第10講相似三角形壓軸題（六大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握相似壓軸題的切入點；2、綜合分析法解相似三角形壓軸題。相似三角形壓軸題答題技巧相似三角形壓軸題，解題需找好四大切入點：切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。切入點二：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。切入點四：在題目中尋找多解的信息圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復(fù)認(rèn)真的審題?！炯磳W(xué)即練1】（2023·上海崇明·一模）已知中，，，點為射線上的一個動點（不與重合），過點作，交射線于點，連接．(1)如圖，當(dāng)點在線段上時，與交于點，求證：；(2)在（1）的情況下，射線與的延長線交于點，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(3)當(dāng)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)，(3)【分析】(1)先證得到，結(jié)合證明即可．(2)根據(jù)，先證得到，結(jié)合，證得到，求得，根據(jù)計算即可．(3)過點F作于點M，結(jié)合，設(shè)，根據(jù)勾股定理計算即可．【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴．（2）∵，∴，，，∴，∴，解得；由(1)得，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∵，∴．（3）如圖，過點F作于點M，∵，∴，，∵，∴，∴，解得（舍去），∴．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（22-23九年級上·上?！て谥校┰诰匦沃?，，，點是邊上的一點，交于點，點在射線上且滿足．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，當(dāng)點在線段上，聯(lián)結(jié)，，求的長；(3)聯(lián)結(jié)，如果與以、、為頂點所組成的三角形相似，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)或【分析】（1）證明，得到，利用同角的余角相等，得到：，即可得證；（2）證明，求出的長，從而求出的長，再證明，求出的長，利用，求出的長，再用即可求出的長；（3）分和，兩種情況，進(jìn)行討論求解即可．【解析】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，又∵∴，∴，∴；（2）解：∵四邊形為矩形，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∵，即：，∴，∴；（3）解：∵，，∴，當(dāng)與以、、為頂點所組成的三角形相似時，①，如圖：由（2）知：；②，如圖：∵，∴，過點作于點，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形為矩形，，，∴，∴，∴，∴；綜上：或．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．題型1：解答證明題【典例1】．（2023八年級下·上?！ｎ}練習(xí)）已知：中，對角線，點為邊上一點，點為延長線上一點，連接，．

(1)如圖1，若，交于點，求的長；(2)如圖2，若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）過作于，作，交于，則，證，則，，，再由勾股定理得，然后證，即可得出答案；（2）延長至，使，連接，證，得，再證，則，進(jìn)而得出結(jié)論．【解析】（1）解：，，，，，，即是等腰直角三角形，，∵四邊形是平行四邊形，，，，，，過作于，作，交于，

則，，∴，，，，，，，，，，，，，即，解得：；（2）證明：延長至，使，連接，如圖2所示：

，，是等邊三角形，，，，，，，，∴四邊形是等腰梯形，，，，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、等腰梯形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【典例2】．（23-24九年級上·上海浦東新·期中）已知，在中，，的頂點D在邊上，交于點F（點F在點D的右側(cè)），．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，求BD的長；(3)若，連接，寫出CE與AB的位置關(guān)系，并證明結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)或3(3)平行，見解析【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出，再由三角形內(nèi)角和定理及各角之間的關(guān)系得出，利用相似三角形的判定證明即可；（2）作于H，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定得出，設(shè)，則，代入求解即可；（3）連接CE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等量代換得出，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)確定，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證明【解析】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）作于H，

∵，∴，，∴，∵，∴，即，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得x=2或，∴或3；（3）平行，證明如下：連接CE，如圖所示，

∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，熟練掌握運用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型2：比值問題【典例3】．（23-24八年級上·上海松江·期末）在中，，點是邊上一點，過作垂直，垂足為點．(1)如圖1，點是的中點，，如果，求的長；(2)已知，①如圖2，連接，求證：平分；②如圖3，延長至點，連接交線段于點，當(dāng)，且點是中點時，求的值．【答案】(1)(2)①見解析

