2025年統(tǒng)計學(xué)專業(yè)期末考試題庫——統(tǒng)計與決策案例分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______注意事項：1.請仔細閱讀每一道題，理解題意。2.請在指定的位置書寫答案。3.本試卷滿分100分，考試時間120分鐘。一、某公司為了解其產(chǎn)品A在不同年齡段的用戶滿意度，隨機抽取了300名用戶進行問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，18-25歲年齡段有120名用戶對產(chǎn)品A表示滿意，26-35歲年齡段有90名用戶表示滿意，36歲及以上年齡段有60名用戶表示滿意。請根據(jù)這些數(shù)據(jù)回答以下問題：(1)簡述該調(diào)查中涉及的主要變量及其類型。(2)計算三個年齡段用戶對產(chǎn)品A的滿意度比例，并繪制適當?shù)膱D表（文字描述即可）展示滿意度在年齡段的分布情況。(3)如果該公司計劃針對26-35歲年齡段用戶推出一項改進服務(wù)，請基于上述數(shù)據(jù)，對該年齡段的滿意度水平進行估計，并說明估計結(jié)果的含義。二、某農(nóng)場想要了解施用不同種類肥料（肥料A、肥料B、不施肥）對某種作物產(chǎn)量的影響。他們選擇了10塊面積和條件相似的田地，隨機將它們分為三組，每組各3塊田地，分別施用不同種類的肥料。一個月后，測得各田地的作物產(chǎn)量（單位：公斤/畝）如下（數(shù)據(jù)已整理）：肥料A組：90,92,88肥料B組：85,87,83不施肥組：78,80,82假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，且三個總體的方差相等。(1)提出檢驗假設(shè)，判斷三種處理方式下作物平均產(chǎn)量是否存在顯著差異。(2)請計算檢驗統(tǒng)計量的值，并說明如何根據(jù)該值做出決策（假設(shè)顯著性水平α=0.05）。(3)如果檢驗結(jié)果表明存在顯著差異，請解釋該結(jié)論對農(nóng)場選擇肥料的啟示。三、某零售連鎖店收集了過去兩年內(nèi)每周的銷售額（萬元）和廣告投入費用（萬元）數(shù)據(jù)，旨在探究廣告投入與銷售額之間的關(guān)系，并希望建立模型用于預(yù)測未來的銷售額。部分整理后的數(shù)據(jù)如下（單位：萬元）：周次：12345...52銷售額：1518162022...y?廣告投入：231.52.53...x?周次：12345...52銷售額：y?y?y?y?y?...25廣告投入：x?x?x?x?x?...4（注：實際數(shù)據(jù)為52周的對應(yīng)數(shù)據(jù)，此處僅示意格式）(1)簡述在建立線性回歸模型時，需要驗證哪些關(guān)鍵假設(shè)？(2)假設(shè)通過計算得到了回歸方程為`銷售額=10+5*廣告投入`，且已知該回歸模型的R2值為0.65。請解釋回歸系數(shù)5和R2值0.65的含義。(3)若某周計劃投入廣告費4萬元，請根據(jù)回歸方程預(yù)測該周的銷售額，并說明預(yù)測結(jié)果的含義。同時，討論該預(yù)測結(jié)果可能存在的局限性。四、某城市管理部門希望了解交通擁堵程度與早晚高峰時段車流量之間的關(guān)系，以便優(yōu)化交通信號燈配時。他們收集了某一周內(nèi)每天早晚高峰時段的平均車流量（萬輛/小時）和對應(yīng)的交通擁堵指數(shù)（0-10，數(shù)值越大表示擁堵越嚴重），數(shù)據(jù)如下：星期一：車流量120，擁堵指數(shù)7星期二：車流量135，擁堵指數(shù)8星期三：車流量110，擁堵指數(shù)6星期四：車流量140，擁堵指數(shù)9星期五：車流量160，擁堵指數(shù)8星期六：車流量150，擁堵指數(shù)7星期日：車流量100，擁堵指數(shù)5(1)計算車流量與交通擁堵指數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)，并判斷兩者之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。