的直徑，，∵，，，∵，，，又∵，，即，∵為半徑，為的切線；【小問2詳解】在中，，，，∵，，∵，，，，，，又∵，，，，，即的半徑為．15.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)二模）如圖，是的直徑，弦于點E，點P在上，．（1）求證：；（2）若，求的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）9【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，同弧所對的圓周角相等，平行線的判定：（1）根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角相等可得，再由條件可得，然后可得；（2）設(shè)，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【小問1詳解】證明：∵，，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)，則，在中：由勾股定理得，在中：由勾股定理得，∴，解得∴的半徑為9．16.（2024·廣東深圳·羅湖區(qū)三模）如圖，是的直徑，點在上；按下列步完成作圖，并回答問題：①作的平分線交于點，②過點作直線的垂線，交的延長線于點，③連接，（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）作圖見解析，證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取中點，作射線交于點，連接，由可得平分，延長交于格點，由中位線性質(zhì)可知，取中點即可得到，由矩形對角線性質(zhì)即可得到點，如圖所示，按照要求作出圖形后，連接，如圖所示，由圓的性質(zhì)、角平分線定義得到，再由平行線的判定確定，再由平行線性質(zhì)即可得證；（2）過點作于，如圖所示，在中，由勾股定理得到長，從而求出角度得到是等邊三角形，由等腰三角形性質(zhì)及勾股定理求解即可得到答案．【小問1詳解】根據(jù)題意，如圖所示：證明：連接，如圖所示：，，平分角，，，，，，直線是的切線；【小問2詳解】解：過點作于，如圖所示：平分角，，，，，∴半徑，在中，，，，，是等邊三角形，又，，，在中，．【點睛】本題考查在網(wǎng)格中作圖，涉及垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線性質(zhì)、矩形性質(zhì)、圓的性質(zhì)、角平分線定義、平行線的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定、勾股定理、直角三角形性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意，作出圖形，靈活運用相關(guān)幾何性質(zhì)求解是解決問題的關(guān)鍵．17.（2024·廣東深圳·南山區(qū)三模）如圖，以等腰的腰為直徑作，交底邊于點D，過點D作，垂足為E．（1）求證：為的切線；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，利用圓周角定理，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，三角形的中位線定理，垂直的意義和平行線的性質(zhì)，圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理求得線段的長度，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴為的中位線，∴，∵，∴，∵為的半徑，∴為的切線；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．答：的半徑為．【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．18.（2024·廣東深圳·南山區(qū)二模）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C，D兩點．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出是的切線；（2）解直角三角形，求出的長，進(jìn)而求出的長，再解直角三角形，求出的長即可．【小問1詳解】證明：直線與相切，理由如下：連接，則：，∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線是的切線；【小問2詳解】解：∵，，的半徑為3，∴，，∴，∴，∵，∴，設(shè)，，則：，∴，∴．19.（2024·廣東