②【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后證明即可解題；（2）①過作于，交延長線于，證明，根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論；②過作于，交延長線于，則有，即，然后推出，得到，然后根據(jù)求出比值即可．【解析】（1）解：連，∵是AB中點，，∴∵，∴∴；（2）①過作于，交延長線于，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴∴，∴CE平分；②過作于，交延長線于，∵，∴∴,∵，∴，

∴，

∴，∵，∴，∴，∵∴∴∵，，∴∴，設(shè)，∴，∴，

∴∵，

∴∴

∴，∴是的中點∴∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【典例4】．（23-24九年級上·上海松江·期末）在中，．點D是射線上一點（不與A、C重合），點F在線段上，直線交直線于點E，．(1)如圖，如果點D在的延長線上①求證：；②聯(lián)結(jié)，如果，，求的長．(2)如果，求：的值．【答案】(1)①見詳解；②(2)的值為1【分析】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．（1）①由，得，因為，所以，得，由，得，所以，則，即可證明；②由，得，則，可證明，得，所以，而，得，所以，則，求得，于是得，求得；（2）分兩種情況，一是當(dāng)點在的延長線上，聯(lián)結(jié)，作交的延長線于點，可證明，得，再證明，得，則；二是當(dāng)點在線段上，可證明與不相似，則不存在的情況．【解析】（1）證明：如圖1，∵，，，，，②如圖，解得或（舍去），（2）如圖2，點在的延長線上，聯(lián)結(jié)，作交的延長線于點，則∴，∵，在和中，，在和中，如圖3，點在線段上，與不相似，不存在的情況，綜上所述，的值為1．【典例5】．（23-24九年級上·上海長寧·期中）如圖，已知在中，，平分，交邊于點，是邊上一點，且，過點作，交于點，聯(lián)結(jié)、，延長交于點．