(2)如果要利用車流量預(yù)測交通擁堵指數(shù)，請說明選擇線性回歸模型是否合適，并簡要說明理由。(3)假設(shè)周末車流量較大，星期六預(yù)計車流量為180萬輛/小時，請根據(jù)你的分析結(jié)果，預(yù)測星期六的交通擁堵指數(shù)，并為城市管理部門提供至少一條基于數(shù)據(jù)分析的交通管理建議。試卷答案一、(1)主要變量為：年齡段（分類變量，包含“18-25歲”、“26-35歲”、“36歲及以上”三個水平），滿意度（二元變量，包含“滿意”和“不滿意”兩個水平）。滿意度比例分別為：18-25歲：40%；26-35歲：30%；36歲及以上：20%。(2)滿意度在年齡段的分布情況可通過條形圖展示。橫軸為年齡段，縱軸為滿意度比例。三個年齡段對應(yīng)的條形高度分別為40%、30%、20%。圖表顯示18-25歲年齡段滿意度最高，其次是26-35歲，最后是36歲及以上年齡段。(3)對26-35歲年齡段滿意度的估計值為30%（點估計）。該估計結(jié)果表示，在此次抽樣調(diào)查中，26-35歲年齡段的用戶對產(chǎn)品A表示滿意的比例約為30%。公司可以此為參考，了解該目標群體的基本滿意度，為后續(xù)改進服務(wù)提供數(shù)據(jù)支持。二、(1)檢驗假設(shè)：-H?：μ_A=μ_B=μ_C（三個總體的平均產(chǎn)量無顯著差異）-H?：至少有兩個總體的平均產(chǎn)量存在顯著差異(注：此處假設(shè)總體方差相等，需進行方差齊性檢驗，但題目未明確要求)(2)計算檢驗統(tǒng)計量：-首先計算各組的樣本均值和總體均值：μ_A=(90+92+88)/3=90μ_B=(85+87+83)/3=85μ_C=(78+80+82)/3=80總體均值μ=(90+85+80)/3=85-計算組間平方和SS_between：SS_between=3*(90-85)2+3*(85-85)2+3*(80-85)2=330-計算組內(nèi)平方和SS_within：SS_within=[(90-90)2+(92-90)2+(88-90)2]+[(85-85)2+(87-85)2+(83-85)2]+[(78-80)2+(80-80)2+(82-80)2]=76+0+24=100-計算均方MS_between和MS_within：MS_between=SS_between/(k-1)=330/(3-1)=165MS_within=SS_within/(N-k)=100/(9-3)=100/6≈16.67-計算F統(tǒng)計量：F=MS_between/MS_within=165/16.67≈9.91-查F分布表，或使用軟件計算臨界值F_(0.05,2,6)≈5.14。-做出決策：由于計算得到的F值(9.91)大于臨界值(5.14)，因此拒絕原假設(shè)H?。(3)結(jié)論啟示：由于檢驗結(jié)果表明三種處理方式下作物平均產(chǎn)量存在顯著差異，農(nóng)場可以得出結(jié)論，肥料種類對作物產(chǎn)量有顯著影響。建議農(nóng)場根據(jù)不同年齡段的產(chǎn)量表現(xiàn)，選擇效果最佳的肥料進行施用，以期望獲得更高的作物產(chǎn)量。例如，如果肥料A組的產(chǎn)量顯著高于其他組，則可以考慮在適合的條件下優(yōu)先使用肥料A。三、(1)建立線性回歸模型時，需要驗證的關(guān)鍵假設(shè)包括：1.線性關(guān)系假設(shè)：因變量與自變量之間存在線性關(guān)系。2.獨立性假設(shè)：觀測值之間相互獨立。3.等方差假設(shè)（同方差性）：對于任何自變量值，因變量的residuals（殘差）具有相同的方差。4.正態(tài)性假設(shè)：對于任何自變量值，因變量的residuals服從正態(tài)分布。(2)回歸系數(shù)5的含義是：在其他因素保持不變的情況下，廣告投入費用每增加1萬元，預(yù)計銷售額將增加5萬元。R2值0.65的含義是，在銷售額的變異中，有65%可以通過廣告投入費用與銷售額之間的線性關(guān)系來解釋。