高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列中，，，，則等于（）A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】數(shù)列中，，，，則，則.故選：A.2.準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知拋物線開口向下，故設(shè)拋物線方程為.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.3.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列，所以其奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)為正，而分母可歸納為，分子可歸納為，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故B正確.故選：B.4.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線漸近線公式知道，，則.故選：C.5.如圖給出一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”滿足每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，則第8行第3列的數(shù)為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)榈?列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以第8行第1列的數(shù)為，又第8行是首項(xiàng)為2，公比為等比數(shù)列，所以第8行第3列的數(shù)為，故選：C.6.已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖所示：，，由橢圓的定義得.①在中，.②由①②得，則，所以橢圓C的方程為.故選：B.7.若實(shí)數(shù)k滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D.焦距相等【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，得到和都是雙曲線，對(duì)于曲線，，，，此時(shí)其焦距為，離心率為，對(duì)于曲線，，，，此時(shí)其焦距為，離心率為，故兩條曲線離心率不相等，虛半軸長(zhǎng)不相等，實(shí)半軸長(zhǎng)不相等，焦距相等，故D正確.故選：D.8.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（）A.12 B.6 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)檫^拋物線C：的焦點(diǎn)，且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，所以，故選：A.9.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】給定數(shù)列，且設(shè)該數(shù)列為，故，則，故D正確.故選：D.Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.10.已知橢圓的焦距是2，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為__________.【答案】或【解析】焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.11.已知數(shù)列滿足，，則的前10項(xiàng)和等于______.【答案】【解析】因數(shù)列滿足，且，則，數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和等于.12.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為__________.【答案】【解析】由題意得，，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，，因此，線段的中點(diǎn)到軸的距離為.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______.【答案】【解析】因?yàn)?，，可得：，解?，所以，因?yàn)椋O(shè)數(shù)列的前100項(xiàng)和為,則：.14.設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為_____.【答案】2【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過，兩點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，故，即，得到，解得或，因?yàn)椋苑项}意，此時(shí)，故.15.在等差數(shù)列中，，公差為d，前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則d的取值范圍為_______.【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以數(shù)列遞減數(shù)列，又，所以，解得，所以d的取值范圍為.三、解答題：本大題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線的頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，漸近線方程、離心率.解：（1）因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，所以，由題意得雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，故，由雙曲線的定義得，解得，得到，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）對(duì)于雙曲線，其實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為,漸近線方程為，頂點(diǎn)為.17.解答下列各題（1）在等差數(shù)列中，，，求通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）在等比數(shù)列中，，，求通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，，解得，，故?（2）設(shè)首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)?，，所以，，解得，，故?18.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，若，求公比.解：當(dāng)時(shí)，，與題意不符，故排除，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，解得，故公比?19.已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與E相交于兩點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得，而橢圓的離心率為，故，解得，則，故橢圓方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意，排除，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，，得到，因?yàn)橹本€與E相交于兩點(diǎn)，所以，解得或，且設(shè)，由韋達(dá)定理得，由弦長(zhǎng)公式得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，故，令，則，得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得(負(fù)根舍去)，此時(shí)，解得，滿足或，此時(shí)得到直線方程為.20.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又也滿足上式，所以.又.（2）∵①∴②②－①得：，，故．（3），∴，令，①則②①－②得：，∴∴．∴數(shù)列的前項(xiàng)和.天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷第I卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列中，，，，則等于（）A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】數(shù)列中，，，，則，則.故選：A.2.準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知拋物線開口向下，故設(shè)拋物線方程為.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，即，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：D.3.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列，所以其奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)為正，而分母可歸納為，分子可歸納為，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是，故B正確.故選：B.4.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】根據(jù)雙曲線漸近線公式知道，，則.故選：C.5.如圖給出一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”滿足每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列，且每一行的公比相等，則第8行第3列的數(shù)為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】因?yàn)榈?列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以第8行第1列的數(shù)為，又第8行是首項(xiàng)為2，公比為等比數(shù)列，所以第8行第3列的數(shù)為，故選：C.6.已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖所示：，，由橢圓的定義得.①在中，.②由①②得，則，所以橢圓C的方程為.故選：B.7.若實(shí)數(shù)k滿足，則曲線與曲線的（）A.離心率相等 B.虛半軸長(zhǎng)相等C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D.焦距相等【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，得到和都是雙曲線，對(duì)于曲線，，，，此時(shí)其焦距為，離心率為，對(duì)于曲線，，，，此時(shí)其焦距為，離心率為，故兩條曲線離心率不相等，虛半軸長(zhǎng)不相等，實(shí)半軸長(zhǎng)不相等，焦距相等，故D正確.故選：D.8.設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（）A.12 B.6 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)檫^拋物線C：的焦點(diǎn)，且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，所以，故選：A.9.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】給定數(shù)列，且設(shè)該數(shù)列為，故，則，故D正確.故選：D.Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.10.已知橢圓的焦距是2，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為__________.【答案】或【解析】焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.11.已知數(shù)列滿足，，則的前10項(xiàng)和等于______.【答案】【解析】因數(shù)列滿足，且，則，數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和等于.12.已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為__________.【答案】【解析】由題意得，，準(zhǔn)線方程為：，設(shè)，，，因此，線段的中點(diǎn)到軸的距離為.13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為______.【答案】【解析】因?yàn)?，，可得：，解?，所以，因?yàn)?，設(shè)數(shù)列的前100項(xiàng)和為,則：.14.設(shè)雙曲線的半焦距為c，直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為_____.【答案】2【解析】因?yàn)橹本€經(jīng)過，兩點(diǎn)，所以設(shè)直線方程為，化簡(jiǎn)得，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，故，即，得到，解得或，因?yàn)?，所以符合題意，此時(shí)，故.15.在等差數(shù)列中，，公差為d，前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則d的取值范圍為_______.【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以數(shù)列遞減數(shù)列，又，所以，解得，所以d的取值范圍為.三、解答題：本大題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線的頂點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)，焦距，漸近線方程、離心率.解：（1）因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，所以，由題意得雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，故，由雙曲線的定義得，解得，得到，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）對(duì)于雙曲線，其實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，離心率為,漸近線方程為，頂點(diǎn)為.17.解答下列各題（1）在等差數(shù)列中，，，求通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）在等比數(shù)列中，，，求通項(xiàng)及數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，，解得，，故?（2）設(shè)首項(xiàng)為，公比為，因?yàn)?，，所以，，解得，，故?18.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為，若，求公比.解：當(dāng)時(shí)，，與題意不符，故排除，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得，故公比?19.已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與E相交于兩點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得，而橢圓的離心率為，故，解得，則，故橢圓方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不符合題意，排除，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，