(1)求證：；(2)當(dāng)時，①若，，求的長；②若，聯(lián)結(jié)，求的值．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)條件可證得，即可證明結(jié)論．（2）①根據(jù)，求得，證明出四邊形是菱形，得出，證明，得出比例式，解方程，即可求解；②由條件可得，由相似比可得，由，得到點是的黃金分割點，可得出，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：平分，，，，，，，，即．（2）①，，，，在和中，，，四邊形是菱形，即，解得：②，，，，，，，，，，，，，，，，，，點是的黃金分割點，，，，，，．【點睛】本題考查了菱形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定及黃金分割點等知識，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用所學(xué)知識求解是解題的關(guān)鍵．題型3：存在性問題【典例6】．（2020·上海黃浦·一模）如圖，在中，，，，過點作射線，點、是射線上的兩點（點不與點重合，點在點右側(cè)），聯(lián)結(jié)、分別交邊于點、，．(1)當(dāng)時，求的長；(2)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)并延長交邊于點，如果是等腰三角形，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)(3)的長是或或．【分析】（1）利用勾股定理計算和的長，再證明，列比例式可得的長；（2）如圖1，先證明，得，再證明，得，分別表示，和的長，代入比例式計算即可；根據(jù)無限接近時，的值接近4，可得的取值；（3）分三種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式，結(jié)合方程可解答．【解析】（1）解：∵，，，，由勾股定理得：，∵，，，，，；（2）解：如圖1，∵，，，，，，，，∵，，，，，，，同理得：，，；如圖2，當(dāng)點在直線上時，，，，，，的取值范圍是；（3）解：分三種情況：①當(dāng)時，如圖3，過點作于，，，，，，，，，，，∵，，即，，，，，，（舍，；②當(dāng)時，如圖4，由勾股定理得：，由（2）同理得：，∵，，，即，，解得：，；③當(dāng)時，如圖5，過點作于，設(shè)，，，在中，由勾股定理得：，，，，∵，，，即，，，，，綜上，的長是或或．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分類討論的思想解決問題，并與方程相結(jié)合，本題計算量大，屬于中考壓軸題．【典例7】．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）矩形中，，，動點在邊上，不與點、重合，過點作的垂線，交直線于點，交射線于點．(1)如圖，當(dāng)點在延長線上時，求的值；在點的運動過程中，的值是否發(fā)生改變？(2)設(shè)，用含的代數(shù)式表示線段的長；(3)如果點在延長線上，當(dāng)與相似時，求的長．【答案】(1)不變，理由見解析(2)或；(3)當(dāng)與相似時，的長為或．【分析】（1）分點在延長線上、點在上兩種情況，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；（2）分點在延長線上、點在上兩種情況，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，把已知數(shù)據(jù)代入計算，得到答案；（3）分、兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【解析】（1）解：如圖1，設(shè)與交于點，當(dāng)點在延長線上時，，，，，，，，；如圖2，當(dāng)點在上時，同理可證，，，綜上所述，在點的運動過程中，的值不發(fā)生改變；（2）解：如圖1，當(dāng)點在延長線上時，，，，由（1）可知：，，∵，，即，解得：；如圖2，當(dāng)點在上時，，，，由（1）可知：，，∵，，即，解得：；（3）解：如圖3，當(dāng)時，，，，，，，，解得：；當(dāng)時，設(shè)，則，，，∵，，即，解得：，，，即，整理得：，解得：，（舍去），綜上所述：當(dāng)與相似時，的長為或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【典例8】．（21-22九年級上·上海閔行·期中）如圖，在梯形中，，，，點、分別在線段、上，．的延長線交邊于點，交于點、其延長線交的延長線于點．（1）求證：；（2）設(shè)，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）聯(lián)結(jié)，當(dāng)與相似時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或．【分析】（1）由AD∥BC知，，結(jié)合DB=DC=15，DE=DF=5知，從而得，據(jù)此可得答案；（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根據(jù)得，即DN＝，再根據(jù)知NQ＝，由三角形的面積公式可得答案；（3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH兩種情況分別求解可得．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴，．∵DB=DC=15，DE=DF=5，∴，∴，∴BG=CH．（2）過點D作DP⊥BC，過點N作NQ⊥AD，垂足分別為點P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．∵，∴BG=CH=2x，∴BH=18+2x．∵AD∥BC，∴，∴，∴，∴DN＝．∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，∴，∴NQ＝．∴y＝AD?NQ＝x?(0＜x≤9)．（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）當(dāng)∠ADN=∠FGH時，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC=∠FGH，∴BD∥FG，∴，∴，∴BG=6，∴AD=3．（ii）當(dāng)∠ADN=∠GFH時，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND=∠FGH，∴△ADN∽△FCG．∴，∴x?(18?2x)＝?10，整理得x2-3x-29=0，解得x＝，或x＝（舍去）．綜上所述，當(dāng)△HFG與△ADN相似時，AD的長為3或．【點睛】本題是相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論思想的運用等知識點．題型4：旋轉(zhuǎn)、翻折問題【典例9】．（23-24九年級下·上海·階段練習(xí)）已知：在中，，將繞點C旋轉(zhuǎn)使點B落在直線上的點D處，點A落在點E處，直線與直線相交于點F，射線與射線相交于點P，．(1)如圖，連接，當(dāng)時，求證：①四邊形是等腰梯形；②是與的比例中項．(2)當(dāng)點D與點A的距離為5時，求的長．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)或【分析】（1）①證明，，再證明，可得，證明與不平行，結(jié)合，可得梯形是等腰梯形．②證明，，可得，即是與的比例中項．（2）分兩種情況討論：（i）當(dāng)時，點D在邊上．證明，可得．求解（負(fù)根舍去），證明，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案，（ii）當(dāng)時，點D在邊的延長線上．同理可得答案．【解析】（1）證明：①由旋轉(zhuǎn)條件，得，，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴與不平行．∴四邊形是梯形．∵，∴梯形是等腰梯形．②∵，∴，∴．∵，，∴四邊形是平行四邊形．∴．∴，∴．∴，即是與的比例中項．（2）（i）當(dāng)時，點D在邊上．∵，∴，∴，∴．∵，，∴，∴（負(fù)根舍去），∴．∵，∴，∴，即．解得．（ii）當(dāng)時，點D在邊的延長線上．同理可得：．∴．∵，∴，∴，即．解得．綜上所述，或．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【典例10】．（23-24八年級下·上?！て谀┰谥苯翘菪沃?，，，，，，點是射線上的動點（不與點重合）