該模型解釋了銷售額變異的相當一部分，但仍有35%的變異未被模型解釋，可能受到其他未包含變量或隨機因素的影響。(3)根據(jù)回歸方程`銷售額=10+5*廣告投入`，當廣告投入為4萬元時，預(yù)測銷售額為：預(yù)測銷售額=10+5*4=10+20=30萬元。預(yù)測結(jié)果的含義是，基于歷史數(shù)據(jù)和建立的線性關(guān)系，如果該周投入4萬元廣告費，預(yù)計可以獲得30萬元的銷售額。該預(yù)測結(jié)果的局限性可能包括：1.模型的線性假設(shè)可能不完全符合實際情況，廣告投入與銷售額的關(guān)系可能并非嚴格線性。2.模型是基于過去的數(shù)據(jù)建立的，未來的市場環(huán)境、消費者行為等可能發(fā)生變化，影響預(yù)測準確性。3.模型只考慮了廣告投入一個自變量，而實際銷售額可能還受到其他重要因素（如產(chǎn)品價格、競爭狀況、季節(jié)性、宏觀經(jīng)濟環(huán)境等）的影響，忽略這些因素會導(dǎo)致預(yù)測誤差。4.R2值為0.65，說明模型還有35%的變異無法解釋，預(yù)測精度有一定限制。四、(1)計算相關(guān)系數(shù)r：車流量（x）：120,135,110,140,160,150,100擁堵指數(shù)（y）：7,8,6,9,8,7,5-計算均值：x?=(120+135+110+140+160+150+100)/7=715/7≈102.14?=(7+8+6+9+8+7+5)/7=50/7≈7.14-計算離差乘積和SP_xy：SP_xy=Σ(x?-x?)(y?-?)≈(-82.14*0.86)+(-17.14*0.86)+(-12.14*0.86)+(37.86*1.86)+(57.86*0.86)+(47.86*0.86)+(2.86*1.86)≈-70.65-14.74-10.42+70.51+49.99+41.19+5.32≈71.80-計算離差平方和SS_xx和SS_yy：SS_xx=Σ(x?-x?)2≈6787.14-(7152/7)≈6787.14-73225/7≈6787.14-10460.71≈3673.43SS_yy=Σ(y?-?)2≈378.00-(502/7)≈378.00-2500/7≈378.00-357.14≈20.86-計算相關(guān)系數(shù)：r=SP_xy/√(SS_xx*SS_yy)≈71.80/√(3673.43*20.86)≈71.80/√(76400.00)≈71.80/276.40≈0.26-判斷：計算得到的相關(guān)系數(shù)r約為0.26。由于|0.26|<1，且通常|r|<0.3時認為相關(guān)關(guān)系較弱，因此車流量與交通擁堵指數(shù)之間存在較弱的正線性相關(guān)關(guān)系。(2)選擇線性回歸模型是否合適：-不完全合適。理由如下：1.相關(guān)系數(shù)r僅為0.26，表明兩者之間的線性關(guān)系非常弱，模型對數(shù)據(jù)的擬合程度可能不高。2.雖然是正相關(guān)，但弱的線性關(guān)系可能無法準確反映兩者之間真實的復(fù)雜關(guān)系，使用線性回歸預(yù)測可能誤差較大。3.應(yīng)該先進行殘差分析等模型診斷，確認線性回歸的基本假設(shè)是否滿足，尤其是在相關(guān)系數(shù)較弱的情況下，模型的可靠性需要更謹慎評估。-更好的做法可能是先探索其他可能的關(guān)系（如非線性關(guān)系），或者即使使用線性回歸，也要對其預(yù)測能力有清醒的認識，并強調(diào)其局限性。(3)預(yù)測星期六交通擁堵指數(shù)：-使用線性回歸方程預(yù)測。首先需要計算回歸系數(shù)b?和b?。使用軟件或手動計算（過程略），得到回歸方程為：擁堵指數(shù)=b?+b?*車流量。-假設(shè)計算得到的回歸方程為：擁堵指數(shù)=1.2+0.02*車流量。-當星期六預(yù)計車流量為180萬輛/小時時，預(yù)測擁堵指數(shù)為：預(yù)測擁堵指數(shù)=1.2+0.02*180=1.2+3.6=