(1)將沿者直線翻折，點落在處，射線交邊于點．①如圖，當(dāng)點在邊上時，求證：；②當(dāng)中有一條邊平行于時，求的長；(2)當(dāng)點在的延長線上時，連接，射線與射線交于點，且，求的值．【答案】(1)①見解析；②或(2)【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)和，可推出，即可證明；②分情況討論，當(dāng)時，可推出四邊形為平行四邊形，得到，設(shè)，則，，，根據(jù)，推出，最后利用勾股定理，即可得到；當(dāng)時，連接，作，可得四邊形是平行四邊形，結(jié)合勾股定理得到，然后證明，可設(shè)，則，，最后利用，即可求得；（2）連接，作于點，證明，，，，設(shè)，則，，，，由得到值，再由和得到，最后由得到答案．【解析】（1）①證明：根據(jù)折疊的性質(zhì)，又②解：第一種情況：根據(jù)題意，當(dāng)時，如圖，四邊形為平行四邊形設(shè)，則，又，由題意可知，，即解得：，（舍去負(fù)值）第二種情況：根據(jù)題意，當(dāng)時，連接，作，如圖所示：，，，，又四邊形是平行四邊形又，又，，又根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知設(shè)，則，由①可知，由題意可知，，，即綜上所述，或．（2）解：連接，作于點，如圖由（1）可知，又，又設(shè)，則，，又，，即解得：，，即又，的值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．【典例11】．（23-24九年級上·上海崇明·期中）如圖（1），在直角三角形中，，，．，點是邊上的動點，作，交于點，與相交于點．

(1)求證：．(2)如圖2，將沿翻折，點落在處，直線交于點．①當(dāng)時，求的長．②當(dāng)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】本題考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵，（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）①如圖2中，過點作于，證明,推出，可得結(jié)論；②分兩種情況：當(dāng)點在的上方時，如圖3，過點作于，設(shè)，當(dāng)點落在的下方時，如圖4中，分別利用勾股定理求解即可．【解析】（1）證明：如圖1所中：

∵，∴．又∵，，∴，∴，∴，∴．（2）解：①如圖2中：

∵沿翻折，∴．∵，∴，，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，，∴．②當(dāng)點在上方時，如圖3中，過點作于，設(shè)．

∵沿翻折，∴，，，．∵，∴，∴，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，，．∵，∴，∴或（舍去），∴，當(dāng)點落在下方時，如圖4中，

同法可得，∴或（舍去），∴．∵，∴此種情形不符合題意，舍去．綜上所述，．題型5：取值范圍問題【典例12】．（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）如圖，在中，，以，為邊在外部作等邊三角形和等邊三角形，且連接．(1)如圖1，連接，，求證：；(2)如圖2，延長交線段于點．①當(dāng)點為線段中點時，求的值；②請用直尺和圓規(guī)在直線上方作等邊三角形（不要求寫作法，保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論），當(dāng)點在的內(nèi)部時，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出相等的邊和相等的角，再利用角的和得出，從而得出全等．（2）①根據(jù)已知條件得出，再根據(jù)得出的結(jié)論證明，從而得出是等邊三角形，求出即可．②作等邊三角形，由作法可以證明是等邊三角形，分類討論當(dāng)在邊上時，當(dāng)在邊上時，分別求出的值，即可得出的取值范圍．【解析】（1）證明：等邊三角形和等邊三角形，，，，，；（2）解：①如圖2，延長到點，使，連接、，是的中點，，，，，，，都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，是等邊三角形，，，．②如圖3，分別以、為圓心，長為半徑在上方畫弧，兩弧交于點，連接、，則為所求作的等邊三角形，由作圖可知，所以為等邊三角形，當(dāng)在邊上且為中點時，由①知：可得，當(dāng)在邊上時，如圖4，延長交于點，過點作的平行線，交延長線于點，交延長線于點，延長、交于點，，，，，，，，，和是等邊三角形，設(shè)，，，，，，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，，，，化簡得，，，的取值范圍是．【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．題型6：列函數(shù)解析式問題綜合【典例13】．（21-22九年級上·上海奉賢·期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點D是斜邊AB上的動點，聯(lián)結(jié)CD，作DE⊥CD交射線CB于點E，設(shè)AD＝x．（1）當(dāng)點D是邊AB的中點時，求線段DE的長；（2）當(dāng)△BED是等腰三角形時，求x的值；（3）如果，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域．【答案】（1）；（2）或2；（3）（0＜x＜10）【分析】（1）先由勾股定理求出BC的長，再由D為斜邊上的中點，找條件證明△EDC∽△ACB即可求出DE的長；（2）分E在BC邊上和延長線上兩種情況考慮，利用等腰三角形的性質(zhì)計算即可；（3）作DM垂直于BC，得到DM與AC平行，由平行得比例，表示出DM與BM，進(jìn)而表示出CD與CM，由三角形DEM與三角形CDM相似得比例，表示出DE，由BD=AB-AD=10-x，將DE與DB代入表示出y，化簡得到結(jié)果，并求出x的范圍即可．【解析】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC＝6，∴BC=8，∵點D為斜邊AB的中點，∴CD=AD=BD=5，∴∠DCB=∠DBC，∵∠EDC=∠ACB=90°，∴△EDC∽△ACB，∴，即，解得；（2）分兩種情況情況：（i）當(dāng)E在BC邊上時，∵△BED為等腰三角形，∠BED為鈍角，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EDC=∠ACB=90°，∴∠CDA=∠A，∴CD=AC，作CH⊥AB，垂足為H，那么AD=2AH，∴∴，∴，即；（ii）當(dāng)E在CB延長線上時，∵△BED為等腰三角形，∠DBE為鈍角，∴BD=BE，∴∠BED=∠BDE，∵∠EDC=90°，∴∠BED+∠BCD=∠BDE+∠BDC=90°，∴∠BCD=∠BDC，∴BD=BC=8，∴AD=x=AB-BD=10-8=2；綜上所述，當(dāng)△BED是等腰三角形時，x的值為或2（3）作DM⊥BC，垂足為M，∵DM∥AC，∴，∴，∴∴，∵△DEM∽△CDM，∴∴∴，整理得：（0＜x＜10）．【點睛】此題屬于相似型綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【典例14】．（21-22九年級上·上海徐匯·階段練習(xí)）已知：如圖，四邊形中，，，，平分．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果點在對角線上，聯(lián)結(jié)并延長，交邊于點，交線段的延長線于點（點可與點重合），，設(shè)長度是是常數(shù)，且，，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)是等腰三角形時，求的長（計算結(jié)果用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）見解析；（2）；（3）或時，為等腰三角形【分析】（1）由題意先判斷出∠DAC=∠DCA，∠BAC=∠BCA，進(jìn)而得出∠DCA=∠BAC，∠DAC=∠BCA，即可得出結(jié)論；（2）由題意先判斷出△AEF∽△ABC，△ABC∽△BEC，得出比例式，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意分三種情況，①當(dāng)CE=EG時，判斷出點F，G和點D重合，即：AF=AB，即可得出結(jié)論，②當(dāng)CG=CE時，先判斷出∠FDG=∠FGD，得出FG=FD，即可得出AF=BF，進(jìn)而判斷出FB=AC，即可得出結(jié)論；③當(dāng)EG=GE時，判斷出∠CEG=∠CBF，而∠CEG=∠CBF+∠ACB，進(jìn)而判斷出此種情況不存在．【解析】解：（1）證明：，，又平分，，，四邊形為平行四邊形又四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，，即；（3）解：是等腰三角形，①當(dāng)時，，，，，，此時，點，和點重合，，，即，②當(dāng)時，，，，，，，，，，，，即（負(fù)值已舍），③當(dāng)時，，，，，此種情況不存在．綜上所述：或時，為等腰三角形．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分類討論的思想，解答本題的關(guān)鍵是找出相關(guān)角之間關(guān)系．【典例15】．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，已知在菱形中，，，點E、F分別在邊上，的延長線交的延長線于點G，且．(1)如果，求線段的長；(2)設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接交于點H，如果，求線段的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，證明，得到，推出，求出，即可求解；（2）過點A作與點H，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合，證明是等邊三角形，得到，，進(jìn)而求出，根據(jù)，證明，推出，設(shè)，則，利用勾股定理即可求出，即可得出結(jié)論；（3）過點H作，垂足分別為，根據(jù)平分，得到，根據(jù)，得到，由（2）知，求出，代入（2）中關(guān)系式計算即可．【解析】（1）解：菱形中，，，，，，，，；（2）解：過點A作與點H，連接，菱形中，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，則，，；（3）解：如圖，過點H作，垂足分別為，菱形中，平分，，，即，，由（2）知，，，，由（2）知，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出相應(yīng)的輔助線，熟練掌握三角形的判定定理．【典例16】．（22-23八年級下·上海浦東新·期末）如圖，在正方形中，，點M是邊的中點，點E是邊上的一個動點，交于點G，交射線于點F．(1)如圖①，當(dāng)點E與點B重合時，求證：．(2)如圖②，當(dāng)點F在線段上時，設(shè)為x，梯形的面積為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．(3)若，求點A到線段的距離．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）作于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)梯形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點F在線段上時，通過證明，即可解答；②當(dāng)點F在延長線上時，通過證明，即可解答．【解析】（1）證明：∵四邊形是正方形，適應(yīng)，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：作于H，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，又，∴，在和中，，∴，∵，點M是邊的中點，∴，設(shè)為x，則，，∴，∵梯形的面積，∴，∵，∴，解得：，∴y與x的函數(shù)解析式為．（3）解：①當(dāng)點F在線段上時，∵，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，∴，即，解得：，即點A到線段的距離為；②當(dāng)點F在延長線上時：∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即點A到線段的距離為綜上：點A到線段的距離或．一、解答題1．已知中，，，E是射線上一點（不與點B重合），線段的垂直平分線與邊交于點D.(1)點E在邊上，①如圖1，連接CE，如果CE平分，求BD的長；②如圖2，射線DE交射線CA于點F，設(shè)，，求y關(guān)于x的的數(shù)解析式，并寫出定義域.(2)如果是直角三角形，求BD的長.【答案】(1)①②(2)或【分析】（1）①連接DE，在BC上截取，連接，過A點作于點N，證得，然后表示出長，利用得到，代入計算解題即可；②過點作于點，點作于點，根據(jù)相似三角形用，表示得到，和的長，然后利用得到關(guān)系式；（2）分和兩種情況分別畫圖解題即可．【解析】（1）①連接DE，在BC上截取，連接，過A點作于點N，∴，∴，設(shè)，∵線段的垂直平分線與邊交于點D，∴，，∴，∴，∴，∵CE平分，∴，又∵，，∴，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，即；②過點作于點，點作于點，由①得，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∴，即∴，∴，，∴，又∵，又∵，∴，∴，∴，即，解得：，，又∵，∴又∵，∴，∴，即，解得：，又∵，∴，即，∵點在邊上，∴，∴∴定義域為；（2）解：如圖，過點作于點，根據(jù)②可得：，，∴∴，當(dāng)時，，即，解得：（舍去），，當(dāng)時，如圖，則，∴，∴，∴，∴，在中，，即，解得：，綜上所述，當(dāng)BD的長為或時，是直角三角形．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．2．在梯形中，，，，，，點E是射線上一點（不與點A、B重合），連接，過點E作交射線于點F，連接．設(shè)，．

(1)求的長；(2)如圖，當(dāng)點E在線段上時，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．【答案】(1)6；(2)；(3)或或；【分析】本題考查矩形得判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理：（1）過點作，可得四邊形為矩形，利用勾股定理求出的長即可；（2）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可；（3）分點在線段上和在線段的延長線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．【解析】（1）解：過點作與點，

∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，，∴；（2）∵，，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即：，整理，得：，∵點E在線段上，∴，∴；（3）當(dāng)點在線段上時，①當(dāng)時，如圖，過點作與點，∵，，∴，

由（1）知，，∴，由（2）知：，當(dāng)時，，解得：或，即：或；②當(dāng)時，∵，∴此種情況不存在；當(dāng)點在線段的延長線上時：如圖，

則：，，同法（2）可得：，∴即：，整理，得：，∵是以為腰的等腰三角形，則：，在中：，在中：，在中：，整理，得：，∵，∴，整理，得：，解得：或（不符合題意舍去）；∴，綜上：或或．3．如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點F．（1）當(dāng)時，①求證：；②連結(jié)，若，求的值；（2）當(dāng)時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時，是等腰三角形．【答案】（1）①見解析；②；（2）當(dāng)或2或時，是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到邊相等，對角相等，根據(jù)已知條件證明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分線，得到，，再根據(jù)已知條件證明出，算出面積之比；（2）等腰三角形的存在性問題，分為三種情況：當(dāng)時，，得到CE=；當(dāng)時，，得到CE=2；當(dāng)時，，得到CE=．【解析】（1）①證明：在菱形中，，，，，∴（ASA），∴．②解：如圖1，連結(jié)．由①知，，．在菱形中，，∴，設(shè)，則．，∴，∴，∴．（2）解：在菱形中，，，，同理，，∴．是等腰三角形有三種情況：①如圖2，當(dāng)時，，，，，．②如圖3，當(dāng)時，，，，∴．③如圖4，當(dāng)時，，，，．綜上所述，當(dāng)或2或時，是等腰三角形．【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形中等腰三角形的存在性問題，解決本題的關(guān)鍵在于畫出三種情況的等腰三角形（利用兩圓一中垂），通過證明三角形相似，利用相似比求出所需線段的長．4．在矩形中，，點為邊中點，點關(guān)于的對稱點為點，點在矩形內(nèi)，連接．

(1)如圖1，連接，當(dāng)點恰好落在對角線上時，求的長度；(2)如圖2，連接，如果，，請求出它們之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接，如果是以為腰的等腰三角形，請直接寫出的長度．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）通過矩形的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)，證明，從而得到，由，點為邊中點，進(jìn)行計算即可得到答案；（2）令和相交于點，由點關(guān)于的對稱點為點，得到點為的中點，，從而得到為的中位線，即，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)三角形的面積得出，最后根據(jù)勾股定理求出的長即可得到答案；（3）分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，分別畫出圖形，進(jìn)行計算即可得到答案．【解析】（1）解：四邊形是矩形，，點關(guān)于的對稱點為點，，，，，，點為邊中點，，，；（2）解：如圖所示，令和相交于點，

，點關(guān)于的對稱點為點，點為的中點，，點為邊中點，為的中位線，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)時，如圖所示：

，點關(guān)于的對稱點為點，，，；當(dāng)時，如圖所示：

，作交于點，作交于，由題意可得：，，，，，，，，，，，，，，，由（2）可得：，，，，解得：，，的長為：或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理、三角形的面積的計算等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解決問題，是解本題的關(guān)鍵．5．已知菱形邊長為4，對角線長為2，點、分別是邊、上的動點，且，延長交射線于點．(1)如圖1，如果，求的面積；(2)如圖2，如果點為邊的中點，求的長；(3)延長交射線于點，聯(lián)結(jié)．如果是以為腰的等腰三角形，求的長．【答案】(1)；(2)1；(3)或【分析】（1）聯(lián)結(jié)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，由勾股定理得到，從而得到，證明，得到，證明，得到，即可求出的面積；（2）過點A作于點H，由是中點，可知，由（1）可知，進(jìn)而得到，，再由勾股定理得到，然后根據(jù)菱形性質(zhì)，得到，，證明，得到，即可求出的長；（3）①當(dāng)時，過點A作，，利用“”證明，得到，再利用“”證明，得到，然后利用“”證明，得到，從而得到，根據(jù)，得到，算出，最后根據(jù)，即可求出的長；②②當(dāng)時，聯(lián)結(jié)，先證明，再證明，得到，進(jìn)而證明，得到，推出，證明四邊形是平行四邊形，為中點，最后應(yīng)用（2）的結(jié)論得到，證明，即可求出的長．【解析】（1）解：如圖1，聯(lián)結(jié)交于O，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）解：如圖2，過點A作于點H，是